Matematika

[Slončica]

Vi obvladate matematiko, jaz pa jo želim samo narediti na osnovnem nivoju splošne mature.

Bi mi lahko prosim pomagali s primerom: iz kroga s polmeruom 10 cm oblikujemo stožec z največjo prostornino. Kolikšen je V?
Napisala sem formulo za V, ker imam r, imam samo eno neznanko, višino, ampak ko to odvajam, dobim da je v=0. Nekje je napaka, a ne vem kje.

Hvala.

[Aniviller]

Ja no saj samo pravim da enostavneje kot vsota dveh sinusov že ne more bit, še verižnega pravila ne rabiš.

Maksimiziraš volumen (h=višina stožca)
\(V=\frac13 r^2 h\)
in če višino vzameš za neznanko, bo treba izrazit r (polmer stožca). polmer R originalnega kroga je enaka stranici stožca (v prerezu ugotoviš \(R^2=r^2+h^2\)). Tako da prideš do
\(V=\frac13(R^2-h^2)h=\frac13R^2h-\frac13h^3\)
odvod takoj da
\(V'=\frac13R^2-h^2=0\)
in rešitev
\(h=R\frac{\sqrt3}3\)

[Slončica]

Najlepša hvala

Bi bili prosim tako prijazni in bi mi pomagali še s tem primerom: stranici pravokotnika z enim ogljiščem v koordinatnem izhodišču ležita na koordinatnih oseh, eno od ogljišč pa je na premici x+3y=12; kateri pravokotnik ima najdaljšo stranico?

[Aniviller]

No ta je pa sploh daleč najlažja možnost. Ponavadi je bilo treba zvezo med spremenljivkami izpeljat iz geometrije ali česa podobnega (kot prej zvezo med polmerom in višino stožca). Tukaj ti jo pa podajo že izraženo. Če si narišeš, namreč vidiš, da če je oglišče C tega pravokotnika (po diagonali nasproti od izhodišča) v točki (x,y), potem sta stranici pravokotnika kar x in y (karkoli že iščeš, samo izraziš recimo x iz x+3y=12 in imaš potem vse z y izraženo, odvajaš in poračunaš). Edino nisem ziher kaj točno iščeš. Najdaljšo "stranico" (katero?) je brezveze, saj bo to vedno prišel neskončno tanek pravokotnik, ki se bo razkomotil kakor se lahko vzdolž ene smeri. Bolj smiselna vprašanja so najdaljši obseg (2(x+y)), najdaljša diagonala (kvadrat diagonale = x^2+y^2)in največja ploščina (xy). Kar vse tri poračunaj za vajo - je dober način za dobit občutek za take naloge.

[Slončica]

Narisala sem si skico iz katere deluje, da je ogljišče A(0,0) in D (0,4), iz tega nisem dobila nič pametnega, v rešitvah pa piše, da sta stranici najdaljše diagnale dolgi 3.6 in 1.2

[andreja995]

Rešujem primer y=(x-1)^1/2 in v rešitvah piše, da ničle ni, vem, da je f. definirana za vsak x<-1, ali zato ni ničle?

[Aniviller]

@Slončica
No očitno res iščeš najdaljšo diagonalo. Maksimiziraš torej
\(x^2+y^2=(12-3y)^2+y^2=144-72y+10y^2\)
odvajaš po y in izenačiš z 0:
\(0=-72+20y\)
\(y=3.6\)
x pa potem dobiš ven.

Lahko greš seveda obratno (y izraziš z x), samo jaz sem tako naredil, da ni ulomkov. Pa še to - uporabil sem to, da lahko iščeva maksimum kvadrata diagonale (ko bo diagonala maksimalna bo tudi njen kvadrat maksimalen), tako da nimava tistega bedastega korena iz pitagorovega izreka za odvajat.

@andreja
No ja... definirana je za x>1 To ali ima ničlo ali ne je stvar tega kaj narediš z ničlami na robu definicijskega območja. Ničlo bi imela pri x=1, ampak to je tako, da funkcija nikoli zares ne seka ničle, saj na levi ni nič. Saj veš kakšna je v desno premaknjena korenska funkcija.

[andreja995]

Hvala. Kako pa naj izračunam ničlo y=x-sinx; ne vem, kaj naj z x-om

[Aniviller]

V splošnem bi bila to transcendentna enačba, kjer itak ponavadi ni druge kot da iščeš rešitev numerično in dobiš nek približek na željeno število decimalk. Magari z bisekcijo. Ampak v tem konkretnem primeru pa je itak edina rešitev x=0. Če si ogledaš x=sin(x) in ugotoviš, da sta že pri x=0 tangentni, potem pa sinus zavije dol in pleše okrog nule, x pa odide suvereno v neskončnost, ti je jasno, da se ne moreta nikoli več srečat.

[Slončica]

Hvala.

Kako naj bi rešila primer: višiba stranske ploskve pravilne tristrane piramide je dolga 6x3^1/2, izračunaj največji V

Ne vem, kaj naj s to stransko višino, geometrija mi resnično ne gre.

[Aniviller]

3D predstavo rabiš. Tristrano piramido lahko prerežeš z navpično ravnino tako, da dobiš trikotnik: vodoravna stranica sovpada z višino stranice osnovne ploskve (višina enakostraničnega trikotnika na dnu), ena gre po stranskem robu, ena pa po višini stranske ploskve. Višina tega trikotnika gre kar po višini piramide. In še bolje, ko potegneš višino, ti presek razpade na dva pravokotna trikotnika. Ker višina pravilne piramide izhaja iz težišča osnovne ploskev (težišče pa deli višino na tretjini višine), lahko vse izraziš. Poglejva pravokotni trikotnik, ki ima hipotenuzo enako tvoji podani višini stranske ploskve (reciva temu d), kateti sta pa višina h in tretjina višine osnovne ploskve \(a\frac{\sqrt{3}}{6}\). Velja torej \(d^2=h^2+\frac{1}{12}a^2\). Maksimiziraš pa volumen, ki ga pa izraziš kot \(V=\frac13 Sh=\frac{\sqrt3}{12}a^2h\), kjer je bila S osnovna ploskev. Vez med h in a (iz pitagorovega izreka) lahko zdaj tu uporabiš (najpametneje je izrazit a^2 s h^2, da ne bo korenov) in določiš ekstrem. Opaziš, da sva skoraj isto stvar že mela pri stožcu narejenem iz krožnega izseka - stožec in piramide sta skoraj isto.

[Slončica]

Hvala.

Kako pa naj izrazim odvisnost med r in a? Nekako se ne znajdem s tem pravokotnim trikotnikom

[Aniviller]

Kaj a to pri tej isti nalogi? r?
Ta naloga zdaj izgleda samo \(\frac{a^2}{12}=d^2-h^2\), potem pa \(V=\sqrt3(d^2-h^2)h\) in potem \(V'=0=\sqrt{3}(d^2-3h^2)\) od koder \(h=\frac{1}{\sqrt3}d\).

pirarez.png (10.84 KiB) Pogledano 5647 krat

[Slončica]

Izračunala sem, da je h=6 in a=12x6^1/2, potem sem računala V, a ne dobim pravilnega rezultata, ki je 1296x3^1/2

[Aniviller]

Hja po mojih računih pride 3x manj. Tale naveden podatek je kar precej prevelik.