matematika - diferencialne enačbe

[msenekovic]

K družini parabol Y=Cx2 poišči družino pravokotnih krivulj tako, da najprej prvotni družini krivulj priredimo diferencialno enačbo, nato pa iz dobljene diferencialne enačbe eliminiramo konstanto C(ki jo izrazimo iz prvotne družine parabol) in končno v dobljeni diferencialni enačbi zamenjamo y' z izrazom -1/y'. Rešitev tako dobljene dif. enačbe predstavlja iskano družino pravokotnih krivulj. Kakšni geometrijski objekti so pravokotne funkcije.

[Aniviller]

Ok, torej kako bi ti odgovoril na to vprašanje:

Vsaka diferencialna enačba 2. reda ni rešljiva.
drži ali ne drži?

Odvisno, kaj mislis s pojmom "resljiva". Pri diferencialih enacbah je itak vecina neresljivih v smislu izrazave z elementarnimi funkcijami - ze zato ker prakticno noben integral, razen tistih, ki jih vidis v soli, ni elementaren. Ampak tukaj gre za tole: saj sinus in kosinus lahko smatras za "neresljivo" dokler ni nekdo rekel "resitvi tele enacbe pa zdaj recemo sinus". In isto lahko naredis za vsako diferencialno enacbo: za vsako lahko reces "resitvi te enacbe recemo pa funkcija blabla" in ce si dovolj popularen bo to funkcijo nekdo dal na kalkulator Tako da gre predvsem za to, katere funkcije smatras za znane.

Bolj resno vprasanje je obstoj resitve: http://www-mat.pfmb.uni-mb.si/personal/ ... tencni.pdf

[msenekovic]

Ok, kaj pa zgornja naloga.. družina parabol.. bi šlo?

[Aniviller]

Ja saj tam je pa ze postopek naveden. Tvoja druzina ima tangente z naklonom y'=2Cx=2y/x (kjer sem uporabil C=y/x^2). Tangente na ortogonalne trajektorije so y'=-x/(2y)
in torej
2ydy=-xdx
y^2=-x^2/2+D
y^2+x^2/2=D
in to so ocitno elipse.

[msenekovic]

Tangente na ortogonalne trajektorije so y'=-x/(2y) => tole dobimo zaradi navodila "dobljeni diferencialni enačbi zamenjamo y' z izrazom -1/y'"?

Kako si potem prišel do tega:
2ydy=-xdx
y^2=-x^2/2+D
y^2+x^2/2=D
?

[Aniviller]

Tangente na ortogonalne trajektorije so y'=-x/(2y) => tole dobimo zaradi navodila "dobljeni diferencialni enačbi zamenjamo y' z izrazom -1/y'"?

Tako je. Pa saj ne rabis navodila za to, saj to ves ze za zvezo med odvodom in normalo na krivuljo. Oziroma zvezo med tangensom in kotangensom.

Potem sem pa samo separiral spremenljivke in integriral.
y'=dy/dx in das vsako spremenljivko na svojo stran.

[msenekovic]

kaj pa tale? y'-2y/x=x^4

[msenekovic]

Dobro.. homogeni del je rešitev y=Cx^2, torej je nastavek za nehomogeni del y=C(x)x^2.. Kaj pa dalje?

[Aniviller]

Ma kar ostane je najlazje! Vstavis nastavek nazaj v enacbo in si resen:

y=C(x)x^2
y'=C'(x)x^2+2xC(x)

y'-2y/x=x^4
C'(x)x^2+2xC(x)-2xC(x)=x^4
odstejes, pokrajsas
C'(x)=x^2
C(x)=x^3/3+D
In torej splosna (homogena + partikularna) resitev
y(x)=x^5/3+Dx^2

[456]

kaj pa če gre za družino pravokotnih krivulj: x*y=C ; T(1,1) . V nalogi pa še je dopisano: izračunaj še krivuljo, ki je tangenta in poteka skozi dano točko.

prosim za pomoč:)

[Aniviller]

Kaj iscemo? Spet ortogonalne trajektorije? V tem primeru postopas tako kot ponavadi. Odvajas:
y+xy'=0
y'=-y/x
za ortogonalne trajektorije velja torej
y'=x/y, od koder predelas na ydy=xdx in torej y^2/2=x^2/2+C, kar so hiperbole, za 45 stopinj zasukane glede na hiperbole originalne druzine.

Tangenta je seveda enostavna, vidis da rabis C=1 da gre skozi, in samo poisces tangento na xy=1, ki znasa x+y=2. Ce mislis tangento na ortogonalno trajektorijo, je pa seveda pravokotna na to, in pride y=x.

[456]

hvala za tako hiter odgovor... kako pa se lotim družine, če je napisana takole: y=C*x^2 ? lahko prosim napišete postopek..? ker, ko izpostavim C in grem odvajat mi ostane C´(x)+.... in mislim, da mi to ne bi smelo..

[Aniviller]

Odvajas po x, C ni odvisen od x, je svoja konstanta (parameter druzine). Tako da dobis lepo y'=2Cx, potem se C-ja znebis tako da ga dobis iz originalne enacbe, in dobis y'=2y/x. Potem pa nadaljujes kakor pac zelis.

Ce se hoces izognit temu, da moras C nazaj izrazat, lahko C izrazis ze na zacetku in potem to odvajas - s tem bo C padel stran ze pri odvajanju. V tem primeru:

C=y/x^2
odvajas
0=y'/x^2-2y/x^3
kar je isto kot tisto zgoraj.

[456]

to mi je sedaj jasno.. vendar, če morem napisat družino krivulj...kaj oz katera je splošna oz končna rešitev za oba primera..??

[Aniviller]

Ko diferencialno enacbo za ortogonalne trajektorije integriras, dobis integracijsko konstanto, ki sluzi kot parameter druzine.