Koliko je nič na nič?

[ZdravaPamet]

Koliko je \(0^{0}\)?
Ena ali nič? Mislim, da je 0.

[JAN]

seveda saj je 0log0 enak 0

[ZdravaPamet]

\(\log 0\) ni definiran

[JAN]

eh glih sm hotu popravt pa si me prehitu, res je nedifiniran pri 0 sam nič krat neskončno je pač nič saj se log pri približevanju nič približuje neskončnosti

[ZdravaPamet]

Ja zdi se res nekako tako z logaritmom. Iskal sem pravzaprav malo bolj matematično pojasnitev iz teorije števil.

[Maedhros]

Malo sem že lesen v tej matematki, tako da kar malo dvomim, da je tole pravilno razmišljanje, pa bom vseeno poskusil...

a^n, kjer sta tako a kot n naravni števili, je definiran kot a*a*...*a, n-krat. Med vsemi temi a-ji si lahko mislimo tudi enke (torej a*1*a*1*...), ker je to pač enota za množenje v tej algebrski strukturi.

Če torej vzamemo a^0, nam ob odvzetju vseh a-jev iz zgornjega produkta ostane le enota za množenje, torej 1.

Precej po domače tole, ja, se strinjam. Upam da me bo kdo popravil...

[shrink]

Koliko je \(0^{0}\)?
Ena ali nič? Mislim, da je 0.

Izrazi tipa \(0^{0}\) spadajo med t.i. nedoločene izraze. To so v bistvu limite, ki lahko obstajajo ali pa ne.

Nedoločenosti tipa \(0^{0}\), \(\infty^{0}\) in \(1^{\infty}\)

se rešujejo na sledeč način:

Če je \(f(x)&=&g(x)^{h(x)}\) ter \(\lim_{x \to a} g(x)&=&0\) in \(\lim_{x \to a} h(x)&=&0\), poiščemo

najprej limito \(A\) izraza

\(ln(f(x))&=&h(x)ln(g(x))\),

ki ima obliko \(0\texttt{*}\infty\), nato pa jo potenciramo, torej izračunamo \(e^{A}\).

Vsaka limita

\(\lim_{x \to a} f(x)\)

je torej nedoločeni zraz tipa \(0^{0}\).

Sledi, da zgolj v primeru, ko je \(A&=&0\), je \(\lim_{x \to a} f(x)&=&1\).

Iz navedenega je jasno, da ne moremo a priori trditi

\(0^{0}&=&1\).

Pa sem še to spravil v TeX obliko.

[Aniviller]

V posebnem primeru ko za obe nicli postavis isti izraz pa dobis
\(\lim_{x \to 0} x^x&=&1\)

[shrink]

V posebnem primeru ko za obe nicli postavis isti izraz pa dobis
\(\lim_{x \to 0} x^x&=&1\)

Natanko tako. Če še ponudim dokaz za gornjo trditev za najbolj splošen primer (tako da bo tudi drugim jasno, kaj misliva):

Želimo pokazati

\(\lim_{x \to a} f(x)^{f(x)}&=&1\),

če vemo, da velja \(\lim_{x \to a} f(x)&=&0\).

Dokaz:

\(\lim_{x \to a} f(x)^{f(x)}&=&\lim_{x \to a} e^{f(x)ln(f(x))}&=&\lim_{x \to a} e^{\frac {ln(f(x))}{\frac {1}{f(x)}}}\)

Vidimo, da gre v eskponentu za nedoločenost tipa \(\frac {\infty}{\infty}\), tako da lahko uporabimo L' Hospitalovo pravilo in na ta način dobimo:

\(\lim_{x \to a} e^{\frac {\frac {1}{f(x)}f'(x)}{-\frac {1}{(f(x))^2}f'(x)}}\)

oz.

v okrajšani obliki:

\(\lim_{x \to a} e^{-f(x)}&=&e^{-\lim_{x \to a} f(x)}&=&\frac {1}{e^0}&=&1\).

[ZdravaPamet]

Se pravi, funkcija \(x^{x}\) pri \(x=0\) ni definirana, obstaja pa limita, in je 1. Nič na nič je potlej nedoločen izraz, podobno kot 1/0. Samo, kaj pa z leve, tam se funkcija nekako čudno obnaša. Pri recimo \(x=-2\) ni definirana, pri \(x=-3\) pa je.

[Aniviller]

Imas prav. 1 je desna limita zgornjega izraza. Mislim pa da lahko v negativnem postavis \(-x^{-x}&=&e^{-x \ln{(-x)}}&=&e^{-x( \ln{|x|}+i (\pi+2 k\pi))}&=&e^{i x(\pi+2 k \pi)}\frac{1}{|x|^x}\)
Ker limita desnega ulomka obstaja in je 1, lahko limitiras kot produkt
\(\lim_{x \to 0} e^{i x(\pi+2 k \pi)} \frac{1}{|x|^x} &=& [ \lim_{x \to 0}e^{i x(\pi+2 k \pi)} ] [ \lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|^x} ]\)\(&=& \lim_{x \to 0} e^{i x(\pi+2 k \pi)} &=& e^0 &=& 1\)
Ker shrinkova izpeljava nicesar ne rece o pozitivnosti x-a, lahko ze od tam sklepas da velja za limitiranje iz vseh smeri.
p.s. teksta je veliko, lahko da sem se zmotil...

[smolejleo]

Vse tole me spominja na debato koliko je 0/0 - torej ne mešajmo med 0, neskončno, 1 in nedefinirano. Obstajajo pač reči, ki jih 1)še ni in 2)ni mogoče razložiti ali doumeti. Tako vsaj imamo vedno eno kost, ki jo lahko glodamo - super.
smolejleo

[ZdravaPamet]

Ne vem, če je kaj za doumeti. Mislim, da se gre le za definicijo ali dogovor. Podobno kot podamo karakteristične lastnosti realnih števil preko aksiomov in jih tako definiramo; recimo deljenje z nič v teh aksimoh ni definirano, je treba povedati, kaj je (ali kaj ni) nič na nič. Shrink in Aniviller sta lepo povzela, kako bi narisal funkcijo \(x^{x}\), tako, da sta uporabila limite; čisto stroga in zdrava matemtična zadeva, njena lepota, ki se v tem primeru pokaže je ta, da funkcija niti ni treba, da je definirana v točki 0, ima pa vseeno limito. Resnično ne vidim v tem nobene mističnosti.

[shrink]

Vse tole me spominja na debato koliko je 0/0 - torej ne mešajmo med 0, neskončno, 1 in nedefinirano.

Pretiravaš. V analizi (veji matematike) so izrazi tipa 0/0, 0^0 in podobni definirani kot nedoločeni izrazi. Kot sem že v prejšnjih postih povedal, so to limite, ki lahko imajo končno vrednost ali pa ne.

Zato izjave

Obstajajo pač reči, ki jih 1)še ni in 2)ni mogoče razložiti ali doumeti. Tako vsaj imamo vedno eno kost, ki jo lahko glodamo - super.

za matematiko nimajo pomena. Matematika namreč sloni na definicijah in aksiomih. Če ti je navedeno tuje, potem pač o tem nimaš pravice soditi.

[smolejleo]

Super; pravim da me debata koliko je 0^0, spominja na debato, koliko je 0/0 in to se nekaterim ne zdi prav, v isti sapi pa pravijo da sta oba nedoločena izraza. Obenem jaz ne bi smel soditi ali celo imeti mnenja o tem, vi pa pišete kar postualte, kakšne vrednosti imajo z aksiomi nedefenirane vrednosti. In ker je vse tako defenirano in ni potrebno nič doumeti, potem se tudi funkcija ali tista limita z leve ne more obnašati čudno, kakor piše tam zgoraj, ker je čudno zelo oseben izraz, uporabiš ga pa ponavadi takrat, ko te nekaj preseneti, torej prej nisi vedel da je tisto tako kot je, čeprav je vse na dlani, ker vse sledi iz defenicij in aksiomov. Res sta pozno spoznala, kako se obnaša tista funkcija tam z leve, če je bilo njeno obnašanje tako čudno - in ker imata matematiko za tako neosebno stvar, se tudi funkcija ne more obnašati, saj je to spet beseda, skoraj rezervirana za nekaj, kar ima svojo voljo - le takrat lahko govorimo o tem, kako se "obnaša". Res postulirani umi, kar tako naprej.