središče krogle

O matematiki, številih, množicah in računih...
kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 1.12.2017 13:26

Zanima me in hkrati vas prosim, če mi kdo zna oz. lahko pokaže (razloži) postopek, kako se aritmetično določi središče krogle, če so dane koordinate treh točk, ki se jih krogla dotika in njen premer:
T1(x1, y1,z1)
T2(x2,y2,z2)
T3(x3,y3,z3)
r=R
S(x0, y0,z0)=?

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 2.12.2017 10:06

Napišeš sistem enačb:
\((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2=R^2\)
\((x2-x0)^2+(y2-y0)^2+(z2-z0)^2=R^2\)
\((x3-x0)^2+(y3-y0)^2+(z3-z0)^2=R^2\)
in ga poskušaš rešiti.

Potem boš videl, da radija sploh ne potrebuješ.

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 3.12.2017 11:31

Hvala, vendar to ni tisto, kar sem iskal. Sistem teh enačb pač da nek minimalni radij. Mene pa zanima pri točno določenem polmeru krogle. Sicer sem rešitev našel preko središča krožnice, ki poteka skozi vse tri točke in smernimi koti ravnine skozi te tri točke, vendar me zanima, če ima morda kdo še bolj preprosto rešitev.

Roman
Prispevkov: 5926
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a Roman » 3.12.2017 14:28

Pravzaprav so tri točke dovolj za krožnico, za kroglo pa ne, zato je polmer kar potreben podatek.

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 3.12.2017 14:49


kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 3.12.2017 16:31

Drugi link mi je potrdil, da sem postopal pravilno. Verjetno kakšne druge variante niti ni.

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 3.12.2017 17:50


kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 5.12.2017 13:15

Hvala.
Mi je pa že prvi link dal potrditev, da sem izbral pravolen postopek. Osnova je pač določitev središča krožnice trikotniku očrtanega kroga ter preko normale na ravnino skozi dane točke in njeneih smernih koeficientov, določitev koordinat središča krogle.

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 5.12.2017 13:22

Po tej drugi metodi ni potrebno določiti središča očrtanega kroga, ampak takoj dobimo premico, ki gre tako skozi to središče, kot skozi središče krogle. Potem spet uporabimo eno od začetnih enačb in tako določimo središče krogle.

Torej recimo,
odšteti enačbo 3 do en. 1, odšteti enačbo 3 od enačbe 2. Dobimo dve ravnini. Sečišče teh dveh ravnin je premica. Potem pa vzamemo eno od treh enačb in skupaj s to premico izračunamo to središče krogle.

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 5.12.2017 22:44

Sem poskušal pa se mi ne izide.
Ko odštejem in uredim dve enačbi dobim dve ravnini:
\(x_{0}\)(\(x_{3}\) - \(x_{1}\)) + \(y_{0}\)(\(y_{3}\) - \(y_{1}\)) + \(z_{0}\)(\(z_{3}\) - \(z_{1}\)) + \(M_{1}\) = 0
\(x_{0}\)(\(x_{3}\) - \(x_{21}\)) + \(y_{0}\)(\(y_{3}\) - \(y_{2}\)) + \(z_{0}\)(\(z_{3}\) - \(z_{2}\)) + \(M_{2}\) = 0
ki mi data premico:
\(x_{0}\) = x - at, \(y_{0}\) = y - bt, \(z_{0}\) = z - ct
Če te enakosti vstavim v enačbo krogle namesto \(x_{0}\), \(y_{0}\) in \(z_{0}\) lahko izračunam t:
t=\(\sqrt{\frac{R^2}{a^2+b^2+c^2}}\)
Izgleda, nekje delam napako, ker se mi ne izide.

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 6.12.2017 1:08

Tvoji x, y in z v enačbi premice so neke fiksne točke, kjer se ravnini sekata, recimo pri x = 0 in ni nek tekoči parameter. Torej napiši z nekim indeksom.

Ko boš to izračunal in pravilno napisal, vstaviš x_0, y_0, z_0 v enačbo, recimo 1, kot sem jo napisal zgoraj. A to je malo daljša formula za t, kot si jo ti dobil. Sploh moraš dobiti dve rešitve.

itd.

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 6.12.2017 23:29

Res sem vzel napačne x,y in z v enačbi premice, zato mi je tudi enačba za t prišla tako kratka. Ampak tudi, ko sem izbral na premici neko točko pri z=0, se mi račun ne izide. Nekje pač delam napako. Ker pa se nimam več časa ukvarjati s tem problemom, bom ostal kar pri moji prvotni rešitvi. V bistvu sem tako ali tako dobil potrditev, da je moja metoda povsem korektna.
Hvala ti za trud.

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 7.12.2017 11:27

Sečišče dveh ravnin:
https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_(ge ... two_planes

Enačba premice je sestavljene iz neke točke na premice in "t" krat vektor v smeri premice. Točko na premici se dobi, da na primer daš vrednost x=0 in iz obeh ravnin potem izračunaš y in z.
x_0, y_0, z_0 pa je iskana vrednost oziroma vrednost, ki se spreminja s t. Vektor v smeri premice dobiš kot vektorski produkt vektorjev obeh ravnin, ki sta pravokotna na ravnino.

To vstaviš v eno začetno enačbo, npr:

\((x_1-x-tx_{smerni} )^2+(y_1-y-ty_{smerni} )^2+(z_1-z-tz_{smerni} )^2=R^2\)

Če ven izračunaš t, vidiš, da je daljša rešitev, kot tvoja, je pa podobna tvoji rešitvi. (x, y, z nisem pisal z indeksom.)

Lahko tudi uporabiš solver v excelu in preveriš številske rešitve. Lahko vstaviš noter moje začetne enačbe, ali pa tudi takšne v poznejši fazi, in preverjaš.

kvarkel
Prispevkov: 54
Pridružen: 27.1.2010 9:41

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a kvarkel » 8.12.2017 3:06

Sem si vzel čas in ponovno preveril celoten postopek. Ker je kar nekaj računanja sem sicer našel nekaj napak. Vseeno pa se mi tudi po korekciji ne izide. Mimogrede, imaš tudi ti napako v izrazu z vstavljanjem v začetno enačbo. Velja namreč x0 = x - at in ko to vstaviš v začetno enačbo pride x1-x + at.
Ne vem, vendar se mi zdi ta metoda bistveno bolj komplicirana od moje,sem pa vseeno vesel, da jo poznam, če da dejansko pravilni rezultat.
Za primer:
imam točke; A(10; 10;10), B(30,15,15) in C(15,30,20) in polmer krogle R=15.
Po moji metodi dobim kordinate središča S(18,78; 21,98; 7,98). Preizkus razdalj med izračunanim središčem mi za vse tri točke vrne 15, kar je dejanski polmer.

qg
Prispevkov: 729
Pridružen: 13.1.2006 20:05

Re: središče krogle

Odgovor Napisal/-a qg » 8.12.2017 12:43

Sedaj sem izračunal. Postopek je pravilen in se ujema s tvojim izračunom.

Navedi nekaj vmesnih izračunov, da vidim, kje si se zmotil. Recimo, kakšen t dobiš, kakšno začetno točko dobiš na premici, kakšen smerni vektor premice itd.

Ena napaka, ki si jo naredil, da sta dve rešitvi, moraš navesti še zrcalno rešitev.

Moj plus, kjer si predlagal minus, ni napačen, pomembno je le, da to upoštevaš v poteku.

Predlagam, da na začetku vse številke deliš s 5 in na koncu pomnožiš s 5.
Predlagam, da računaš v excelu, saj sproti preračunava in lahko preverjaš napake.

Odgovori