Matematika

[Aniviller]

Ja no enačbe je pač treba rešit, tu ni kaj. Rešuješ kot katerokoli drugo enačbo, če so ti koreni v napoto, jih poskusi odpravit, s tem da moraš potem pazit na koncu in preverit rešitve, ker kvadriranje lahko pridela kakšno dodatno lažno rešitev. Recimo
\(|z|+z=8+12i\)
nastaviš z=a+bi
\(\sqrt{a^2+b^2}+a+bi=8+12i\)
imaginarni del ti takoj pove b=12, ker je vse ostalo realno. Realni del enačbe pa se glasi
\(\sqrt{a^2+b^2}+a=8\)
\(\sqrt{a^2+b^2}=8-a\)
kvadriraš
\(a^2+b^2=64-16a+a^2\)
\(16a=64-b^2=64-12^2=-80\)
\(a=-5\)
Torej
\(z=-5+12i\)
Preveriš še prvotno enačbo:
\(|z|+z=13-5+12i=8+12i\)
ok.

[urban2012]

Kaj pa prvi primer?

[Aniviller]

Probaj sam, saj je isti postopek. Poleg tega ne vem kaj misliš z -8-1, a ti manjka i, ali je to enostavno -9?

[urban2012]

-8-i je tam. Pridem do enačbi 3b^2 - 4b -15=0 In potem to razstavim, ampak dobim dve rešitvi, morala pa bi biti samo ena.

[Aniviller]

Saj pravim, kvadriranje ti lahko pridela dodatne rešitve (ker požre minuse). Z vstavljanjem v originalno enačbo ugotoviš, katera je prava.

[urban2012]

Torej je bil postopek pravi, ker se mi je čudno zdelo,da sem dobil dve rešitvi. Ali se da še kako drugače ugotoviti, katera rešitev je prava?

[Aniviller]

Kvadriranje dejansko uniči del informacije (če hočeš obrnit postopek, ne moreš več izvedet kakšna je bila osnovna enačba), tako da na nek način moraš uporabit originalno enačbo - vstavljanje je najbolj enostavno.

To je splošen problem pri vsaki neobrnljivi manipulaciji enačb. Čim tvoja operacija lahko več enačb spremeni v eno in isto, izgubljaš informacijo in se moraš tega zavedat. Najbolj očiten in banalen primer je, če enačbo množiš z 0. Ta postopek uniči povsem vso informacijo (enačbo 0=0 rešijo vsa števila). Kvadriranje ti ne razlikuje med predznaki. Če recimo na enačbi uporabiš kosinus, ne razlikuješ več v kateri periodi si in moraš potem ta del informacije dešifrirat iz originala. In tako dalje... navadit se moraš, kdaj tvoja operacija enačbo malo pokvari, in kdaj ne. Recimo linearne operacije (prištevanje ali množenje z neničelno konstanto) so vedno varne. Eksponentna funkcija je tudi varna recimo. Če hočeš povezat z ostalo teorijo: "varne" so injektivne funkcije.

[Slončica]

Dokaži, da je izraz sin2x+2sin^2(x-pi/4)=1, za vsak poljuben x.

Ne vem, kaj naj s tem kvadratom sin(x-pi/4)

[skrat]

Dokaži, da je izraz sin2x+2sin^2(x-pi/4)=1, za vsak poljuben x.

Ne vem, kaj naj s tem kvadratom sin(x-pi/4)

\(sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-cos(2x))\)

[Roman]

Moram priznati, da me notacija pri kotnih funkcijah rahlo moti. \(sin^2(x)\) namreč pomeni \(sin(x)\cdot sin(x)\) in ne \(sin(sin(x))\). Najbrž davek na zgodovinski razvoj.

[Aniviller]

Po moje bolj to, da sin(sin(x)) nima kakšnega hudega smisla in se v normalni situaciji ne pojavlja, tako da nimaš s čim zamešat. Po drugi strani nočeš pisat sin(x)^2 ker to pomeni sin(x^2). Posebej v primeru enega argumenta, ko ne pišeš oklepajev. Recimo sin x^2. Povej mi komu se da pisat (sin x)^2.
Seveda je treba pazit, ker \(\sin^{-1}x\) (vsaj na kalkulatorjih) še vedno obdrži pomen inverzne funkcije

[urban2012]

Določi a, da bo vrednost izraza enaka -4.
a^3-a^2+a-1

[urban2012]

Kako narisati (Im(z))<1 ?
zunanja oklepaja pomenita absolutno.

[urban2012]

Naj bo (z)=3. Izračunaj (3-z)^2+(3+z)^2.
Oklepaji pomenijo absolutno, prosil bi za postopek, ker mi ni povsem jasno kaj naloga zahteva od mene.

[Zajc]

Kako narisati (Im(z))<1 ?
zunanja oklepaja pomenita absolutno.

|Im(z)|<1 je isto kot -1<Im(z)<1, to pa je vodoraven trak širine 2.