matematika - diferencialne enačbe

[msenekovic]

Mi niso jasni ti nastavki.. npr pri y''+3y'-4y=4*e^(-4x)

A je tu nastavek x*e^(-4x)*A ali x*e^(-4x)*A ?

[Aniviller]

A ni to dvoje isto?
Ja e^{-4x} je ze resitev homogenega dela, tako da moras dvignit stopnjo polinoma spredaj, in res probat vsaj A*x*e^{-4x}. Ker ce vstavis e^{-4x}, bo itak levi del enacbe to spravil na 0.

[akaX]

Živjo,

jaz bi pa rad preveril rešitev naloge : Določi ortogonalne trajetkorije na družino krivulj \(y = C1 sin(x)\).
Rešitev, ki sem jo dobil je \(y = ln cos(x) + ln C2\). Nikjer ne dobim rezultata ( preverjenega), ali obstaja ukaz v WoframAlpha, ki bi nam direktno vrnil rezultat?

Hvala za odgovor,

Lp

[Aniviller]

No saj kvalitativno lahko na oko pogledas ce je prav - narises oboje. Ali pa f'(x)*g'(x) pogledas ce je -1. Jaz mislim, da je ok, samo kosinus daj se v absolutno vrednost, ker ti sicer manjka kos druzine.

[akaX]

Najlepša hvala za tako hiter odgovor, imam še dve vprašanji:
1. Diferencialna enačba \((2x+1)y'-2y=4x\) za katero velja \(y(0)=1\).
Prvi del - izračunam homogeno rešitev \(y=(2x+1)C\). Potem to odvajam in vstavim v prvo enačbo. Dobim \(C'=4x/(4x^2+4x+1)\). Zdaj lahko še to pointegriram in dobim C. Nato uporabim še začetni pogoj. Ali je vse ok s tem postopkom?
2. Poišči rešitev enačbe \(y''+y'-2y=3xe^x+1\).
Dobim \(\lambda1 = -2 ; \lambda2 = 1\), dobim \(y=C1e^(-2x) , y=C2e^x\). Kako tukaj pridemo do končne rešitve?

Že v naprej hvala za odgovore,

Lp

[msenekovic]

Glede nastavkov pri dif. enačbah drugega reda me zanima npr. pri metodi nedoločenih koeficientov:

Če je f(x) polinom stopnje n, potem je nastavek oblike:

y=Q(x) => 0 ni ničla karakteristične enačbe
y=x*Q(x) => 0 je ničla karakteristične enačbe

Mi lahko pokašeš na enem primeru, kako ugotavljaš, če je ničla ali ni ničla?

[Aniviller]

1. Ja postopek je v redu. Je pa bolje da pustis v imenovalcu (2x+1)^2, ker bo dosti lazje naprej razbit za integracijo.
2. No najprej LaTeX namig, pises lahko \lambda_1, pa eksponent grupiras kot e^{-2x}. Zdaj pa na vsebino:
\(y=X_2 e^x\) je ze resitev homogenega dela, in \(xe^x\) je naslednji kandidat, in je tudi ze porabljen. V primerih, da je desni del ze v homogeni resitvi, dvigujes stopnjo polinoma spredaj dokler ni dovolj. Poskusi \((Ax+Bx^2)e^x\), ce ne bo dovolj lahko pa se dvignes stopnjo
Tista enka je pa trivialnost (y=-1/2).

[Aniviller]

Glede nastavkov pri dif. enačbah drugega reda me zanima npr. pri metodi nedoločenih koeficientov:

Če je f(x) polinom stopnje n, potem je nastavek oblike:

y=Q(x) => 0 ni ničla karakteristične enačbe
y=x*Q(x) => 0 je ničla karakteristične enačbe

Mi lahko pokašeš na enem primeru, kako ugotavljaš, če je ničla ali ni ničla?

Ma to je pa cist ocitno. To je samo fancy nacin da povejo, da y manjka, da je najnizji clen y'. In v tem primeru itak lahko das novo spremenljivko z=y'.

Recimo
y''+y'=x
je primer tega. y manjka, in karakteristicni polinom pol tud nima prostega clena, torej je 0 njegova nicla. Zato ne mores dat y=Ax, ker cisto nic x-a ne ostane, ker so sam odvodi.
Sej ce pa tud y' manjka, moras pa se bolj dvignit stopnjo (pa karakteristicni polinom ma dvojno niclo).

V glavnem - to je bedno pravilo ker takoj das novo spremenljivko in resis in pol se enkrat integriras.

[msenekovic]

Kakšno pravilo pa ti predlagaš za nastavke?

[Aniviller]

Ne mislim da je pravilo zanic, samo nikoli ga ne rabis, ker ce pride do te situacije ki jo pravilo opisuje, naredis substitucijo in do tega nastavka sploh ne pride. Sem ti pa hkrati tudi pokazal kaj pomeni tisto da ima karakteristicni polinom niclo - manjkajoci najnizji odvod (clen z y).

[bedanec]

Glede msenekovic-evega vprašanja:
Rešitev homogenega dela dobiš v obliki \(C_1 e^{\alpha_1 x} + C_2 e^{\alpha_2 x}\), kjer sta \(\alpha_1\) in \(\alpha_2\) ničli karakterističnega polinoma (se pravi uporabiš nastavek \(y = e^{r x}\), potem pa deliš enačbo z \(e^{r x}\) in iščeš ničle \(r\)-ja.).
Če imaš na desni strani polinom \((a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0) e^{k x}\) (kjer je lahko \(k=0\), \(e^{k x} = 1\) in ostane samo polinom), iščeš partikularno rešitev v obliki:
a) Če je \(k \neq a_{1,2}\) (torej \(k\) ni rešitev karakteristične enačbe), je rešitev oblike \((c_n x^{n} + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0) e^{k x}\)
b) Če je \(k\) j-kratna rešitev karakteristične enačbe, je rešitev oblike \(x^j (c_n x^{n} + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0) e^{k x}\)

V primeru y''+y'=x, je rešitev homogenega dela \(C_1 e^{-x} + C_2 e^{0 x}\), saj sta \(r_1=-1\) in \(r_2=0\) rešitvi enačbe \(r^2 + r = 0\).
Polinom na desni je enak \((1 x + 0) e^{0 x}\), torej je \(k\) 1-kratna rešitev karakteristične enačbe, in je rešitev homogenega dela oblike \(x^1 (c_1 x + c_0) e^{0 x} = x^1 (c_1 x + c_0)\). Vstaviš to v začetno enačbo, dobiš konstanti \(c_1\) in \(c_0\), splošna rešitev je pa vsota homogene in partikularne.


Anniviler:
Kako izračunam divergenco električnega polja točkastega naboje? Oz. če je rezultat 0 pravilen, kako naj si ga razlagam :s

[Aniviller]

@bedanec mislim da je bilo misljeno, ce je desna stran polinom, brez eksponentnega faktorja.

Divergenca elektricnega polja je enaka gostoti naboja. Ce imas tockast naboj, je povsod okrog v praznem prostoru divergenca 0 (v izhodiscu je pa gostota neskoncna, tako da divergenca za polje tockastega naboja je delta funkcija).

[bedanec]

Sej na koncu je isto, če je k=0 ostane samo polinom, ničla je pa rešitev enačbe samo kadar v enačbi y ne nastopa. Se mi je zdel, da če že ma tisto pravilo, je lažje razumet če pokažem od kje približno pride tista ničla.

Se da to pri računanju divergence opazt? Verjetno sm naredu napako da sm \(\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(\frac{r^2 c}{r^2})=\frac{0}{r^2}\) štel kar kot 0?

[Aniviller]

Ja pri r=0 imas itak singularnost, in da tam vidis da gre za delta funkcijo, moras iti v sredini z integralsko obliko (z Gaussovim izrekom) da ugotovis predfaktor. delta funkcija namrec ni obicajna funkcija ampak porazdelitev (distribucija), tako da ni ravno direktno kompatibilna z odvodi, ki zahtevajo zveznost in odvedljivost.
Lahko pa verjames na besedo in si zapomnis rezultat
\(\nabla^2 \frac{1}{r}=-4\pi\delta(\vec{r})\)

[bedanec]

Aha hvala.