Posplošeni integrali

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
delta
Posts: 420
Joined: 19.8.2009 14:16

Posplošeni integrali

Post by delta » 30.1.2010 16:55

Obravnavati moram konvergenco integralov v odvisnosti od realnih parametrov p, q

a) \(\int_0^\infty x^{p-1} e^{-x}dx\)
Zanima me zakaj integral ta \(0<p<1\) konvergira, za \(p<0\) pa divergira. V obeh primerih gre namreč x v imenovalec:
npr.\(p=\frac{1}{2}\)
\(\lim_{x->0} \frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{e^x}\)
v drugem primeru pa npr.\(p=-1\), torej
\(\lim_{x->0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{e^x}\)
prvi ulomek bi šel proti neskončno v obeh primerih,torej bi morali v obeh primerih dobiti isti rezultat. zakaj ga ne?

b)\(\int_0^\infty \frac{x^p \arctan x}{1+x^q} dx\)
Ne dobim pravega rezultata, kako naj se lotim računanja?
Lepo prosim za pomoč

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Posplošeni integrali

Post by Aniviller » 30.1.2010 17:18

a)
Ce ima funkcija pol se ni nujno, da integral divergira. Tipicen primer je logaritem okrog nicle.

Ker v okolici nicle \(e^{-x}\) ni nic posebnega, je konvergenca tega integrala pogojena s konvergenco integrala
\(\int_0^\epsilon x^{p-1}\,dx\) (pac konvergenca na spodnji meji - zgornja ni vazna, ker tam eksponentna funkcija prevpije vse ostalo).

Znano je, da integral 1/x^n konvergira okrog nicle samo za n<1. 1/x je mejni primer - tisti ki narascajo hitreje divergirajo, tisti ki pocasneje, konvergirajo. To hitro preveris:
\(\int \frac{1}{x^n}dx=-\frac{x^{n-1}}{n-1}\) (za vse n razen n=1, ko pride logaritem). Ko vstavimo spodnjo mejo, bomo dobili smiseln rezultat samo za n<1, za n>1 ima pa nedoloceni integral tam pol.
Ravno obratno je za negativne potencne funkcije v neskoncnosti: tam konvergira za n>1.

b) arkus tangensa se moras cim prej znebit.

delta
Posts: 420
Joined: 19.8.2009 14:16

Re: Posplošeni integrali

Post by delta » 30.1.2010 17:49

Hvala!

Me pa še nekaj zanima:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral[1%2F(x^(1%2F2))%2C{x%2C0+%2CInfinity}] zakaj napiše, da ne konvergira
a)
Aniviller wrote:a)
Ce ima funkcija pol se ni nujno, da integral divergira. Tipicen primer je logaritem okrog nicle.
Ali je pol to, da gre prvi ulomek proti neskončnosti? Ali pomeni, da če ne moreš izračunati limite, še ne moreš reči, da integral tam divergira?



b) kako pa to naredim?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Posplošeni integrali

Post by Aniviller » 30.1.2010 18:00

Aja... samo konvergenco isces tudi pri b :) (drugace je integral mislim da neizracunljiv analiticno).

Spet pogledas obe limiti. Okrog nicle se arkus tangens obnasa kot linearna funkcija. V imenovalcu pa za pozitivne q velja, da ostane samo enka.
\(\int_0\frac{x^p\arctan x}{1+x^q}dx\sim \int_0 x^{p+1}dx\), to pa konvergira za p+1>-1, se pravi p>-2.
Ce je q negativen, pa se enka ne pozna:
\(\int_0\frac{x^p\arctan x}{1+x^q}dx\sim\int_0 \frac{x^{p+1}}{x^q}dx\sim \int_0 x^{p+1-q}dx\), kar konvergira za p+1-q>-1, p>q-2.

Za mejo v neskoncnosti pa arkus tangens obravnavas kot konstanto in ostane za pozitivne q:
\(\int^\infty\frac{x^p\arctan x}{1+x^q}dx\sim \int^\infty x^{p-q}dx\), kar konvergira za p-q<-1, se pravi p<q-1.
Za negativne q pa se imenovalec ne pozna in ostane samo
\(\int^\infty\frac{x^p\arctan x}{1+x^q}dx\sim \int^\infty x^p dx\),kar konvergiza za p<-1.

Te stiri pogoje si lahko narises v q-p prostoru - obmocja konvergence so omejena z zgoraj omenjenimi premicami (upam da sem vse prav vnesel).
Attachments
conrange.png
conrange.png (45.39 KiB) Viewed 5086 times

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Posplošeni integrali

Post by Aniviller » 30.1.2010 18:08

Me pa še nekaj zanima:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral[1%2F(x^(1%2F2))%2C{x%2C0+%2CInfinity}] zakaj napiše, da ne konvergira
Seveda ne konvergira... ce imas od NIC do NESKONCNO. To je tisto kar sem zgoraj razlagal: \(\int x^n dx\) konvergira OKROG NICLE za n>-1 in OKROG NESKONCNOSTI za n<-1. Torej, od nic do neskoncno integral nobene potencne funkcije ne konvergira - vedno je na eni strani problem.
a)
Aniviller wrote:a)
Ce ima funkcija pol se ni nujno, da integral divergira. Tipicen primer je logaritem okrog nicle.
Ali je pol to, da gre prvi ulomek proti neskončnosti? Ali pomeni, da če ne moreš izračunati limite, še ne moreš reči, da integral tam divergira?
Saj ne racunas limite tistega v integralu. Tisto ni vazno. Konvergirat mora sam integral! Ce ze hoces limito: obstajat mora limita
\(\lim_{\epsilon\to 0}\int_\epsilon^a f(x)dx\)
oziroma limita nedolocenega integrala proti nicli.

Seveda pa lahko oklestis pod integralom vse stvari, ki so v okolici zanimive tocke zanemarljive - to lahko vidis iz primera b), ki sem ga resil.
b) kako pa to naredim?
Nesporazum... sem mislil da moras izracunat.

delta
Posts: 420
Joined: 19.8.2009 14:16

Re: Posplošeni integrali

Post by delta » 30.1.2010 18:54

Aja;) tisto..me še nekaj zanima, mi je sedaj kristalno jasno :D
Aniviller wrote:Aja... samo konvergenco isces tudi pri b :) (drugace je integral mislim da neizracunljiv analiticno).
Ali ne velja, da če integral konvergira, potem tudi lahko izračunamo njegovo vrednost?

b) Super, hvala!
Vprašala bi samo, kje lahko to narišem

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Posplošeni integrali

Post by Aniviller » 30.1.2010 19:15

delta wrote:
Aniviller wrote:Aja... samo konvergenco isces tudi pri b :) (drugace je integral mislim da neizracunljiv analiticno).
Ali ne velja, da če integral konvergira, potem tudi lahko izračunamo njegovo vrednost?
No... seveda ima neko vrednost. Samo vprasanje je, ce je izrazljiva z osnovnimi funkcijami. Zelo malo integralov se da tako izrazit - za ostale pa, ce se pojavljajo pogosto, kar definirajo nove funkcije (na ta nacin so recimo vpeljane funkcije erf, integralni sinus/kosinus/logaritem, fresnelovi integrali,...). Cim zacnes metat racionalne funkcije skupaj s transcendentnimi (recimo nekaj v stilu \(\int \frac{x^2\tan x}{e^x+\log x}dx\)), nimas sans da bi bilo izrazljivo. Lahko pa temu reces fuj(x) in napises program, ki ga racuna. Saj v osnovi isto velja za vse funkcije - kaj pa je sinus drugega kot nekaj kar definiramo in kalkulator pac po nekem postopku racuna.

Za dolocene integrale je podobno - recimo Beta in Gama funkcija sta ze primera kako so pogosto nastopajoce dolocene integrale definirali kot funkcije.
delta wrote:b) Super, hvala!
Vprašala bi samo, kje lahko to narišem
Kjer hoces. Jaz sem kar vrgel oglisca v en fajl in narisal v gnuplotu. Lahko pa v Mathematici uporabis RegionPlot, ki mu podas kar neenakosti (in ce jih je vec, locene kar z logicnimi operatorji (in,ali,... odvisno kaj pac zelis).

http://reference.wolfram.com/mathematic ... nPlot.html

Za to kar mi rabimo, drugi primer idealno pokaze kako se naredi.

delta
Posts: 420
Joined: 19.8.2009 14:16

Re: Posplošeni integrali

Post by delta » 30.1.2010 19:22

Hvala!,lp

User avatar
system32
Posts: 61
Joined: 8.7.2008 16:40

Re: Posplošeni integrali

Post by system32 » 14.10.2010 23:01

Pozdravljeni!

Dan je nedoločen integral:
\(\int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 +4}) dx = lnx - \frac{1}{2} ln(x^2 + 4) + lnC\)

Zanima me, od kod dobim \(\frac{1}{2} ln(x^2 + 4)\)? Gre sicer za integracijo racionalne funkcije.

User avatar
shrink
Posts: 14560
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Posplošeni integrali

Post by shrink » 14.10.2010 23:16

system32 wrote:Pozdravljeni!

Dan je nedoločen integral:
\(\int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 +4}) dx = lnx - \frac{1}{2} ln(x^2 + 4) + lnC\)

Zanima me, od kod dobim \(\frac{1}{2} ln(x^2 + 4)\)? Gre sicer za integracijo racionalne funkcije.
Za desni integrand vzameš substitucijo: \(u=x^2 +4 \Rightarrow du=2xdx\).

User avatar
system32
Posts: 61
Joined: 8.7.2008 16:40

Re: Posplošeni integrali

Post by system32 » 14.10.2010 23:22

Zdaj pa razumem, hvala!

anavotm
Posts: 89
Joined: 12.1.2012 12:01

Re: Posplošeni integrali

Post by anavotm » 30.5.2013 18:33

Pozdravljeni,
za rešit imam tri integrale, za katere ne vem kako naj se stvari lotim
1. za a>=0 obravnavaj konvergenco integrala \(\int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{(arctg(x))^a(1+x^2)}dx\)

2.Ugotovi za katere \(\alpha \in (0,\infty)\) obstaja integral \(\int_0^{\infty} \frac{lnx \ arctgx}{x^{\alpha}+x }dx\)

3. Za katera realna števila konvergira \(0<a<b\) integral \(\int_0^{\infty} \frac{lnx \ arctgx}{x^a+x^b} dx\)
Prosil bi za kak namig in za kak nasvet za reševanje posplošenih integralov v odvisnosti od parametrov.
hvala vnaprej

Lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Posplošeni integrali

Post by Aniviller » 30.5.2013 20:17

Razvoj ti najvec pomaga.
1) V neskoncnosti: zgoraj imas x^(1/2), arkus tangens gre proti konstanti, 1/(1+x^2) je pa priblizno x^(-2), torej gre kot x^{-3/2) in integral tega vemo, da konvergira, ker pada hitreje od 1/x. Okrog nicle je pa arctg(x) priblizno x, 1+x^2 je priblizno konstanta, in se vse skupaj obnasa kot x^(1/2-a) in to je v redu, ce narasca pocasneje kot 1/x. Vemo namrec, da \(\int \frac{1}{x^b} dx\) konvergira v neskoncnosti za b>1, v nicli pa za b<1. Zato dobis pogoj za konvergenco a<3/2.
2) Spet podobno. V neskoncnosti gre arkus tangens proti konstanti. Za \(\alpha<1\) drugi clen v imenovalcu prevlada, in imas ln(x)/x, kar NE konvergira. Po drugi strani takoj, ko je \(\alpha>1\), dobis imenovalec, ki pada hitreje kot 1/x. Logaritem sicer narasca, ampak pocasneje kot vsaka potenca, zato integral ln(x)/x^alfa konvergira za vsak alfa>1. Okrog nicle je pa ravno obratno: pri \(\alpha<1\) prvi clen prevlada, in imas integral \(\int_0 \ln x x^{1-\alpha}dx\) kjer je to seveda samo razvito (za namene testiranja konvergence), ne pa za dejanski izracun. To lepo konvergira: potenca x je pozitivna, zato tole lepo konvergira (ze integral logaritma je v redu, ce ga pa se na nic zabijes je pa se boljse). Za \(\alpha>1\) prevlada drugi clen, kar se ravno lepo pokrajsa z arkus tangensom (asimptoticno seveda) in ostane integral logaritma, kar je tudi ok. Skupno na obeh mejah torej integral konvergira za \(\alpha>1\).
3) ponovi postopek iz dvojke, z dodatno posplositvijo. Spet uporabis, da v neskoncnosti hitreje narasca potenca z visjim pozitivnim eksponentom (in tisto z manjso potenco zanemaris). Zraven nicle pa obratno: visji je eksponent, hitreje ga zabije v nic (tako kot recimo y=x lepo linearno narasca iz nicle, y=x^2 pa rabi nekaj casa da se pobere). To je dovolj, da na vsakem koncu stran pomeces clene, ki v limiti nimajo vpliva, in se osredotocis na pomembne stvari. Potem vse razvijes okrog 0 ali neskoncnosti, in prestejes potence. Logaritem je tukaj izjema: tega se ne da razvit v potenco, ima svoje obnasanje. Zato moras vedet, da logaritem narasca pocasneje od vsake potence v neskoncnosti, in da je v okolici nicle integrabilen (tudi narasca prepocasi).

anavotm
Posts: 89
Joined: 12.1.2012 12:01

Re: Posplošeni integrali

Post by anavotm » 4.6.2013 22:51

Hvala za izčrpno razlago, vendar smo na vajah delali nekoliko drugače in sem malo zmeden.
Na vajah smo v večini reševali po izreku:
Naj bo \(a>0\) in \(g: [a,b] \to \mathbb{R}\) zvezna funkcija.
1) Če je g omejena na \([a, \infty)\) in je \(p>1\) potem \(\int_a^{\infty} \dfrac{g(x)}{x^p} dx\) konvergira
,
2) če je g omejena stran od 0 na intervalu \([a,\infty)\) in je \(p \le 1\), je \(\int_a^{\infty} \dfrac{g(x)}{x^p}dx\) divergenten. (dovolj je pokazat da je g stran omejena od 0 na nekem intervalu \([b,\infty)\) za nek \(b \ge a\).)
Tako smo naprimer na primeru funkcije \(\Gamma\) obravnavali pri 0:
če je \(t \ge 1\) ni težav, ker je \(\Gamma\) zvezna. Pri \(t<1\) pa smo integral preoblikovali na \(\int_0^{\infty} \dfrac{e^{-x}}{x^{1-t}} dx\) in smo za funkcijo g vzeli \(g(x)=e^{-x}\), ki je omejena stran od 0 in zvezna in potem dobili pogoje za konvergenco..., pri neskončnosti pa nekaj podobnega.
Opravičujem se za toliko pisanja vendar ne vem kako bi nakrajše pojasnil kar me zanima. Zanima me torej ali bi se dalo pri teh zgornjih treh primerih nalogo rešiti tudi na tak ali podoben način.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Posplošeni integrali

Post by Aniviller » 4.6.2013 23:04

Pa saj to je isto kar sem jaz uporabil. Pac gledas integral 1/x^p in imas pogoj glede na vrednosti p. Razlika je le, da nisem dlak cepil, ampak "rocno" limitiral (pometal stran vse nepomembne clene in s tem na hitro prisel do rezultata). To, da produkt z omejeno funkcijo ne more pokvarit konvergence, pa je itak jasno.
Kaj dosti drugace itak ne mores naredit: recimo tam kjer imas 1+x^2 v imenovalcu moras na nekem mestu se zavedat, da se pri velikih x ta stvar obnasa kot 1/x^2 in tista enka ne igra vloge.
Za logaritem pa spoh ne vem, ce ravno spada v skupino funkcij, ki jih lahko enostavno stlacis v obliko g(x)/x^p.

Post Reply