matematika - pomoč
Re: matematika - pomoč
Zanima me, kdo oz. kaj določa smer vektorja in kako ga določimo? Ker nekje sem zaznal da smer določa enotski vektor pa sam nisem najbolj prepričan o tem.
Re: matematika - pomoč
Ja, to drži, poljubnemu vektorju lahko priredimo enotski vektor, tako da velja:
\(\vec{a}=a\vec{e}_a\)
Za nasprotni vektor \(\vec{b}=-\vec{a}\Rightarrow b=a\) potem velja:
\(\vec{b}=-b\vec{e}_a\)
\(\vec{a}=a\vec{e}_a\)
Za nasprotni vektor \(\vec{b}=-\vec{a}\Rightarrow b=a\) potem velja:
\(\vec{b}=-b\vec{e}_a\)
Re: matematika - pomoč
Sedaj smo pri diferencialnih enačbah.
Zakaj če imamo zapisano homogeno diferecinalno enačbo, lahko vse odvode nadomestimo s spremeljivko "p", zaradi katerega nastane t.i karakteristični polinom.
Sem pogledal par youtube videjev, vendar tega nisem opazil nikjer, niti ne dokaza za to.
Pa pri splošni rešitvi piše, da ima natanko n prostih konstant. Kaj to pomeni? Proste konstante?
Hvala.
Zakaj če imamo zapisano homogeno diferecinalno enačbo, lahko vse odvode nadomestimo s spremeljivko "p", zaradi katerega nastane t.i karakteristični polinom.
Sem pogledal par youtube videjev, vendar tega nisem opazil nikjer, niti ne dokaza za to.
Pa pri splošni rešitvi piše, da ima natanko n prostih konstant. Kaj to pomeni? Proste konstante?
Hvala.
Re: matematika - pomoč
Ah, to najdeš v vsakem učbeniku, pa tudi na spletu, npr. tukaj. Gre pač za to, da je rešitev linearne homogene dif. enačbe n-te stopnje s konstantni koeficienti linearna kombinacija rešitev oblike:
\(y(x)=e^{px}\).
Ta nastavek da karakteristični polinom za \(p\) n-te stopnje.
Zakaj je gornji nastavek rešitev, je jasno iz tega primera dif. en. prve stopnje:
\(y'(x)=y(x)\).
Iz tabele odvodov je jasno, da je očitna rešitev te enačbe \(y(x)=e^{x}\), po razmisleku pa tudi \(y(x)=Ce^{x}\), saj se \(C\) pokrajša. Konstanta \(C\) je prosta konstanta, ki kaže na to, da je rešitev te dif. en. družina funkcij. Če je poznana npr. točka \(y(x_0)\), je konstanta enolično določljiva.
Za bolj splošen primer:
\(a_1y'(x)=-a_0y(x)\)
gre z nastavkom:
\(y(x)=e^{px}\Rightarrow y'(x)=pe^{px}\),
kar da
\(a_1pe^{px}=-a_0e^{px}\)
oz. karakteristični polinom
\(a_1p+a_0=0\)
z rešitvijo
\(p=-\frac{a_0}{a_1}\).
Rešitev splošne oblike homogene linearne dif. en. prvega reda s konstantnimi koeficienti je tako:
\(\displaystyle y(x)=Ce^{-\frac{a_0}{a_1}x}\).
Podobno gre za dif. en. drugega reda, ki da karakteristični polinom druge stopnje, kjer pa sta poleg realnih ničel možni kompleksni ničli ali dvojna ničla. Za realni ničli \(p_1\) in \(p_2\) je rešitev
\(y(x)=C_1e^{p_1x}+C_2e^{p_2x}\),
za dvojno ničlo \(p\)
\(y(x)=C_1e^{px}+C_2xe^{px}\)
in za konjugirano kompleksni par ničel \(p_{1,2}=\lambda\pm\mu i\)
\(y(x)=C_1e^{\lambda x}\cos(\mu x)+C_2e^{\lambda x}\sin(\mu x)\).
Podobno gre za dif. en. n-te stopnje (glej gornji link), kjer je rešitev linearna kombinacija \(n\) členov (v osnovi eksponentne oblike), seveda z \(n\) "prostimi" konstantami.
\(y(x)=e^{px}\).
Ta nastavek da karakteristični polinom za \(p\) n-te stopnje.
Zakaj je gornji nastavek rešitev, je jasno iz tega primera dif. en. prve stopnje:
\(y'(x)=y(x)\).
Iz tabele odvodov je jasno, da je očitna rešitev te enačbe \(y(x)=e^{x}\), po razmisleku pa tudi \(y(x)=Ce^{x}\), saj se \(C\) pokrajša. Konstanta \(C\) je prosta konstanta, ki kaže na to, da je rešitev te dif. en. družina funkcij. Če je poznana npr. točka \(y(x_0)\), je konstanta enolično določljiva.
Za bolj splošen primer:
\(a_1y'(x)=-a_0y(x)\)
gre z nastavkom:
\(y(x)=e^{px}\Rightarrow y'(x)=pe^{px}\),
kar da
\(a_1pe^{px}=-a_0e^{px}\)
oz. karakteristični polinom
\(a_1p+a_0=0\)
z rešitvijo
\(p=-\frac{a_0}{a_1}\).
Rešitev splošne oblike homogene linearne dif. en. prvega reda s konstantnimi koeficienti je tako:
\(\displaystyle y(x)=Ce^{-\frac{a_0}{a_1}x}\).
Podobno gre za dif. en. drugega reda, ki da karakteristični polinom druge stopnje, kjer pa sta poleg realnih ničel možni kompleksni ničli ali dvojna ničla. Za realni ničli \(p_1\) in \(p_2\) je rešitev
\(y(x)=C_1e^{p_1x}+C_2e^{p_2x}\),
za dvojno ničlo \(p\)
\(y(x)=C_1e^{px}+C_2xe^{px}\)
in za konjugirano kompleksni par ničel \(p_{1,2}=\lambda\pm\mu i\)
\(y(x)=C_1e^{\lambda x}\cos(\mu x)+C_2e^{\lambda x}\sin(\mu x)\).
Podobno gre za dif. en. n-te stopnje (glej gornji link), kjer je rešitev linearna kombinacija \(n\) členov (v osnovi eksponentne oblike), seveda z \(n\) "prostimi" konstantami.
Re: matematika - pomoč
Zanima me ali mi zna kdo pomagati z naslednjo nalogo:
Število 20 ima neko zanimivo lastnost: vsako naravno število med 1 in 20 lahko zapišemo kot vsoto deliteljev števila 20 (pri čemer nastopa posamezni delitelj v vsoti kvečjemu enkrat). Na primer 7=5+2, 13=10+2+1, 19=10+5+4. Ali velja opisana lastnost za vsako naravno število n (t.j. da vsako naravno število med 1 in n lahko zapišemo kot vsoto med seboj različnih deliteljev števila n)?
Če velja kakšno pravilo, zakonitost, dokaz za tole?
Hvala!
Število 20 ima neko zanimivo lastnost: vsako naravno število med 1 in 20 lahko zapišemo kot vsoto deliteljev števila 20 (pri čemer nastopa posamezni delitelj v vsoti kvečjemu enkrat). Na primer 7=5+2, 13=10+2+1, 19=10+5+4. Ali velja opisana lastnost za vsako naravno število n (t.j. da vsako naravno število med 1 in n lahko zapišemo kot vsoto med seboj različnih deliteljev števila n)?
Če velja kakšno pravilo, zakonitost, dokaz za tole?
Hvala!
Re: matematika - pomoč
Hvala, vendar imam še podvprašanja:
Torej s temi nastavki se rešuje le linearne dif. enačbe?
Kot si napisal, če imamo n členov, potem imamo tudi n prostih konstant. Ampak, zakaj se rečejo "proste konstante"?
Če lahko še razložiš za partikularno rešitev, kako jo dobimo. Kakor razumem imamo tablico nastavkov, kjer izberemo ustreznega in rešimo enačbo.
Ampak ne razumem, kako izberemo ter namesto česa vstavimo.
Torej s temi nastavki se rešuje le linearne dif. enačbe?
Kot si napisal, če imamo n členov, potem imamo tudi n prostih konstant. Ampak, zakaj se rečejo "proste konstante"?
Če lahko še razložiš za partikularno rešitev, kako jo dobimo. Kakor razumem imamo tablico nastavkov, kjer izberemo ustreznega in rešimo enačbo.
Ampak ne razumem, kako izberemo ter namesto česa vstavimo.
Re: matematika - pomoč
Linearne s konstantnimi koeficienti. Nelinearne so le redko analitično rešljive, če koeficienti niso konstante, pa seveda eksponentni nastavek ne more biti rešitev, kot lahko vidiš že na primeru enačbe prvega reda.DirectX11 napisal/-a:Torej s temi nastavki se rešuje le linearne dif. enačbe?
Zato ker se do rešitev diferencialnih enačb pride v splošnem z nedoločenim integriranjem, ki pač producira proste konstante oz. rešitve v obliki družin funkcij. Za že naveden primer:Kot si napisal, če imamo n členov, potem imamo tudi n prostih konstant. Ampak, zakaj se rečejo "proste konstante"?
\(y'(x)=y(x)\Rightarrow\frac{dy}{dx}=y\)
klasično postopaš takole:
1. Ločevanje spremenljivk:
\(\frac{dy}{y}=dx\)
2. Nedoločeno integriranje:
\(\int\frac{dy}{y}=\int dx\)
\(\ln y=x+D\)
To je že rešitev dif. en., ki ima na desni strani prosto konstanto D, v katero sta združeni obe prosti integracijski konstanti nedoločenih integralov leve in desne strani. Če se jo še "antilogaritmira", sledi:
\(y=e^{x+D}=e^x\cdot e^D=Ce^x\)
Prosta konstanta C torej izhaja iz konstante D, ki je posledica nedoločenega integriranja.
Partikularno rešitev se lahko določi z več prijemi: z nastavkom, z variacijo konstante itd. Spet priporočam, da vzameš v roke kak učbenik.Če lahko še razložiš za partikularno rešitev, kako jo dobimo. Kakor razumem imamo tablico nastavkov, kjer izberemo ustreznega in rešimo enačbo.
Ampak ne razumem, kako izberemo ter namesto česa vstavimo.
Re: matematika - pomoč
Namig: preveri, če velja ta lastnost za število 19.nplank napisal/-a:Zanima me ali mi zna kdo pomagati z naslednjo nalogo:
Število 20 ima neko zanimivo lastnost: vsako naravno število med 1 in 20 lahko zapišemo kot vsoto deliteljev števila 20 (pri čemer nastopa posamezni delitelj v vsoti kvečjemu enkrat). Na primer 7=5+2, 13=10+2+1, 19=10+5+4. Ali velja opisana lastnost za vsako naravno število n (t.j. da vsako naravno število med 1 in n lahko zapišemo kot vsoto med seboj različnih deliteljev števila n)?
Če velja kakšno pravilo, zakonitost, dokaz za tole?
Hvala!
Re: matematika - pomoč
Bi mi lahko nekdo pomagal s tem primerom? Rad bi sam postopek oz. namige, ker, če ne vem kako priti do rezultata, nisem naredil nič
Najlepša hvala!
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Lesnina proizvaja dva tipa lesenih igrač: vojake in vlakce. Z izdelavo vojaka, ki se prodaja za 27€, je 10€ stroškov za material in 14€ stroškov za delo. Z izdelavo vlakca, ki se prodaja za 21€, je 9€ stroškov za material in 10€ stroškov za delo. Proizvodnja vojakov in vlakcev zahteva dve vrsti obdelave: izdelavo in barvanje. Za izdelavo vojaka sta potrebni 2 uri barvanja in 1 ura izdelave. Za izdelavo vlakca je potrebna 1 ura barvanja in 1 ura izdelave. Vsak teden lahko Lesnina izvede 100 ur barvanja in 80 ur izdelovanja. Povpraševanje za vlakce je neomejeno medtem, ko se na teden proda največ 40 vojakov. Lesnina želi povečati tedenski profit (prodaja – stroški).
Re: matematika - pomoč
Kaj je že bilo vprašanje, koliko igrač izdelati za maksimalni profit?krennorc napisal/-a:Bi mi lahko nekdo pomagal s tem primerom? Rad bi sam postopek oz. namige, ker, če ne vem kako priti do rezultata, nisem naredil ničNajlepša hvala!
Lesnina proizvaja dva tipa lesenih igrač: vojake in vlakce. Z izdelavo vojaka, ki se prodaja za 27€, je 10€ stroškov za material in 14€ stroškov za delo. Z izdelavo vlakca, ki se prodaja za 21€, je 9€ stroškov za material in 10€ stroškov za delo. Proizvodnja vojakov in vlakcev zahteva dve vrsti obdelave: izdelavo in barvanje. Za izdelavo vojaka sta potrebni 2 uri barvanja in 1 ura izdelave. Za izdelavo vlakca je potrebna 1 ura barvanja in 1 ura izdelave. Vsak teden lahko Lesnina izvede 100 ur barvanja in 80 ur izdelovanja. Povpraševanje za vlakce je neomejeno medtem, ko se na teden proda največ 40 vojakov. Lesnina želi povečati tedenski profit (prodaja – stroški).
Ker je profit na uro dela pri obeh igračkah enak (1€), je važno doseči le to, da so vse razpoložljive delovne kapacitete izkoriščene, ob pogoju, da vojakov ni več kot 40.
Čas barvanja v urah: \(100=N_{vojakov}*2+N_{vlakcev}*1\)
Čas izdelave v urah: \(80=N_{vojakov}*1+N_{vlakcev}*1\)
To ti da 20 vojakov in 60 vlakcev ter profit 180€.
Re: matematika - pomoč
Ni nujno, da je ob maksimalno izkoriščenih kapacitetah profit največji. Pravzaprav gre za klasičen problem linearnega programiranja z omejitvami:
\(2x+y\le 100\)
\(x+y\le 80\)
\(x\le 40\)
\(x\ge 0\)
\(y\ge 0\)
in kriterialno funkcijo (maksimalen profit):
\(\rm{max}\{ 3x+2y\}\),
kjer je \(x\) št. izdelanih vojakov in \(y\) št. vlakcev.
Ker je problem dvodimenzionalen, ga je možno rešiti tudi grafično, sicer pa se v splošnem rešuje z metodo simplex.
Izkaže se, recimo z uporabo WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 0%2F%2F%5D
da je res optimalna rešitev (\(x=20\), \(y=60\)) z maksimalno izkoriščenimi kapacitetami.
Še link na widget za lažji vnos podatkov:
http://www.wolframalpha.com/widget/widg ... theme=blue
\(2x+y\le 100\)
\(x+y\le 80\)
\(x\le 40\)
\(x\ge 0\)
\(y\ge 0\)
in kriterialno funkcijo (maksimalen profit):
\(\rm{max}\{ 3x+2y\}\),
kjer je \(x\) št. izdelanih vojakov in \(y\) št. vlakcev.
Ker je problem dvodimenzionalen, ga je možno rešiti tudi grafično, sicer pa se v splošnem rešuje z metodo simplex.
Izkaže se, recimo z uporabo WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 0%2F%2F%5D
da je res optimalna rešitev (\(x=20\), \(y=60\)) z maksimalno izkoriščenimi kapacitetami.
Še link na widget za lažji vnos podatkov:
http://www.wolframalpha.com/widget/widg ... theme=blue
Re: matematika - pomoč
HVala lepa za obširno in razumljivo razlago!
Re: matematika - pomoč
derik napisal/-a:Ker je profit na uro dela pri obeh igračkah enak (1€), je važno doseči le to, da so vse razpoložljive delovne kapacitete izkoriščene, ob pogoju, da vojakov ni več kot 40.
Lahko daš kakšen primer, ko je profit na uro dela pri obeh igračkah enak, največji profit pa ni pri maksimalno izkoriščenih kapacitetah?shrink napisal/-a: Ni nujno, da je ob maksimalno izkoriščenih kapacitetah profit največji.
Re: matematika - pomoč
Recimo, če je pri istem primeru namesto omejitve \(x\le 40\) prisotna omejitev \(x\le 15\); takrat je optimalna rešitev:derik napisal/-a:derik napisal/-a:Ker je profit na uro dela pri obeh igračkah enak (1€), je važno doseči le to, da so vse razpoložljive delovne kapacitete izkoriščene, ob pogoju, da vojakov ni več kot 40.Lahko daš kakšen primer, ko je profit na uro dela pri obeh igračkah enak, največji profit pa ni pri maksimalno izkoriščenih kapacitetah?shrink napisal/-a: Ni nujno, da je ob maksimalno izkoriščenih kapacitetah profit največji.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 0%2F%2F%5D
\(x=15\), \(y=65\),
ob maksimalnem profitu (\(175\)) pa kapacitete za barvanje niso maksimalno izkoriščene (\(2\cdot 15+65=95 < 100\)).
Re: matematika - pomoč
Imam vprašanje, kako se pride leve strani v desno:
![Slika](http://shrani.si/f/1D/S/3sYFnIj6/ss1.png)
hvala.
![Slika](http://shrani.si/f/1D/S/3sYFnIj6/ss1.png)
hvala.