Fizika

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 6.1.2017 17:00

DirectX11 wrote:Očitno sva dva, ki ne razumeva Arhimeda, jaz in Hieron.

Sem pa sedaj ugotovil, česar nisem razumel.
Kolikšen volumen telesa se bo potopilo daje naslednje razmerje:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho_1 g}{\rho_2 g}\)

Lahko krajšamo gravitacijski pospešek:

\(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\)

Torej je odvisno samo od gostote. Razmerje volumna je volumen telesa v števcu in volumen izpodrinjene tekočine v imenovalcu.
To ne drži: že indeksi ne štimajo.
Obstaja pa še ena zanimiva hidrodinamična naloga. Kaj če imamo zbiralnik vode, vendar imamo dotok vode na vrhu. Recimo da imamo \(Q\) dotoka.

Potem je:
\(Q/A = v\)

Vzamemo znano Bernoullijevo enačbo:
\(p_1 + \rho g h + \frac{\rho v^{2}}{2} = konst\)

In če vstavimo \(Q/A\) v Bernoullijevo enačbo.
Dobimo:
\(v = \sqrt{2gh + {(\frac{Q}{A})}^{2}}\)

To je pa nenavadno, torej bo izstopna hitrost višja. Sem jaz to pravilno izračunal?
Tudi to je narobe: v danem primeru je \(v_1\) v Bernoullijevi enačbi hitrost, s katero pada gladina vode v rezervoarju in ker je zanemarljiva v primerjavi z iztočno hitrostjo, se pač jemlje kot 0.

Dotok vode se upošteva pri ohranitvi volumskega
toka:

\(Q_{in}=Q_{out}\).

Vhodni volumski tok je enak:

\(Q_{in}=Q-A\frac{dh}{dt}\),

kjer je \(Q\) dotok, \(A\) presek rezervoarja in \(\frac{dh}{dt}\) hitrost padanja gladine,

izhodni pa:

\(Q_{out}=A_{out}v_{out}\),

kjer je \(A_{out}\) presek iztoka in \(v_{out}=\sqrt{2gh}\) iztočna hitrost na osnovi Bernoullijeve enačbe oz. po Torricelliju.

Ohranitev volumskega toka ti torej da diferencialno enačbo za \(h(t)\). Zakaj se v Bernoullijevi enačbi zanemari \(\frac{dh}{dt}\), je menda jasno: prvič je kvadrat \(\frac{dh}{dt}\) zanemarljiv v primerjavi s kvadratom \(v_{out}\) in drugič bi bilo treba reševati nelinearno diferencialno enačbo ravno zaradi kvadrata oz. korena \(\frac{dh}{dt}\).

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 6.1.2017 17:52

DirectX11 wrote:Zakaj so sploh vpeljali pojem "tlačna višina" in kako se spremeni Bernoullijeva enačba ki je izražena z tlačno višino?
Zelo enostavno: Bernoullijevo enačbo deliš z \(\rho g\), tako da imajo vsi členi enoto višine oz. dolžine. Pojem tlačne višine bi ti moral biti na tej osnovi jasen, če ti pa ni, pa pomisli na to, kako se meri krvni tlak: v "mm Hg", ki seveda pomeni hidrostatični tlak na dnu 1 mm visokega živosrebrnega stolpca.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Fizika

Post by DirectX11 » 7.1.2017 12:50

To ne drži: že indeksi ne štimajo.
V bistvu sem zamenjal indeksa. V enem od ulomkov obrnemo indekse in bi morali biti pravilno.
Ohranitev volumskega toka ti torej da diferencialno enačbo za \(h(t).\)
Tako:

\(Q -A\frac{dh}{dt} = a \sqrt{2gh}\)

In ko rešimo LDE z ločljivima spremenljivkama dobimo:

\(\frac{2A}{-a \sqrt{2g} + Q}(\sqrt{h_2} - \sqrt{h_1})\)

Pri čemer je:
\(h_2 > h_1\)

Ali je to pravilno? Tisti minus v imenovalcu ulomka me moti, načeloma bi moral čas praznenja biti večji. Vendar dobimo negativno številko?

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 7.1.2017 16:00

DirectX11 wrote:
To ne drži: že indeksi ne štimajo.
V bistvu sem zamenjal indeksa. V enem od ulomkov obrnemo indekse in bi morali biti pravilno.
To velja le za polna telesa. Za votla telesa je treba upoštevati še "izvotljeni" volumen, ki je potopljen, k masi in posledično teži telesa pa prispeva le "polni" volumen (na osnovi povedanega najbrž veš, kam pes taco moli: k razlogu, zakaj plavajo tudi jeklene ladje).
shrink wrote:Ohranitev volumskega toka ti torej da diferencialno enačbo za \(h(t).\)
Tako:

\(Q -A\frac{dh}{dt} = a \sqrt{2gh}\)

In ko rešimo LDE z ločljivima spremenljivkama dobimo:

\(\frac{2A}{-a \sqrt{2g} + Q}(\sqrt{h_2} - \sqrt{h_1})\)

Pri čemer je:
\(h_2 > h_1\)

Ali je to pravilno? Tisti minus v imenovalcu ulomka me moti, načeloma bi moral čas praznenja biti večji. Vendar dobimo negativno številko?
Gornjo DE ne moreš rešiti z ločevanjem spremenljivk: najprej moraš rešiti homogeno DE (ta je z ločljivima spremenljivkama) in nato še nehomogeno (t.j. poiskati partikularno rešitev). Skupna rešitev je vsota teh dveh rešitev.

Če pa si reševal s kakim solverjem, pa je najbrž prav (ob navedbi pravilnega začetnega pogoja); velja namreč \(h_2<h_1\), saj višina gladine pada.

P.S. Treba je pripomniti, da je DE pravzaprav nelinearna, ker je \(h(t)\) pod korenom, je pa prvi odvod linearen.

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 7.1.2017 16:13

No, imenovalec je sumljiv, ker ne štimajo enote členov v njem.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Fizika

Post by DirectX11 » 7.1.2017 16:15

shrink, jaz sem rešil tako kot tukaj na https://en.wikipedia.org/wiki/Torricelli's_law

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 7.1.2017 16:32

Kar je seveda totalno narobe: ne moreš v tisti rešitvi (homogene enačbe za Q=0) v imenovalcu kar dodati Q. Že to, da zadeva dimenzijsko ne štima (Q pač nima iste enote kot \(a\sqrt{2g}\)), kaže na napako.
Last edited by shrink on 7.1.2017 18:43, edited 1 time in total.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Fizika

Post by DirectX11 » 7.1.2017 16:42

Ne, saj jaz nisem samo dodal Q v imenovalec.

Iz zveze za ohranjanje volumenskega pretoka, iz katere tudi nastane DE. Sem spremenljivke \(h\) ter \(dh\) dal na eno stran, ter \(dt\) na drugo in nato integriral.

Če se ne motim se reče tej metodi z ločljivima spremenljivkama.

No in na koncu dobim takšen izraz. \(Q\) ostane zaradi:

\(Q-A\frac{dh}{dt}\),

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 7.1.2017 17:04

No, pri tej nehomogeni enačbi se tudi da ločiti spremenljivki, ampak rešitev je (iz navedenega razloga) napačna; nekje si se pač zmotil. Dokler ne navedeš postopka, lahko samo ugibam.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Fizika

Post by DirectX11 » 7.1.2017 18:49

Seveda, sem se zmotil. Kako neočitno od mene. :x In sicer seštevanje sem upošteval kot množenje.

Pride pa tako:
\(\int \frac{Adh}{-a\sqrt{2gh} + Q} = \int dt\)

\(\frac{A}{-a\sqrt{2g}} \int \frac{dh}{\sqrt{h} + Q} = \int dt\)

Kaj naj tam naredim s \(Q\), ki ostane pod integralom kot vsota? Seveda ker ni množenje ga ne morem dati pred integral.

Hvala shrink, odlično da pomagaš.

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 7.1.2017 19:36

Najprej si naredil napako pri izpostavljanju konstant pred integral. Sicer pa je najbolje uvesti novo spremenljivko, npr.:

\(u=-a\sqrt{2gh}+Q\Rightarrow du=-1/2 a\sqrt{2g}h^{-1/2}dh\)

Pri tem \(h^{-1/2}\) izraziš iz prve zveze.

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Fizika

Post by DirectX11 » 8.1.2017 13:57

Kar pomeni, če se nisem spet zmotil tako:


\(\frac{A}{-1/2 a\sqrt{2g}h^{-1/2}} \int{ \frac{1}{u} du} = \int dt\)

Integriram in nazaj vstavim namesto \(u\).

\(\frac{A}{-1/2 a\sqrt{2g}h^{-1/2}}( \ln {(-a \sqrt{2 g h_1} + Q)} + \ln {(-a \sqrt{2 g h_2} + Q) }) = \int dt\)

In ker imamo logaritem z isto osnovo:

\(\frac{A}{-1/2 a\sqrt{2g}h^{-1/2}} \ln {((-a \sqrt{2 g h_1} + Q) (-a \sqrt{2 g h_2} + Q))} = t\)

Kjer je \(h_1 > h_2\)

Tole nekam zelo nenavadno pride :roll:. Ali je res dvojni pretok tekočine tako zapleten?

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 8.1.2017 15:49

Ja, reševanje integralov je lahko zelo nenavadno, nenavadno zapleteno namreč. :D

V svojem izvajanju si naredil klasično napako, da si staro spremenljivko nesel pred integral kot konstanto: če uvedeš novo spremenljivko, sme le ta nastopati. Torej (kot sem ti svetoval): izrazi \(h^{-1/2}\) z \(u\). Na ta način dobiš integral \(\int g(u)du\) (brez nikakršnega \(h\)).

In ja, že navidez preprosti fizikalni problemi so lahko nenavadno zapleteni. 8)

DirectX11
Posts: 411
Joined: 22.10.2008 14:50

Re: Fizika

Post by DirectX11 » 8.1.2017 17:17

Hmm.

Samo potem spet dobim \(Q\) vendar v števcu.

\(A \int \frac{Q-u}{a g u} du\)

Pa seveda vmes se mi pokrajša par stvari. Kaj sedaj? Še enkrat nova spremenljivka? Ne vem če sem pravilno sploh dobil.

User avatar
shrink
Posts: 14405
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Fizika

Post by shrink » 9.1.2017 11:18

Sedaj pa ulomek v integrandu razbiješ na razliko ulomkov oz. integral razlike (funkcij) na razliko integralov (funkcij).

Post Reply