Kot rotacije

O matematiki, številih, množicah in računih...
Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Kot rotacije

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Imamo matriko:

\(A = {1 \over 3} \begin{bmatrix}2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{bmatrix}\)

Kako se izračuna kot rotacije?

Hvala.



Edit: Spremenil sem vrednost v matriki (srednjo številko v spodnji vrstici).
Zadnjič spremenil Mafijec, dne 14.8.2006 22:46, skupaj popravljeno 1 krat.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Saj ne ves ce je rotacija...

Splosna rotacija okrog normiranega vektorja \(\vec{a}\) ima obliko:
\(R(\vec{a},\varphi)=(1-\cos{\varphi})(\vec{a}\otimes\vec{a})+\cos{\varphi}\ I-\sin{\varphi}(\epsilon \vec{a})\)
Nastopa pa direktni produkt pa levi-civitajev tenzor... mogoce bolj razumljiva oblika ko uporabis na vektorju
\(R\vec{b}=\vec{a}\langle\vec{a},\vec{b}\rangle(1-\cos{\varphi})+\vec{b}\cos{\varphi}+(\vec{a}\times\vec{b})\sin{\varphi}\)
No za zadnji predznak nisem zihr (preveri za npr. a v smeri x)

Ti pa hoces v obratno smer:
Sled tenzorskega produkta \((\vec{a}\otimes\vec{a})\) je kar 1, ker je vektor \(\vec{a}\) normiran, za identiteto je pa ocitno 3. Antisimetricni del ima sled nic. Torej:
\(tr(R)=1+2\cos{\varphi}\)
Mimogrede, to lahko vidis tudi iz rotacije okrog ene od koordinatnih osi.
Ce torej ves da je matrika rotacija, potem izracunas sled in dobis kot. Os rotacije pa dobis takole:
\(2a_i\sin{\varphi}=\epsilon_{ijk}R_{kj}\)
izracunano po sumacijskem dogovoru (sesteto po podvojenih indeksih)
Tukaj samo se normiras in imas os, norma je pa sinus kota.
Sistem je vidno predolocen, ker si omejen na rotacijske matrike.

Za tvoj sistem je torej \(\cos(\varphi)=\frac{1}{3}\)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14582
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Matrika predstavlja (čisto) rotacijo, če je ortonormirana in če je njena determinanta enaka 1. Ortonormiranost pomeni, da vektorji (stolpci) v matriki tvorijo ortonormirano bazo; t.j. skalarni produkt katerihkoli dveh različnih vektorjev v bazi je enak 0 (ortogonalnost) in skalarni produkt kateregakoli baznega vektorja s samim seboj je enak 1 (normiranost).

Če pogledamo dano matriko, takoj ugotovimo, da ni ortonormirana in zato tudi ne predstavlja rotacije.

Uporabniški avatar
Marsovec
Prispevkov: 74
Pridružen: 7.6.2006 15:13

Odgovor Napisal/-a Marsovec »

Take naloge spadajo pod Algebro I, zato jih gotovo ni potrebno reševati s tenzorji...

Jaz bi rekel tako: če A predstavlja rotacijo, je podobna neki matriki oblike \(\begin{bmatrix}1&&\\ & \cos \phi &-\sin\phi\\& \sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix}\), kjer je \(\phi\) kot vrtenja.
Podobni matriki pa imata enako sled, torej dobiš \(sled A=1+2 \cos \phi\), od koder bi zlahka izračunal kot, če bi bil A res vrtež.

Toda tvoja matrika ni ortogonalna, torej ne gre za vrtež. Morda si narobe napisal kak koeficient?

Os vrtenja pa bi jaz izračunal kot lastni vektor pri lastni vrednosti 1, torej iščeš bazo jedra za A-I.

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Ja, matriko sem narobe napisal. Sem že popravil.

Kaki tenzorji? O nobenih tenzorjih nisem nič slišal...

Uporabniški avatar
Marsovec
Prispevkov: 74
Pridružen: 7.6.2006 15:13

Odgovor Napisal/-a Marsovec »

Popravljena matrika je ortogonalna z determinanto 1, torej gre res za vrtež.
Njena sled je enaka 5/3, torej je \(\cos\phi=1/3\).
Lastni vektor pri lastni vrednosti 1 je (1,1,0), nanj je napeta os vrtenja.

PS: Za izračune z matrikami je zelo uporabno matrično računalo na naslovu http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess ... Fmatrix.si

Tenzorje pa slišiš pri mehaniki v 3. letniku, če študiraš matematiko (fiziki jih morda slišijo že kaj prej).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja zdaj pa je ortonormirana 8)
Za numericno racunanje je rekonstrukcija osi iz antisimetricnega dela tenzorja(matrike) bistveno hitrejsa kot iskanje lastnih vrednosti.
Antisimetricni del dobis takole:
\(\hat{R}=\frac{1}{2}(R-R^T)\)
Izgleda pa takole:
\(\hat{R}=\begin{bmatrix}
0 & -a_z & a_y\\
a_z & 0 & -a_x\\
-a_y & a_x & 0\\
\end{bmatrix}\)

Seveda tukaj \(\vec{a}\) se ni normiran.
Ce upostevas se prejsnjo vrstico, dobis:
\(\vec{a}=\{R_{32}-R_{23},R_{13}-R_{31},R_{21}-R_{12}\}\)
kar iz prvotne matrike.
Formula (to je cloveski zapis tega: \(\epsilon_{ijk}R_{kj}\)) sploh nima mnozenja, razen pri normiranju, ki ga pa moras poceti tudi pri iskanju lastnih vektorjev. Tole se ti casovno splaca tudi na kaksnem izpitu :)

Za tvoj primer pride
\(\vec{a}=\{-2-2,-2-2,1-1\}=\{-4,-4,0\}\)
kar je pokazal ze Marsovec.

Mimogrede, priporocam da si zgornjo formulo za matriko splosne rotacije zapisete ker sem jo sam iskal povsod, ker sem jo rabil za nekaj zaprogramirat, in je nisem nasel (povsod navajajo obliko \(V R V^{-1}\)), nazadnje sem jo moral izpeljati sam. Pa v informacijski dobi :?

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Tole s tenzorji se mi zdi zakomplicirano.

Bom poskusil na način, ki mi ga je predstavil Marsovec...

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, meni se odstevanje treh parov podanih stevil ne zdi ravno zakomplicirano. Ampak to sem samo jaz :roll:
Mislim da te samo strasi beseda "tenzor". Kar brez panike, za rekonstrukcijo kota itak da isto formulo kot Marsovec.

Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Kako se pa izračuna kot projekcije (pod kakim kotom se pač neka točka projecira, heh)?

npr.:


\(A = \begin{bmatrix}-1 & -2 & -2 \\ -1 & 0 & -1 \\ +2 & +2 & +3\end{bmatrix}\)

Uporabniški avatar
Marsovec
Prispevkov: 74
Pridružen: 7.6.2006 15:13

Odgovor Napisal/-a Marsovec »

Če velja A^2=A, je A res projekcija (v tvojem primeru velja).

Tvoj A ni enak identiteti niti ničelni preslikavi, torej bo projekcija na neko premico (tedaj je rang A=1) ali pa na neko ravnino skozi izhodišče (rang A=2); v tvojem primeru gre za slednje.

Tvoj A torej projicira vzdolž jedra Ker A na zalogo vrednosti Im A, kjer je
Ker A=Lin{(-2,-1,2)}, torej je to premica s smernikom s=(-2,-1,2) skozi izhodišče, in
Im A=Lin{(1,1,-2),(1,0,-1)}, torej ravnina z normalo n=(1,1,1) skozi izhodišče.

Nato s pomočjo skalarnega produkta izračunaš kosinus kota med n in s,
cos phi= n s / |n| |s|=...

fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Kot rotacije

Odgovor Napisal/-a fmf »

Prosim za pomoč pri naslednji nalogi....
Zavrti vektor(1,2,1) za kot pi/6 v pozitivni smeri okrog osi, ki jo določa vektor (1,-1,-1). Hvala za odgovor


fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Kot rotacije

Odgovor Napisal/-a fmf »

Hvala za link. Se da to nalogo rešiti na bolj primeren način, ki spada k linearni algebri?

fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Kot rotacije

Odgovor Napisal/-a fmf »

V smislu ortogonalnih transformacij...

Odgovori