Neki simple racun

[alexa-lol]

se strinjam

Zanima me s kako funkcije preslikamo \(\mathbb{R}\) v interval \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)
A je \(f(x)=\frac{\arctan{x}}{4}+\frac{\pi}{4}\) uredu odgovor?

Cela naloga je taka...dokaži, da sta množici \([1,2]\) in \(\mathbb{R}\) enako močni. Ker ne moremo najti bijekcije, iščemo injekcijo v nek skupen interval. \([1,2]\) je trivialno spravit v \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), \(\mathbb{R}\) v isti interval pa naj bi spravila funkcija \(f\).

Je resitev pravilna?

[Jurij]

mal preveč kompliciraš; f(x)=arctg(x)

[alexa-lol]

mal preveč kompliciraš; f(x)=arctg(x)

vem ampak da bo za zihr..moja resitev bi prisla v postev če bi bil interval npr. \((0.5 , 1.2)\).
Kaj pa tale naloga... krožnica določa v ravnini dve množici točk: zunanjost in notranjost pokaži, da imata isto kardinalno število.

Torej, da sta enako močni..
Zunanjost je tam kjer je \(x^2+y^2>r^2\)
Notranjost je tam kjer je \(x^2+y^2<r^2\)

Recimo, da naredimo injekcijo v nek skupen interval recimo \(x^2+y^2<=r^2\). Notranjost je že noter, zunanjost moremo pa noter vstavit.
Torej vsaka komponento moremo, dati v inteval \((-r,r)\)
\(f(x)=r*\frac{1}{x+1} f(y)=r*\frac{1}{y+1}\)

Se to lahko tako zapiše?

smo nekaj podobnega naredili in smo naredili s polarnimi koordinatami (o katerih še nismo) in je bil predpis za to injekcijo \((\frac{1}{r+1},\phi)\), je to enakovreden predpis?

[alexa-lol]

...tam je \((\frac{r}{r+1},\phi)\)

[Aniviller]

Spet kompliciras... dovolj je, da pokazes da znas preslikati eno v drugo (recimo da kar zamenjas notranjost in zunanjost). V polarnih koordinatah lahko phi pustis pri miru in samo preslikas polarni radij r:
\(r\to \frac{R^2}{r}\)
(lazje je videti kar kot \(\frac{r}{R}\iff\frac{R}{r}\), funkcija 1/x preslika (0,1) v (1,inf) in obratno).
R je tukaj radij kroznice okrog katere preslikujes, da ni zmede ker smo definirali \(r^2=x^2+y^2\). Ce hoces nazaj v kartezicne koordinate, tudi lahko:

\(x'=R^2\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\)
\(y'=R^2\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\)
Pri tem smo upostevali \(\cos\phi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) in podobno za sinus.

[alexa-lol]

aha hvala
kaj pa tole...

Na množici \(A = {1,2,3,4,5}\) je podana relacija \(R = \{(1,3),(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(4,5),(5,4),(5,5)\}\).

Zanima me kakšna je \(I_{A}\)?

[Jurij]

kaj pa označuje \(I_A\)? je to mogoče ekvivalenčna identična relacija \(xIy \iff x=y\)?

[alexa-lol]

kaj pa označuje \(I_A\)? je to mogoče ekvivalenčna identična relacija \(xIy \iff x=y\)?

Identiteta...

mogoce kdo ve kakšen program, ki je dober za dokazovanje sklepov izjavnega računa (Modus ponenc, disjunktivni silogizem..), ki izpise korake, ker mi vedno rata ene par korakov narest potem se pa ustavi

npr. kaj naj tukaj naredim
\(p \lor q \implies r\),\(r \implies s \lor t\),\(t \implies u\),\(\lnot(s \lor u)\) |= \(\lnot p\)
potem izpišem predpostavke in dobim...
1. \(p \lor q \implies r\)
2. \(r \implies s \lor t\)
3. \(t \implies u\)
4. \(\lnot(s \lor u)\)
5. \(p\) Predpostavka reductio ad absurdum
5.1\(p \lor q \implies s \lor t\) Hipotetični silogizem(1,2)
5.2 \(\lnot s\) Poenostavitev(4)
5.3 \(\lnot u\) Poenostavitev(4)

Kaj pa naj zdaj naredim?

lp

[alexa-lol]

odgovor na prvo vprašanje sem že našel...
identitetna realcija je definirana kot \(I_{a} = \{(x,x):x\in A\}\)

tisto za sklepanje pa še nisem ugotovil

[Jurij]

tistega s sklepanjem pa nisem čisto razumel; mal drugače pišete korake sklepanja kot mi. kaj točno bi rad dokazal?

[alexa-lol]

sem ugotovil..upoštevvati morem Pridružitev ( Pr(x)) za katero velja:
\(A |= A \lor B\)

Jurij..rad bi prišel do protislovja (ker uporabljam metodo reductio ad absurdum) uporabim samo Pr(\(5\)) in dobim \(p \lor q\) in iz tegan naprej pridem do protislovja \(\lnot u \land u \sim 0\)

[alexa-lol]

hej naletel sem na zanimivo nalogo iz zbirke izpitnih nalog...
Z uporabo Rollovega izreka dokazi, da polinom nima več kot ene realne ničle...
\(p(x) = x^7 -x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x -1\)

Koliko realnih ničel potem ima? Vsak korak doborargumentiraj.

ok vemo, da če je polinom ne 7 stopnjo, da ima bodisi 1,3,5 ali 7 realnih ničel (ker kompleksne nastopajo v konjugiranih parih)
Kaj naj pa zdaj naredim?
Vem, da Rollov izrek pomeni, da obstaja nek \(\xi\) med \(a\) in \(b\) kjer je \(g'=0\).

To nalogo smo naredili na vajh, ampak si nisem dosledno zapisal tako, da ne vem kater trik smo uporabili.

help
lp

[Aniviller]

Med dvema zaporednima niclama mora biti zaradi Rolleovega izreka vsaj en ekstrem - nicla odvoda. Poskusi iz tega kaj dobit (odvod je povsod pozitiven ampak trenutno ne vidim kako bi se to dokazalo brez da bi kar nasli nicle).

Lahko si pa pomagas s tocno resitvijo:
\(p(x)=(1-x)(x^6+x^4+x^2+1)=(1-x)\frac{1-x^8}{1-x^2}=\frac{1-x^8}{1+x}\)
nicle so vsi osmi koreni stevila ena razen minus enke (imenovalec) - vsi lezijo na enotski kroznici v kompleksnem.

[alexa-lol]

aha hvala
kako bi pogledal, kateri so ekstremi funkcije \(z\) na robu kroga \(x^2 + y^2 \leq 2\).
\(z = x^2 + (y-1)^2\)

lp

[Aniviller]

Kot vedno pri vezanih ekstremih: dve moznosti. Eno so Lagrangeovi multiplikatorji - isces ekstrem
\(z-\lambda(x^2+y^2-2)\)
pri cemer je \(\lambda\) dolocen s tem, da resitev lezi na robu kroga.
Lahko pa vstavis polarne koordinate in isces ekstrem po kotu.