Grupe

[subic.alja]

Heii!
Potrebujem pomoč pri nalogi. Kako dokažeš komutativnost za operacijo \(x*y=x^{\ln y}\), ter kako dobiš nevtralni element te operacije?

[Aniviller]

No lahko pretvoriš \(x=e^{\ln x}\) in dobiš
\(x\ast y=e^{\ln x \ln y}\)
To je potem komutativno zaradi komutativnosti navadnega množenja logaritmov v eksponentu.
Na podoben način ugotoviš tudi, da je nevralni element \(e\), saj samo zahtevaš
\(x\ast {\bf 1}=x=x^1\)
in torej ln(y)=1.

Najbolj simetrično je zapisat kar
\(\ln (x\ast y)=\ln x \ln y\)
od koder vidiš, da gre le za množenje v logaritemski skali. Na pozitivnih x,y imaš bijektivno preslikavo \(x\mapsto \ln x\), ki slika tvoje množenje v navadno množenje.

[subic.alja]

Ampak ko daš nato \(y*x=y^{\ln e^{\ln x}}=y^{\ln x \ln e}\) je to enako kot \(e^{\ln x \ln y}\)?

[Aniviller]

Hm... zakaj pa dvostopenjsko delaš? Spodnjega sem transformiral, da sta oba gor, da je simetrija očitna. Tistega zgoraj pa pusti pri miru. Vse, kar sem hotel, je
\(x\ast y=e^{\ln x \ln y}\)
\(y\ast x=e^{\ln y \ln x}=e^{\ln x \ln y}\)

[subic.alja]

Aha tako, hvala

[Marjetka]

Ker je že ravno odprta tema za grupe, imam tudi jaz eno vprašanje s tega področja.. in sicer,

Utemelji, če velja ali ne velja:
če je G grupa, je množica \(H=\{a\in G|a^2=1\}\) njena podgrupa.

Hvala za odgovor.

[Zajc]

Ne velja. Npr. v grupi \(G=S_3\) je \((1,2),(1,3)\in H\) in \((1,3)(1,2)=(1,2,3)\notin H\), torej množica \(H\) ni zaprta za množenje.

Velja pa v posebnih primerih, npr. ko je \(G\) Abelova.

[genovefa29]

Tudi jaz bi potrebovala pomoč pri eni nalogi iz grup in sicer:

Cayleyev izrek nam pove, da lahko vsako grupo reda n upodobimo kot podgrupo grupe permutacij Sn. Poiskati moramo upodobitev grupe Q(kvaternionske grupe) v grupi S8.

Hvala za odgovor.

[Marjetka]

Poskusi tako, da pogledaš kako se pri množenju z i oz. j premešajo elementi Q in to zapiši z ustreznima permutacijama iz S8.

[fmf]

Za malo pomoči bi prosil.

Na množico kompleksnih števil \(\mathbb{C}\) poskusimo vpeljati vsako od spodnjih binarnih operacij \((z,w) \mapsto z \circ w\) za \(z,w \in \mathbb{C}\).

\(a) z \circ w = 0\)
\(b) z \circ w = z+w\)
\(c) z \circ w = z-w\)


Najprej preveri, v katerih primerih je operacija \(\circ\) dobro definirana.

Kaj pomeni preveriti, ali je operacija dobro definirana?