Matematika

[anavotm]

Pozdravljeni,
muči me naslednja naloga
Reši enačbo 3arcsin(x)+2arctan(x)=pi
Šel sem tako da sem prvo 2arctan(x) spremenil v \(arctan \frac{2x}{1-x^2}\) in potem dal arcsin(x)=a -> sin(a)=x, \(arctan \frac{2x}{1-x^2}\)=b ->tan(b)=\(\frac{2x}{1-x^2}\). Torej dobim enačbo 3a+b=pi Sedaj sem dal b=pi-3a potem dam tan čez in dobim \(tan(b)=tan(\pi-3a)\)-> \(\frac{2x}{1-x^2}\)=-tan(3a). Sedaj pa nevem kako naj rešujem naprej. Hvala za kakršno koli pomoč.
Lp

[Aniviller]

Ja to ze izgleda nekako priblizno prava pot, samo nekako se prevec x mesa z a in b. Malo bolj sistematicno je treba, da se vidi kaj je spremenljivka. Dvojko takoj noter nest samo naredi izraz se grsi in zakomplicira nalogo - ni razloga da bi dvojko porabil, trojke pa ne. V bistvu kar delas je samo obracanje enacbe (premeces tako, da iz arkusov naredis direktne kotne funkcije).
Enacba je tole,
\(3a+2b=\pi\)
in zveza med njima je:
\(x=\sin a=\tan b\)
Imas torej dve enacbi in dve neznanki za a in b (x je pa potem samo nekaj kar na koncu nazaj poracunas). Ce prvo enacbo neses nazaj noter to pac postane
\(\sin a=\tan b=\sin (\pi/2-3a/2)\)
To je zdaj samo neka malo bolj grda enacba za a. Lahko faktoriziras:
\(0=\sin (\pi/2-3a/2)-\sin a=2\sin\frac{\pi/2-3a/2-a}{2}\cos\frac{\pi/2-3a/2+a}{2}\)
Resitve so, kjer so nicle posameznih clenov. Torej isces nicle
\(\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5}{4}a)=0\)
\(\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}a)=0\)
To pa najbrz ne bo problem.

Na koncu ne pozabi, da je \(a=\arcsin x\), tako da kljub temu da bo za a cel kup resitev, so smiselni samo tisti a, ki lezijo v zalogi vrednosti arkus sinusa (torej, med -pi in pi). Isti test moras naredit tudi za \(b=\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}a=\arctan x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)

Vse kaze, da je resitev ena sama.

Preveri vse se enkrat, lahko da sem kje zafrknil.

[martinzjeh]

Ne morem brez matematike

http://valjhun.fmf.uni-lj.si/~mihael/fs ... 250113.pdf naloga št. 3
-------------------------------------------------------------
Enačbo sem preuredil na (B-A)^-1 * 3B = X

B-A matrika je [3-a, -3, 0, 3] .. ker mora biti obrnljiva, pomeni da diskriminanta ne sme biti 0. Sledi, da a ne sme biti 3, ali drugače: R - {3} .... prvo vprašanje naloge.

Nato sem izračunal inverz, ki pride [(1/(3-a)), (1/(3-a)), 0, 1/3] ... nato pa še zmnožim z 3B, ki je [9, -3, 3, 6]

Rezultat je [ (12/(3-a)), (3/(3-a)), 1, 2] .... drugo vprašanje naloge.
------------------------------------------------------------

Zanima me, če je naloga pravilno rešena?

Hvala.

[matematik12345]

živjo, potreboval bi pomoč pri sledeči nalogi.

x + y + z = 2
2x - 3y - z = 5
x - 2y - 3z = -4
5x + y - 2z = -3
3x + 2y + 2z = 3

[Aniviller]

Gaussova eliminacija. Recimo z odstevanjem veckratnikov prve vrstice odstranis vse x pod njim:
x+y+z=2
0-5y-3z=1
0-3y-4z=-6
0-4y-7z=-13
0-y-z=-3

Zdaj lahko zadnjo enacbo neses na drugo mesto in jo pomnozis z -1 (to je samo zaradi preglednosti) in njene veckratnike odstevas od tistih pod njo, da pobijes se y.
x+y+z=2
0+y+z=3
0+0+2z=16
0+0-z=3
0+0-3z=-1

Zadnje tri enacbe so protislovne, torej resitve ni.

[yaz]

Najprej bi vas prosila, če mi lahko kdo pomaga s tem sistemom enačb, torej poiskati vse rešitve tega sistema: (jaz nekako pridem do tega da nima rešitev?)

x+2y+z=5
2x+4y-z=4
2x+4y=6
-2x-4y-z=-8

Poleg tega pa me zanima še sledeče. Imam podani matriki A in B velikosti 3x3, izračunati moram C=(2A-B)*((B^2)+3I). Kaj točno predstavlja I, je to matrika
1 0 0
0 1 0
0 0 1
in jo samo množim s 3?

Hvala!

[Aniviller]

1)
Ima resitev. Enacbe so tudi izredno lepe. Vse enacbe imajo prakticno enaka prva dva stolpca. Tretjo enacbo lahko odstejes drugi, pristejes tretji, pol jo odstejes pa prvi:

z=2
-z=-2
2x+4y=6
-z=-2
in tri enacbe so identicne, torej imas
x+2y=3
z=2
od koder dobis enoparametricno druzino resitev. Recimo izrazis lahko x in pride
x=3-2y
z=2
za vsak y

2) Tako je, tisto je matrika identitete.

[yaz]

Aniviller, super si! Saj to da je z=2, sem dobila tudi sama, nekako se mi ni zdelo prav da je x izražen kot x=3-2y, pa to da tretja enacba nima z me je motilo... Skratka hvala ti za oba odgovora

[bedanec]

Kako najdeš funkcijo če maš podano njen razvoj v fouriejevo vrsto? Konkretno imam podan (\(0<a<1\))
\(\sum _{n=0}^{\infty } a^n e^{-i n x}\)
Idejo mam, da razvijem posebi po sinusih in kosinusih (glede na to, da so vsi členi n>0 enaki 0), kjer more bit \(a_{n} = i b_{n}\), sledi da je \(a_{n} =a^n / 2\) in \(b_{n} =a^n / (2i)\), naprej pa ne gre .. Obstaja kaka fora, kako dobit vn funkcijo, al je treba ugant?

[yaz]

Spet jaz in moja matematika. Imam za izračunat limito (priponka), če vstavim 3 dobim 0/0, torej moram nekaj razstavit in krajšat, da dobim rezultat. Problem je ker obračam tiste korene in mi ne uspe nič pametnega spravit skupaj. Kaj sem spregledala?
Pa še to... Če imam 3 enačbe s 3 neznankami in pri prvi koeficient pred x ni število, ampak a, lahko to še vedno računam z Gaussovo eliminacijo? Mi še ni uspelo priti do kakšnega normalnega rezultata, bi rada vedela, če sem se vsaj prav lotila.
Hvala

[bedanec]

Spet jaz in moja matematika. Imam za izračunat limito (priponka), če vstavim 3 dobim 0/0, torej moram nekaj razstavit in krajšat, da dobim rezultat. Problem je ker obračam tiste korene in mi ne uspe nič pametnega spravit skupaj. Kaj sem spregledala?

Če zgoraj in spodaj pride 0 ali neskončno, lahko po l'hospitalu oboje odvajaš in rezultat je kvocient odvodov. Spodaj pride limita 2, zgoraj -2/3, torej je limita -1/3.

Pa še to... Če imam 3 enačbe s 3 neznankami in pri prvi koeficient pred x ni število, ampak a, lahko to še vedno računam z Gaussovo eliminacijo? Mi še ni uspelo priti do kakšnega normalnega rezultata, bi rada vedela, če sem se vsaj prav lotila.
Hvala

Še vedno ja, s tem da maš rezultat pač izražen z a.

[AntiG33k]

Imam težave pri naslednjih nalogah z odvodi pri katerih moraš kaj dokazovati :


1.) Določite intervale naraščanja in padanja funkcije f(x)= 2/3x^3-3/2x^2-5x+3

R: Narašča na (-neskončno,-1) in na (5/2, neskončno) pada na (-1,5/2)


2.) Z računom dokažite, da je funkcija f(x)=1/3x^3-2x^2+5x-6


3.) Dana je funkcija f: x---->xlnx. Določi njeno definicijsko območje in območji naraščanja in padanja.

R: Df=(0, neskončno) Narašča na Ie^-1,0) Pada na (0, e^-1)


4.) Dana je funkcija f(x)=sin3x+4cosx. Izračunajte njen odvod in dokažite enakost f(π/6)-f'(π/6)=3+2x3^1/2

Odvedel sem ne znan pa dokazati :/

Najlepša hvala za pomoč:)

[Aniviller]

1) OK
2) Da je funkcija KAJ? Kje je vprasanje?
3) OK. Samo desna meja pri narascanju je seveda neskoncnost Pa definicijsko obmocje bi se dalo razsirit na zaprt interval [0, ker obstaja limita f(0)=0. Samo to bi moralo pisat.
4) Za dokaz pac vstavis noter in preveris kaj pride. Ce ti uspe preoblikovat da dobis desno stran, je stvar resena.
\(f'(x)=3\cos 3x-4\sin x\)
\(f(\frac{\pi}{6})=1+2\sqrt{3}\)
\(f'(\frac{\pi}{6})=0-2\)
in skupaj dobis ravno rezultat.

[bedanec]

Zakaj je odvod npr funkcije y po y' enak 0? Nikjer nisem našel, da bi to dokazali, smo pa kar pogosto uporabljali in sm se hitr na to navadu, tko da nism sprašval več .. Če je npr y=e^x, je pol y'=y in bi mogu bit odvod 1?

p.s. anniviler, si mogoče spregledal moje prejšno vprašanje? Če si videl, pa nimaš časa/volje odgovort ni problema, sam tko vprašam.

[Aniviller]

Spregledano vprasanje:

Hm... vsoto funkcij sestet v obstojeco funkcijo je v splosnem tezka stvar, tako kot racunanje vsot stevilskih zaporedij - v vecini primerov itak ni izrazljivo z osnovnim naborom elementarnih funkcij in je definicija z vsoto vse kar imas, pa tudi ce je, ni nekega ustaljenega postopka kako to naredit (prepoznavanje znanih vrst, odvajanje, prevajanje na druge probleme...).

Tokrat imas seveda sreca, da imas navadno geometrijsko vrsto, ki jo trivialno sestejes:
\(\sum_{n=0}^\infty a^n e^{-inx}=\frac{1}{1-ae^{-ix}}\)

Zakaj je odvod npr funkcije y po y' enak 0? Nikjer nisem našel, da bi to dokazali, smo pa kar pogosto uporabljali in sm se hitr na to navadu, tko da nism sprašval več .. Če je npr y=e^x, je pol y'=y in bi mogu bit odvod 1?

Hm... tukaj si pa izgleda vse pomesal. Kot prvo, funkcija y=e^x je edina funkcija (do poljubnega konstantnega predfaktorja seveda), katere odvod je nazaj ista funkcija. In to nima nobene veze s tem da bi bil odvod 1. Prav tako ne razumem kaj mislis z odvodom y po y'... kaj tocno imas v mislih?
Ce ima fukcija kak minimum, je tam odvod funkcije enak 0. Ampak to je pac v eni tocki, saj gre za funkcijo.