spektri

O naravnih pojavih. Kaj je ...? Kakšen je...?
gcn64
Prispevkov: 120
Pridružen: 31.10.2009 17:10

spektri

Odgovor Napisal/-a gcn64 » 31.10.2009 17:19

Pozdravljeni,

imam eno fizikalno vprašanje. V knjigi Matematika v fiziki in tehniki je stavek: ''spektri periodičnih in kvaziperiodičnih nihanj so diskretni, spektri končnih nihajnih potez pa so zvezni''.
To je pod poglavjem s fourierovo analizo. Mi lahko kdo to obrazloži? Kako točno vemo kdaj gre za črtast in kdaj za zvezni spekter? Ter kako je to povezano s fourierjevo vrsto...
Najlepša hvala,

lp

Uporabniški avatar
pilot
Prispevkov: 234
Pridružen: 2.7.2009 20:27

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a pilot » 1.11.2009 10:00


gcn64
Prispevkov: 120
Pridružen: 31.10.2009 17:10

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a gcn64 » 1.11.2009 17:12

Da, vendar še vseeno ne poznam povezave med fourierjevo vrsto in diskretnimi ter črtastimi spektri...

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 1.11.2009 17:48

Razmislek je, da za vse signale (tudi za periodicne) lahko uporabis fourierovo TRANSFORMACIJO. V periodicnem primeru pa iz fourierove VRSTE vemo, da nastopajo v razvoju samo diskretne frekvence (mnogokratniki osnovne frekvence periodicnega signala). Transformacija periodicnih signalov bo torej povsod nic, razen za diskretne frekvence, kjer bo imela amplitude, ki bi jih dobili tudi z razvojem v vrsto - namesto zveznega spektra bodo delta funkcije.
Za splosno koncno valovno potezo (v kvadratu integrabilno) je pa tudi transformacija zvezna in v kvadratu integrabilna. Oba principa se seveda lahko kombinirata (lahko imas vsoto sinusa in neke valovne poteze in bo ven prisla superpozicija delta funkcije in transformacije preostalega dela).
Mogoce se to: transformacija odrezanega sinusa (koncna poteza) je nek sirsi vrh okrog osnovne frekvence. Ko podaljsujes potezo, se vrh zozuje (frekvenca postane vedno bolj dolocena). V limiti, ko je poteza neskocna, se vrh neskoncno zozi in ostane samo oster vrh pri frekvenci signala.

gcn64
Prispevkov: 120
Pridružen: 31.10.2009 17:10

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a gcn64 » 1.11.2009 21:48

Najlepša hvala.

Ker pa sem začetnik pri fourierju me zanima še nekaj dokaj osnovnih vprašanj. Najprej:
Kakšna je osnovna razlika med fourierjevo transformacijo ter fourierjevo vrsto?
Napisal si da iz fourierjeve vrste vemo, da v razvoju pri periodičnih funk. nastopajo samo diskretne vrednosti. Kako to vemo?
ter
Končna valovna poteza je torej npr. prekinjeno valovanje?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 1.11.2009 21:58

Kakšna je osnovna razlika med fourierjevo transformacijo ter fourierjevo vrsto?
Pri Fourierovi vrsti PREDPOSTAVIS periodicnost in obravnavas samo eno periodo. Posledicno tudi od frekvenc pridejo v postev samo tiste z zeljeno periodo. Vrsta je torej neke vrste poseben primer transformacije.

Napisal si da iz fourierjeve vrste vemo, da v razvoju pri periodičnih funk. nastopajo samo diskretne vrednosti. Kako to vemo?
Pri transformaciji nazaj sestavljas sinuse za zvezno porazdeljene frekvence:
\(\int a(\omega)\sin \omega t+b(\omega)\cos\omega t{\,\rm d}\omega\)
(nisem silil s kompleksno obliko, takole je bolj razvidno kaj hocem povedat).
Integral ni nic drugega kot zvezna vsota. Pri razvoju v vrsto pa zapises funkcijo v obliki
\(\sum_{i}a(\omega_i)\sin \omega_i t+b(\omega_i)\cos\omega_i t\)
Primerjava pokaze, da je to prakticno isto, z razliko, da v vsoti nastopajo samo diskretne omege.

Končna valovna poteza je torej npr. prekinjeno valovanje?
Ja - vsaka stvar, ki je lokalizirana v casu. Recimo Gaussova funkcija tudi spada v to skupino. V bistvu je posledica tega: ce hoces, da je funkcija v kvadratu integrabilna, potem mora prej ali slej zamreti.

gcn64
Prispevkov: 120
Pridružen: 31.10.2009 17:10

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a gcn64 » 3.11.2009 0:26

Mislim da si vse skupaj vedno bolje predstavljam. Pa vendar še ne dovolj :)

Napisal bom kako si jaz to predstavljam, pa bi prosil da me popraviš:

torej ko razvijamo funkcijo v vrsto, si izberemo poljubno periodo in na tem mestu dobimo črtast spekter oz. diracove funkcije, ki se z dodajanjem členov v neskončnost vedno bolj približujejo integralni površini 1...
S tem ko nabijamo te člene v neskončnost, se to dogaja samo na tej isti periodi in zaradi tega je diracova funkcija vedno ostrejša za neko omego.
Če pa izvedemo transformacijo, si izberemo interval v neskončnost na obeh straneh osi x ter integriramo preko vseh mogočih frekvenc, ki so zaradi množičnosti porazdeljene zvezno.
Si prav to predstavljam?

Pa še to:

Dejal si, da ce hoces, da je funkcija v kvadratu integrabilna, potem mora prej ali slej zamreti.
Lahko to malce obrazložiš? :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a Aniviller » 3.11.2009 6:20

Dejal si, da ce hoces, da je funkcija v kvadratu integrabilna, potem mora prej ali slej zamreti.
Lahko to malce obrazložiš? :)
Ja integral kvadrata je neke vrste celotna moc, ki jo signal odda (govorim v fizikalni prispodobi - kvadrat amplitude je ponavadi sorazmeren z mocjo, recimo pri elektricnem toku). In ce imas omejeno moc (integral ni neskoncno), potem bo dalec proti levi in desni signal sel proti nic.

Kvadratno integrabilnost zahtevas je pogoj, da je spekter tudi v kvadratu integrabilen in da je prava funkcija. Ravno periodicen signal (ki ima seveda neskoncno moc ker se signal nadaljuje v neskoncnost) je prikaz, kaj se zgodi ce nimas kvadratne integrabilnosti - spekter je mnozica delta funkcij, ki v kvadratu niso integrabilne in sploh niso prave funkcije.

Besedo signal uporabljam za funkcijo, ki jo razvijas (ponavadi je neodvisna spremeljivka cas in je zadeva res neke vrste signal - recimo zvok).
torej ko razvijamo funkcijo v vrsto, si izberemo poljubno periodo in na tem mestu dobimo črtast spekter oz. diracove funkcije, ki se z dodajanjem členov v neskončnost vedno bolj približujejo integralni površini 1...
S tem ko nabijamo te člene v neskončnost, se to dogaja samo na tej isti periodi in zaradi tega je diracova funkcija vedno ostrejša za neko omego.
Mogoce je smiselno se enkrat poudarit, da ce definicijsko obmocje ni neskoncno (koncna perioda), potem ta funkcija ki jo razvijas pravzaprav ni ista. Dva scenarija:
Razvijas isto funkcijo, recimo da je periodicna, vendar odrezes samo nek omejen del (ostalo postavis na nic - poslusas zvok samo omejen cas). V tem primeru imas zvezen spekter, ki je tem bolj oster, cim daljsa je perioda (vec signala upostevas). To je tale proces:
\(F(\omega)=const.\int_{-T}^{T}\sin \omega t f(t)\,dt\Rightarrow F(\omega)=const.\int_{-\infty}^{\infty}\sin \omega t f(t)\,dt\)
Rezanje signala pac vedno razmaze spekter. Ko prides do tega, da upostevas cel signal, potem se ti zvezni vrhovi izostrijo v delta funkcije (vendar le, ce je signal periodicen - v nasprotnem primeru spekter ostane zvezen, le bolj tocen je).

Drug primer pa je, da to neko funkcijo ne zafilas levo in desno z nulami ampak periodicno razsiris. V tem primeru je spekter itak vedno crtast (ker smo prisilili signal k periodicnosti). Je pa to nek drug signal kot prvoten - podobno kot ce musko das na loop. Ta crtastost je recimo forsirana s tem, da takoj uporabimo vsoto namesto integrala:
\(a_n=const.\int_{-T}^{T}\sin \omega_n t f(t)\,dt\)
Tukaj opazis drugo lastnost: frekvence so seveda \(\omega_n=\frac{\pi n}{T}\). Razmik dveh frekvenc je potem \(\pi/T\). Vecjo periodo vzames (vec signala poslusas preden ga spet ponovis od zacetka), bolj so te frekvence skupaj in bolj gost je crtast spekter. V limiti se te na gosto porazdeljene crte zlijejo v zvezen spekter (vendar le ce prvotni signal, ki smo ga rezali in periodicno razsirjali ni bil ze itak periodicen - v tem primeru tudi v limiti vecina crt izgine in ostanejo le diskretne crte).

Da povzamem:

Odrezan periodicen signal -> razmazane delta funkcije, pac neki vrhovi
Cel periodicen signal -> ostre delta funkcije (lahko uporabimo vrsto)

Periodicno razsirjen del neperiodicnega signala -> delta funkcije (lahko uporabimo vrsto)
Z daljso periodo razsirjen del neperiodicnega signala -> bolj skupaj delta funkcije (lahko uporabimo vrsto)
Cel neperiodicen signal (recimo nekaj takega) -> zvezen spekter

Če pa izvedemo transformacijo, si izberemo interval v neskončnost na obeh straneh osi x ter integriramo preko vseh mogočih frekvenc, ki so zaradi množičnosti porazdeljene zvezno.
Ja tocno tako.

gcn64
Prispevkov: 120
Pridružen: 31.10.2009 17:10

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a gcn64 » 3.11.2009 16:03

Ej hvala lepa res. Sedaj razumem...

lp

ss123
Prispevkov: 6
Pridružen: 24.11.2015 8:52

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a ss123 » 9.2.2016 10:07

Pozdravljeni,
mi lahko kdo razloži zakaj razredčen plin seva črtast spekter, gost pa zvezni.
Hvala!

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14078
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a shrink » 11.2.2016 18:48

V razredčenem plinu je manj molekul/atomov v enoti prostornine, zato je posledično med njimi manj trkov, kar pomeni, da praktično sevajo kot posamezne molekule/atomi s točno definirani valovnimi dolžinami (izsevani fotoni imajo energijo natanko določeno v skladu z razliko energij v orbitalah).

V gostem plinu pa je več atomov/molekul v enoti prostornine, zato je med njimi več trkov in izmenjav energije, kar ima za posledico nedefinirane sevalne valovne dolžine in zato zvezni spekter.

osf
Prispevkov: 746
Pridružen: 3.8.2015 15:30

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a osf » 19.3.2016 6:25

shrink napisal/-a:V razredčenem plinu je manj molekul/atomov v enoti prostornine, zato je posledično med njimi manj trkov, kar pomeni, da praktično sevajo kot posamezne molekule/atomi s točno definirani valovnimi dolžinami (izsevani fotoni imajo energijo natanko določeno v skladu z razliko energij v orbitalah).

V gostem plinu pa je več atomov/molekul v enoti prostornine, zato je med njimi več trkov in izmenjav energije, kar ima za posledico nedefinirane sevalne valovne dolžine in zato zvezni spekter.

https://www.youtube.com/watch?v=szWKICHqyEk

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14078
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a shrink » 19.3.2016 7:32

Hah, z imbecilnim lepljenjem povezav na videe kažeš klasično pojavnost šarlatanov na tem forumu. Dobrodošel v klub. :lol:

osf
Prispevkov: 746
Pridružen: 3.8.2015 15:30

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a osf » 19.3.2016 8:20

Živiš blizu Italije

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14078
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: spektri

Odgovor Napisal/-a shrink » 19.3.2016 8:46

Ti pa očitno živiš v Butalah, trol. :lol:

Odgovori

Kdo je na strani

Po forumu brska: 0 registriranih uporabnikov in 6 gostov