Neskončnost v naravi?
Re: Kaj je neskončnost?
Tega ne razumem najbolje. Če hočemo dokazati, da je množica naravnih števil neskončna, moremo torej najprej dokazati, da je njena podmnožica (tj. množica lihih števil) tudi neskončna. Torej moramo poiskati podmnožico množici lihih števil (naprimer množico vseh lihih večkratnikov števila 3), ki je neskončna pač zato, ker lahko tudi njej poiščemo ustrezno podmnožico … To deluje le, če predpostavimo, da obstaja neskončno mnogo naravnih števil in njihovih večkratnikov iz katerih potem lahko spacamo skupej podmnožice podmnožicam. Toda: ali ni prav ta predpostavka tisto, kar smo želeli dokazati?Roman napisal/-a:V matematiki znamo definirati neskončne množice, se pravi tiste, ki imajo neskončno mnogo elementov, na primer naravna števila. Definicija gre nekako takole: množica je neskončna, če obstaja v njej prava podmnožica, ki ima enako mnogo elementov kot celotna množica. Pri naravnih številih lahko primerjamo celotno množico s podmnožico lihih števil. Obe imata enako število elementov, čeprav vsebuje podmnožica lihih števil samo polovico vseh elementov celotne množice.
Re: Kaj je neskončnost?
Ne, ne izhajamo iz predpostavke, da je podmnožica neskončna. Dokazati moramo, da sta množica in njena prava podmnožica ekvipolentni (enako močni - imata enako število elementov). Ekvipolentnost pa se dokaže s štetjem, se pravi z bijektivno preslikavo, ki vsakemu elementu množice priredi točno določen element podmnožice. Pri naravnih številih in sodih številih je ta preslikava n'=2*n.Nimlidor napisal/-a:Če hočemo dokazati, da je množica naravnih števil neskončna, moremo torej najprej dokazati, da je njena podmnožica (tj. množica lihih števil) tudi neskončna.
Ta razlaga je napačna. Navedeni množici sta enako veliki, saj med njima obstaja bijektivna preslikava.Phantomas napisal/-a:
Prva neskončnost: Če nizaš števila 1,2,3,4,5... in to počneš v neskončnost imaš naraščajoče neskončno število števil (množico).
Druga neskončnost: Nizaš številka 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, ... 2.0, 2.1,2.2,... in to počneš v neskončnost imaš prav tako naraščajoče neskončno število števil (množico)
Obe neskončnosti sta neskončni. Le da je druga bolj gosta kot prva, vsebuje več števil in torej ni enakovredna prvi množici - je večja (bolj gosta), čeprav sta obe neskončni.
P.
Problem je dejansko težko razumljiv. Ko je Cantor konec 19. stoletja dokazal, da obstajajo neskončne množice različnih velikosti, so ga zavračali številni znani matematiki. Zato se ne sekirajte preveč, če tega ne razumete takoj, ampak si poiščite dodatno razlago.
Pravzaprav je pod pojmom "druga neskončnost" opisana neka podmnožica racionalnih števil (ulomkov), za katero je dokazano, da jih je ravno toliko kot naravnih števil. O gostoti pa bi lahko govorili šele potem, ko bi jo primerno opredelili, menim pa, da so šele realna števila bolj "gosta" kot naravna in racionalna.
-
- Prispevkov: 23
- Pridružen: 6.7.2008 14:44
Re: Neskončnost v naravi?
Neskončnost je abstrakcija oziroma intuitiven pojem. Neskončnost lahko samo slutimo.
V praksi pa "neskončnost" pomeni nekaj nepredstavljivo velikega ali številčnega, s čimer v vsakdanjosti nimamo opravka oziroma česar ne moremo v enem kosu zajeti.
V matematiki pravimo neskončno velikemu številu, da je večje od katerega koli končnega števila, ki bi si ga lahko izmislili. Ali, da ni navzgor omejeno (recimo s še večjim številom).
Se pa pri prepletanju neskončnosti in končnosti hitro zapletemo v paradoks, kot pri dokazu, da puščica nikoli ne preleti 1 metra, ker ga mora najprej preleteti pol, potem spet pol od te polovice, in tako dalje v neskončnost.
Kako pa sploh lahko preleti pol metra, saj ima tudi ta svojo polovico...? Po tej logiki, če jo upoštevamo dosledno, se puščica sploh ne more premakniti (če bi bilo to res, bi marsikdo bil še živ...).
Iz matematične teorije se medlo spominjam, da so števno neskončne množice (vsak element lahko nedvoumno oštevilčiš z enim naravnim številom) in neskončne množice, ki niso števne (realna števila, na primer).
Zanimiva tema, ni kaj.
V praksi pa "neskončnost" pomeni nekaj nepredstavljivo velikega ali številčnega, s čimer v vsakdanjosti nimamo opravka oziroma česar ne moremo v enem kosu zajeti.
V matematiki pravimo neskončno velikemu številu, da je večje od katerega koli končnega števila, ki bi si ga lahko izmislili. Ali, da ni navzgor omejeno (recimo s še večjim številom).
Se pa pri prepletanju neskončnosti in končnosti hitro zapletemo v paradoks, kot pri dokazu, da puščica nikoli ne preleti 1 metra, ker ga mora najprej preleteti pol, potem spet pol od te polovice, in tako dalje v neskončnost.
Kako pa sploh lahko preleti pol metra, saj ima tudi ta svojo polovico...? Po tej logiki, če jo upoštevamo dosledno, se puščica sploh ne more premakniti (če bi bilo to res, bi marsikdo bil še živ...).
Iz matematične teorije se medlo spominjam, da so števno neskončne množice (vsak element lahko nedvoumno oštevilčiš z enim naravnim številom) in neskončne množice, ki niso števne (realna števila, na primer).
Zanimiva tema, ni kaj.
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Re: Neskončnost v naravi?
Neskončno (\(\infty\)) ni število!V matematiki pravimo neskončno velikemu številu, da je večje od katerega koli končnega števila, ki bi si ga lahko izmislili.
Re: Neskončnost v naravi?
Dober dan
A bi lahko razložili kako iščemo te bijekcije med množicami. Recimo med IR in (0,1).
A bi lahko razložili kako iščemo te bijekcije med množicami. Recimo med IR in (0,1).
Re: Neskončnost v naravi?
Moraš poiskati takšno preslikavo (funkcijo), ki vsakemu realnemu številu priredi različno realno število na intervalu (0,1).
Šolski primer:
f(x)=1/(1+e^x)
P.S. Forum ima trenutno problem z renderiranjem LaTeX kode.
Šolski primer:
f(x)=1/(1+e^x)
P.S. Forum ima trenutno problem z renderiranjem LaTeX kode.
Re: Neskončnost v naravi?
Hvala za odgovor.
Me pa zanima po kakšnem postopku oz. razmisleku smo prišli do te funkcije. A to lahko izberemo katerokoli funkcijo in jo preurejamo dokler ni prava ali moramo vedeti kakšne lastnosti funkcije? A bi lahko uporabili x^2 in naredili bijekcijo za isti primer?
Ali lahko prosim miselni postopek opišeš na primeru množic: P({1,2,...,n}) in { f : {1,2,...,n} ->{0,1} }
Me pa zanima po kakšnem postopku oz. razmisleku smo prišli do te funkcije. A to lahko izberemo katerokoli funkcijo in jo preurejamo dokler ni prava ali moramo vedeti kakšne lastnosti funkcije? A bi lahko uporabili x^2 in naredili bijekcijo za isti primer?
Ali lahko prosim miselni postopek opišeš na primeru množic: P({1,2,...,n}) in { f : {1,2,...,n} ->{0,1} }
Re: Neskončnost v naravi?
Kot sem napisal: gre za šolski primer.zaki napisal/-a:Me pa zanima po kakšnem postopku oz. razmisleku smo prišli do te funkcije.
Do njega pa lahko prideš, če razmišljaš, kakšen argument mora imeti naravni logaritem, da bo definiran zgolj na (0,1). Odgovor je:
ln(1/x-1).
Taka funkcija jasno slika iz (0,1) v IR, njen inverz (tisto, kar iščeš) pa iz IR v (0,1).
Seveda bi lahko izbrali tudi logaritem s kako drugo osnovo.
Po zgornjem zgledu bi bila prava ideja inverz (seveda bijektivne) funkcije, ki slika iz (0,1) v IR.A to lahko izberemo katerokoli funkcijo in jo preurejamo dokler ni prava ali moramo vedeti kakšne lastnosti funkcije?
Kje? V imenovalcu namesto e^x? Tako dobljena funkcija že v osnovi ni bijektivna (injektivna), saj zanjo velja: f(-x)=f(x).A bi lahko uporabili x^2 in naredili bijekcijo za isti primer?
Težko, ker gre v tem primeru ne gre za preslikavo iz IR v (0,1).Ali lahko prosim miselni postopek opišeš na primeru množic: P({1,2,...,n}) in { f : {1,2,...,n} ->{0,1} }
Re: Neskončnost v naravi?
Ok zanimivo, da je linearno neskončnost težje definirati, kako je pa z drugimi sistemi kot so desetiški, binarni itd kjer se po logiki razbere še druga vrsta informacije?
Re: Neskončnost v naravi?
Kaj pa bi bila linearna neskončnost?
Re: Neskončnost v naravi?
Omejena naj bi bila prostorsko-časovno.
Re: Neskončnost v naravi?
stream napisal/-a:Omejena naj bi bila prostorsko-časovno.
Sem mislil, da 'linearnost' pomeni nekaj povsem drugega...