Zdravo! Potreboval bi pomoč pri naslednji nalogi:
Površino razsežnega hlajenega kovinskega valja s polmerom r=10cm hladimo na konstantno temperaturo T=-10°C. Valj postavimo v hladno vodo(npr. jezero pozimi, blizu površine, tik preden zamrzne) pri temperaturi To=0°C. Določi debelino plasti ledu, ki se nabere na krogli d(t) kot funkcijo časa. Čez koliko časa, npr., je plast ledu debela 10cm.
Specifična talilna toplota ledu je 336MJ/kg, toplotna prevodnost ledu v tem temperaturnem območju pa je 2.25W/mK.
Predpostavi, da se voda, zadosti hitro meša, da ima ves čas na robu ledene plasti temperaturo To.
Hvala!
Fizikalna naloga
Re: Fizikalna naloga
Kaj je zdaj to valj ali krogla? 
Sicer je osnovna ideja na majhni skali v redu za vse geometrije: ce se dovolj pocasi nabira, da lahko predpostavis, da je temperaturni profil po debelini ledu linearen (v ravnovesju), potem je hitrost nabiranja ledu pogojena s toplotnim tokom skozi to plast:
\(|j|=\lambda\frac{\Delta T}{x}=q_t\frac{dx}{dt}\)
Ce zmrzuje prehitro, potem pa ni enakomeren profil in imas parcialne diferencialne enacbe s premicnim robnim pogojem - grda zverina
Sicer je osnovna ideja na majhni skali v redu za vse geometrije: ce se dovolj pocasi nabira, da lahko predpostavis, da je temperaturni profil po debelini ledu linearen (v ravnovesju), potem je hitrost nabiranja ledu pogojena s toplotnim tokom skozi to plast:
\(|j|=\lambda\frac{\Delta T}{x}=q_t\frac{dx}{dt}\)
Ce zmrzuje prehitro, potem pa ni enakomeren profil in imas parcialne diferencialne enacbe s premicnim robnim pogojem - grda zverina
Re: Fizikalna naloga
Valj
sepravi, ves toplotni tok iz valja se porablja za nastajanje ledu?
Ampak v nalogi moram upoštevati geometrijo valja, katero pa neznam vključit v enačbe ...
Hvala
sepravi, ves toplotni tok iz valja se porablja za nastajanje ledu?
Ampak v nalogi moram upoštevati geometrijo valja, katero pa neznam vključit v enačbe ...
Hvala
Re: Fizikalna naloga
Dve spremembi sta, ko imas valj: ena sprememba je, da moras notri pustit tudi ploscine povrsin (delas z mocmi, ne z ploskovnimi gostotami moci - pretoki). Torej,
j*S=...=q dV/dt (in V=pi r^2 h, in dV=2pi*r dr h). Na videz izgleda da se vedno lahko vse pokrajsas, ampak razlika se bo pojavila potem
pri izrazu v sredini: zveza med j*S in Delta T ne bo vec taka kot je zdaj, ampak bo tista logaritemska resitev v cilindricni geometriji.
j*S=...=q dV/dt (in V=pi r^2 h, in dV=2pi*r dr h). Na videz izgleda da se vedno lahko vse pokrajsas, ampak razlika se bo pojavila potem
pri izrazu v sredini: zveza med j*S in Delta T ne bo vec taka kot je zdaj, ampak bo tista logaritemska resitev v cilindricni geometriji.
Re: Fizikalna naloga
potreboval bi še mal pomoči, ker nekako mi ne uspe pravilno prit do konca ...
nisem prepričan ali je S enak na obeh straneh ali je ta S površina valja, ali tudi ledu ... pa težave se pojavijo tudi potem ker nevem točno kako in kaj integrirat da bi prišel do pravilnega rezultata ...
takole sem pa rešaval: (pa se opravičujem ker ne zna uporabljat latex)
P=dQ/dt,
dQ=dm*q_t, dm=ro*dV, dm=ro*2*pi*r*dr*h
P=j*S=lamda*S*dT/dx
dQ/dt=lamda*S*dT/dx
(ro*2*pi*r*dr*h*q_t)/dt=lamda*2*pi*r*h*dT/dx
Hvala!
nisem prepričan ali je S enak na obeh straneh ali je ta S površina valja, ali tudi ledu ... pa težave se pojavijo tudi potem ker nevem točno kako in kaj integrirat da bi prišel do pravilnega rezultata ...
takole sem pa rešaval: (pa se opravičujem ker ne zna uporabljat latex)
P=dQ/dt,
dQ=dm*q_t, dm=ro*dV, dm=ro*2*pi*r*dr*h
P=j*S=lamda*S*dT/dx
dQ/dt=lamda*S*dT/dx
(ro*2*pi*r*dr*h*q_t)/dt=lamda*2*pi*r*h*dT/dx
Hvala!
Re: Fizikalna naloga
Ja tukaj je tisti problem, ko moras predpostavit, da plast ledu raste pocasneje kot rabi temperatura, da se uravnovesi.
Resitev za valj dobis iz
\(jS=j 2\pi r h=-\lambda 2\pi r h\frac{dT}{dr}=P=\text{konst.}\)
pri cemer se konstanost nanasa na to, da skozi vse plasti valja tece ista moc.
To potem vodi v
\(-\frac{\lambda 2\pi h}{P}\Delta T=\ln \frac{r}{r_0}\)
Drugi korak je potem tisto kar sva ze prej delala, samo P ima zdaj odvisnost od r notri. To uposteva to, da je ploscina notri manjsa kot zunaj (in temu primerno je potem tam tok vecji).
\(P=\frac{dQ}{dt}\)
oziroma
\(dQ=q_t\rho 2\pi r h\,dr=P\,dt\)
in sem noter vstavis P iz zgornjega izraza. Je pa to precej grd izraz, tako da je najbrz ni misljeno da tako kompliciras. Ce je debelina ladu majhna v primerjavi s polmerom, potem lahko predpostavis konstantno ploscino in si nazaj na poenostavljenih enacbah.
Resitev za valj dobis iz
\(jS=j 2\pi r h=-\lambda 2\pi r h\frac{dT}{dr}=P=\text{konst.}\)
pri cemer se konstanost nanasa na to, da skozi vse plasti valja tece ista moc.
To potem vodi v
\(-\frac{\lambda 2\pi h}{P}\Delta T=\ln \frac{r}{r_0}\)
Drugi korak je potem tisto kar sva ze prej delala, samo P ima zdaj odvisnost od r notri. To uposteva to, da je ploscina notri manjsa kot zunaj (in temu primerno je potem tam tok vecji).
\(P=\frac{dQ}{dt}\)
oziroma
\(dQ=q_t\rho 2\pi r h\,dr=P\,dt\)
in sem noter vstavis P iz zgornjega izraza. Je pa to precej grd izraz, tako da je najbrz ni misljeno da tako kompliciras. Ce je debelina ladu majhna v primerjavi s polmerom, potem lahko predpostavis konstantno ploscino in si nazaj na poenostavljenih enacbah.
Re: Fizikalna naloga
Tko sm tut js probu rešit, ampak res res grd izraz pride na koncu tko da ne vem če je to to.. Si ziher da je P = konst? ker delta T je isti ne glede na debelino ledu, men se bol zdi da je j = konst., ampak ne bi znal čist argumentirat. Je pa debelina ledu nakonc ista kokr polmer, tko da ni zanemarljivo pomoje.
Re: Fizikalna naloga
Kolikor moci vstopi v cilinder na zunanjem radiju, toliko mora preit skozi vsak manjsi radij - ohranitev energije. j je tisti, ki se povecuje pri manjsem radiju. Saj ta logaritemska resitev je znana stvar.
Re: Fizikalna naloga
Pa ne moreš gledat na nastajanje ledu kot nek ponor? Al to nič ne spremeni.
Re: Fizikalna naloga
Ja saj zato pa debelina narasca, pa tok pada ker se debelina povecuje. Samo tukaj sva predpostavila "adiabatno" spremembo, da je dr/dt dovolj majhen, da je profil stacionaren. Pa ta efekt je povrsinski, tisti logaritemski profil opisuje kaj se dogaja po debelini.
Re: Fizikalna naloga
\(P = konst. = j S(r) = -\lambda 2 \pi r h \frac{dT}{dr}\)
\(\int_{R}^{R+x} \frac{dr}{r} = \frac{2 \lambda \pi h}{P} \int_{T_{m}}^{T_{0}} dT\), kjer je \(x\) debelina ledu.
\(P = \frac{2 \lambda \pi h \Delta T}{\log(\frac{R+x}{R})} = \frac{dQ}{dt}\)
\(dQ = dm q_{t} = q_{t} \rho 2 \pi (R+x) h dx\)
\(\int_{0}^{d} \log(\frac{R+x}{R}) (R+x) dx = \frac{\lambda \Delta T}{ q_{t} \rho} \int_{0}^{t} dt\).
Če tko integriram x od 0 do R, pol dobim cifro pač, funkcijska odvisnost je pa pregrda. Poenostavit vrjetn ne morš, kr je debelina ledu vseen vlka. Pr debelini x = 10 cm dobim, da je za to potreben čas \(9.5 \times 10^{7}\) s, kar je nekam velik
\(\int_{R}^{R+x} \frac{dr}{r} = \frac{2 \lambda \pi h}{P} \int_{T_{m}}^{T_{0}} dT\), kjer je \(x\) debelina ledu.
\(P = \frac{2 \lambda \pi h \Delta T}{\log(\frac{R+x}{R})} = \frac{dQ}{dt}\)
\(dQ = dm q_{t} = q_{t} \rho 2 \pi (R+x) h dx\)
\(\int_{0}^{d} \log(\frac{R+x}{R}) (R+x) dx = \frac{\lambda \Delta T}{ q_{t} \rho} \int_{0}^{t} dt\).
Če tko integriram x od 0 do R, pol dobim cifro pač, funkcijska odvisnost je pa pregrda. Poenostavit vrjetn ne morš, kr je debelina ledu vseen vlka. Pr debelini x = 10 cm dobim, da je za to potreben čas \(9.5 \times 10^{7}\) s, kar je nekam velik
Re: Fizikalna naloga
Potreboval bi še malo pomoči pri končnemu izrazu ... Rabim pa izrazit r(t) oziroma r(t)=r_0+r , kjer je r_0 polmer valja, r pa debelina ledu.
q_t*ro*ln(r/r_0)*r*dr=-lamda*dT*dt
tole zadevo integriramo in dobimo ...
1/4*r^2*(2*ln(r/r_0)-1)=-lamda*dT*t
Iz tega "rezultata" pa neznam pravilno izrazit tako kot je zgoraj navedeno ...
Hvala!
q_t*ro*ln(r/r_0)*r*dr=-lamda*dT*dt
tole zadevo integriramo in dobimo ...
1/4*r^2*(2*ln(r/r_0)-1)=-lamda*dT*t
Iz tega "rezultata" pa neznam pravilno izrazit tako kot je zgoraj navedeno ...
Hvala!