parcialni odvodi

[vid]

zanima me ce imamfunkcijo \(v(x,t)\), ali velja enakost:
\(\frac{dv}{dt} = \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x}\)

in nadalje ce poznam funkciji \(f\) in \(g\) za kateri velja:
\(\frac{\partial v}{\partial t} = f(x)\)
in
\(\frac{\partial v}{\partial x} = g(x)\)
ali lako vsako od teh enacb obravnavam kot navadno dif. enacbo torej z navadnimi odvodi
ali ju moram zdruziti po prvi enacbi (ce sploh velja) da dobim normalne odvode in potem zapisem
\(\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx} = f(x) + v g(x)\)
?

hvala

lp

[ZdravaPamet]

Si imel v mislih \(v = v\left(x(t), t\right)\), kjer je dodatno \(v=dx/dt\)?

[vid]

hmm...ja naceloma.

[Aniviller]

Enacbo oblike
\(\frac{\partial v}{\partial x}=f(x,t)\)
naceloma lahko integriras po x in dobis hitrostni profil ob dolocenem fiksnem casu. (torej prerez). Podobno pri casovnem odvodu. Iz tega naceloma dobis funkcijo v(x,t).
Zveza \(\frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial x}\) pa ima drugacen pomen: govori o tem, koliko se spremeni hitrost, ce se gibljes skupaj s sredstvom (ce je v(x,t) npr. hitrost tekocine ali kaj podobnega), velja torej v splosnem (in ce se gibljes z neko drugo hitrostjo, velja potem \(\frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+v_1(t)\frac{\partial v}{\partial x}\)). Za dinamiko polja ta enacba ne pove nicesar novega, lahko pa se zgodi da v enacbah NASTOPA totalni diferencial, ki ga moras potem razpisat v parcialne odvode (npr. Navier-Stokesova enacba). Ce integriras to zvezo, dobis skupaj z definicijo \(v=\frac{dx}{dt}\) TRAJEKTORIJO delca, ki se giblje s tekocino.