Matematika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
andreja995
Prispevkov: 274
Pridružen: 6.5.2012 9:54

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a andreja995 »

Logaritemska.

Potem lahko vedno minuse izpostavim?

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

Aniviller napisal/-a: @Slončica
Ma ničlo iščeš, ne? Izenači z nič :)
\(2\sin x-1=0\)
\(\sin x=\frac{1}{2}\)
zdaj pa znaš naprej... pa ne pozabi na periodičnost, in da ima že v eni periodi 2 rešitvi.
Hvala. Čisto sem pozabila. Mi lahko samo še pomagate s tem, kako naj najdem Df in Zf kotne in krožne f., če si ne narišem grafa?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Za sin/cos veš, da sta definirana za vsak kot (Df=R), vrednosti pa padejo v interval [-1,1]. Tangens veš, da ima Df=R\{pi/2,3pi/2,...} (poli), Zf=vse (pol ima, vse vrednosti obišče). Inverzne si moraš pa zapomnit... Df inverzne je vedno kar Zf originalne (torej [-1,1] za acos in asin), Zf je pa skrčen (ker se sinus ponavlja). Tukaj moraš vedet, kateri del je zmenjen da vzameš. Za arkus sinus ti da med [-pi/2,pi/2], za arkus kosinus pa med [0,pi] (če si narišeš enotsko krožnico, je sinus zmenjen, da vrača 1. in 4. kvadrant, kosinus pa 1. in 2.). Pač prvi je vedno vključen, potem pa še tisti, ki se ga drži :)

V vsakem primeru to kar počneš ni nič drugega kot da imaš v mislih graf :)

andreja995
Prispevkov: 274
Pridružen: 6.5.2012 9:54

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a andreja995 »

Kako naj rešim nalogo:
Oseba x si zeli kupiti novo opremo, ki stane 1000€ in razmislja, lahko si jo kupim danes in jo odplacam z 12 mesecnimi pologi, zacensi danes ali pa jo lahko kupim cez natanko eno leto in do takrat varcujem z dvanajstimi mesecnimi pologi, zacensi danes. Koliko denarja oseba x priharani, ce kupi opremo cez eno leto? Cena opreme se ne spreminja, banka prizna za varcevanje letno obrestno mero 2.5%, za posojilo pa 5.5%.

Resitev je 38€, a jaz dobim za 5€ prevec.

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

Kako naj rešim: lim (sin(^3)x\2)/x^3; rešitev je 1/8
x->0

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Razvij sinus po Taylorju. \(\sin x \approx x\). Lahko si tudi misliš, da imenovalec množiš in deliš z 8, in potem gledaš člene \(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\), ki po srednješolsko postanejo 1.

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

Hvala.

Prosila bi, če mi lahko pomagate z nalogo 593, primer c.
http://shrani.si/f/1T/ZM/wUXnv94/image.jpg

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Spet imaš več načinov. Ena varianta je spet razvoj... v imenovalcu bo stvar šla kot ~x^2, torej moraš v števcu razvit najmanj do kvadratnega člena (tisti vodijo po krajšanju do konstant, višji členi bodo pa dali nekaj *x ali *x^2, tako da so 0)... razviješ kot \(\cos 2x\approx 1-\frac{1}{2}(2x)^2+\cdots\), \(\tan x \approx x+\cdots\), \(\sin x\approx x+\cdots\) in dobiš
\(\lim_{x\to 0} \frac{1-(1-\frac{1}{2}(2x)^2)-2x^2}{x^2}=\)
\(\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{2}(2x)^2-2x^2}{x^2}=0\)

Druga varianta je, da se najprej znebiš dvojnih kotov, da bo lažje izpostavljat
\(\sin_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x-2\tan^2 x}{x\sin x}=\)
\(\sin_{x\to 0}\frac{1-(\cos^2 x -\sin^2 x)-2\tan^2 x}{x\sin x}=\)
\(\sin_{x\to 0}\frac{2\sin^2 x-2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{x\sin x}=\)
\(\sin_{x\to 0}2\frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{1}{\cos^2 x})=0\)

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

Hvala.

Mi lahko prosim pomagate še s 590g?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Pa daj razvij no :) Samo sin(x)->x uporabiš, limitiranje sinusov okrog x=0 je nalažje, posebej če rabiš samo prvi člen (če bi se pa vse pokrajšalo, bi bilo pa treba naslednje upoštevat)...
\(\lim_{x\to 0}\frac{x+2x}{3x+2x}=\frac{3}{5}\)

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

Ne razumem najbolje, kako uporabiti to limitiranje

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Limitiranje je enostavno. Gledaš obnašanje funkcije v neposredni okolici neke točke, in potem dobesedno limitiraš direktno k vrednosti, kjer te zanima. Načeloma bi itak radi kar vstavili x in bi bilo to že rezultat - kadar to ne gre zaradi kakšnih nedoločenih izrazov (0/0 ali neskončno/neskončno ali 1^neskončno ali kaj takega) moraš pa res pogledat, kako se funkcije obnašajo tam okoli, in potem poenostavit do te mere, da se ti tisto, kar gre v tisti točki proti nedoločenem izrazu, pokrajša. Recimo f(x)=sin(x) se v okolici x=0 obnaša kot f(x)=x (če pogledaš dosti od blizu, sinus začne linearno po diagonali, potem šele začne zavijat). Iz tega potem sledi tudi, da gre sin(x)/x proti 1, saj postane vedno bolj podobno x/x. Iz tega potem direktno sledi tudi sin(2x)/x -> 2 in podobno... sin(x)/x->1 je samo poseben primer, ki ga učijo v srednjih šolah.

V tvojem primeru lahko tudi imenovalec in števec deliš z x, in potem prepoznaš kup limit tipa sin(x)/x (po možnosti z dodatnim faktorjem v sinusu, ki kot vidiš ni noben problem). Samo da toliko poenostaviš, da znaš pokrajšat tisto, kar postane 0.

Limitni postopek je rutina, ki ga lahko po "receptu" rešiš praktično brez kompliciranja, to zna vsak računalnik. Prijemov je zelo malo:

1) Izpostavljaš in preoblikuješ tako, da najdeš znane limite, ali da se ti pokrajša tisto, kar povzroča ničle. To je še najbolj kompliciran način, saj zahteva nekaj spretnosti pri prepoznavanju vzorcev.
2) Razvoj v potenčno vrsto. Praktično vsako funkcijo se da zapisat v okolici neke točke kot vsoto potenc: v principu je neskončno členov, ampak v limiti bodo jasno vse dovolj visoke potence po vstavljanju vrednosti x postale 0, razen najnižji členi, kjer se vsi x pokrajšajo in ostane le konstanta (prosti člen polinoma). To zgoraj je tipični primer tega postopka, ko rabiš samo člen pri x. Pazit moraš le, da zapišeš dovolj členov, da dobiš vse tiste, ki se ne pokrajšajo, lahko imaš limito, kjer se pokrajša do kakšnega višjega člena. Recimo
\(\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}\)
opaziš, da če daš sin(x) da je približno x, se ti v števcu vse odšteje, pa še vedno dobiš 0/0. V tem primeru moraš pogledat kaj se dogaja z višjimi členi: \(\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\)
Tokrat bosta dva dovolj (vidiš po tem, da hočeš pokrajšat x^3) in hitro prideš do rezultata 1.
3) Odvajanje števca in imenovalca. Ta tudi praktično vedno prime (in je v bistvu na skrivaj isti postopek kot 2). Lahko si predstavljaš, da če deliš dve funkciji, ki sta v okolici neke točke enaki nič, bo dovolj blizu to isto, kot da deliš dve linearni funkciji a*x in b*x in pokrajšaš x. Naklona a in b sta kar odvoda, torej je kvocient odvodov tam enak limiti. Če še vedno pride 0/0, pomeni, da si na tistem primeru kot pri 2), ko rabiš več členov, in pač odvajaš še enkrat.

Ne vem koliko od teh znanj imaš. Načeloma 1), ki se uči v srednjih šolah kot glavni postopek, zahteva največ razmišljanja in ustvarjalnosti, ampak odvajanje in razvoj v potenčno vrsto pač ni nujno da sta že v učnem programu. Jaz najbolj priporočam postopek 2), saj je z njim ponavadi najmanj dela, posebej če gledaš okolico x=0 (če imaš kak drug x=a, potem lahko daš pa novo spremenljivko y=x-a, ki gre proti 0, in računaš naprej). Za 99% življenja je dovolj, če si zapomniš vrste
\(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\)
\(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\)
\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\)
\((1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots\)
Največ dva člena sta ponavadi dovolj.
Če rabiš pa samo en člen, pa je dovolj celo, da veš, da so vse funkcije sin(x), arcsin(x), tan(x), arctan(x), v okolici x=0 take kot f(x)=x.
Kadar imaš pa kak logaritem, pa greš z metodo 3), saj je odvod logaritma lepa stvar.

Limito si ni težko predstavljat in preverjat tudi s kalkulatorjem. Enostavno vstaviš x rahlo večji od limitnega, pa prideš zelo blizu rezultata. Recimo v tvojih primerih x=0.01 ali kaj takega. Sam ne preveč, da kalkulatorju zmanjka decimalk in spet dobiš 0/0 :) Točno to limita naredi: pogleda, čemu se približuje vrednost funkcije v točki, kjer so z izrazom v osnovni obliki težave.

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »

Najlepša vam hvala :D

Vem, da sem tečna, a bi vas prosila za pomoc pri 16, 27a in č, saj se že cel dan trudim, a ne dobim pravilnih rezultatov :(

Slončica
Prispevkov: 112
Pridružen: 10.10.2012 17:59

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Slončica »


Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

16)
Zoprno je limitirat proti pi. Ampak: spodaj imaš sin(2*x) in to se na pi ponovi (sinus se na 2pi ponovi). Podobno je tudi s tangensom, torej lahko zamenjaš limito proti 0. Potem je pa zoprno to, da imaš korene ravno pri tistem, kjer hočeš limito potegnit... ampak ni panike, racionaliziraš lahko (množiš zgoraj in spodaj z istim členom s plusom) in dobiš gor razliko kvadratov:
\(\lim_{x\to 0}\frac{(1-\tan x)-(1+\tan x)}{\sin 2x (\sqrt{1-\tan x}+\sqrt{1+\tan x})}\)
Zdaj ne bo problema Tisti oklepaj s plusom zdaj ni problematičen ker pride kar 2 ko vstaviš x=0. Ostalo je pa spet v limiti isto kot -2x/2x.

27a)
Uf, poljubno število načinov... eno je, da zamenjaš spremenljivko na y=x-3 ki gre proti nič, razpišeš nastale potence in pogledaš kaj pride - če lahko zgoraj in spodaj kakšne y izpostaviš in pokrajšaš, si na konju. Drugi način je, da enostavno poskušaš razcepit zgoraj in spodaj na produkt (veš da mora bit oboje deljivo s 3, saj imaš 0/0 pri x=3), in pokrajšaš (x-3) in potem je vse v redu. To je isto kot tisto zgoraj, samo na drug način. Lahko greš pa seveda odvajat zgoraj in spodaj, pri polinomih to ni problem.

č)
Racionaliziraj imenovalec. Potem prideš skozi z odvodom, z menjavo spremenljivke na y=x-5 in razvojem, mogoče se da celo direktno.

Odgovori