Matematika (injektivnost,...)

[Rorschach]

Se pravi:
Če je drugi odvod pozitiven je funkcija konveksna (v tem primeru je to za x<0).
Če je drugi odvod negativen je funkcija konkavna (v tem primeru za x>0).
Je prav?

Pravi podatki so torej:
Da seka x os v točki x=1;
da povsod narašča;
da je levo od osi y konveksna
in da je desno od osi y konkavna.

Skica bi bila takšna:
http://www.bored.com/drawthings/pics/2496121.gif

[Aniviller]

Ja to je prav. Saj skico pa lahko preveris s tocno resitvijo:

Koda: Izberi vse

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot[ArcTan[x]-ArcTan[1]%2C{x%2C-10%2C10}]

(kopiraj link)

[Rorschach]

Lastne vrednosti in lastni vektorji:
PDF format: http://www.shrani.si/f/1s/z2/1MA3XsD1/matrika.pdf
Mathematica notebook: http://www.megaupload.com/?d=JHAIAD1N

Reševal sem nalogo: "matrika.pdf/1.) Originalna matrika:". Lastne vrednost znam izračunat, če matrike ne spreminjam. Ko pa sem poskušal k drugi vrstici prišteti prvo "matrika.pdf/2.)" , se pojavijo težave. Lastne vrednosti se spremenijo. Kje je napaka?

[Rorschach]

...pri primeru "matrika.pdf/3.)" pa sem v originalni matriki prištel drugo vrstico k prvi (ločeno od 2.) primera).

[Aniviller]

Saj ne smes pristevati vrstic in podobnega... samo ortonormirane transformacije ne spremenijo lastnih vrednosti. Ce pa nekaj pristevas pa jasno da bo cisto drugace potem.

[Rorschach]

Aha. v učbeniku z vajami, v rešitvah piše: "Z Gaussovim postopkom po vrsticah pridelaš rešitev \(x=[0,s,s]^t\), kjer je s realni parameter."; Če je \(\lambda=-5\)
Sem mislil da je Gaussov postopek=Gaussova eliminacija=Elementarne operacije med vrsticami matrike.
Zgleda da ni tako.
Torej bi blo Gaussov postopek=Gaussova eliminacija\(\not=\)Elementarne operacije med vrsticami matrike.
Kakšna je razlika?

[Aniviller]

Razcep matrike je v
\(PDP^{-1}\), kjer je D diagonalna, P pa neka transformacija (ni nujno ortogonalna, je pa ziher ortogonalna ce je matrika simetricna). Gaussova eliminacija ti menja in mesa samo vrstice, kar pa je enako kot mnozenje matrike z neko drugo matriko samo z ene strani. Recimo menjava vrstic ti naredi iz
A=x
tole:
TAx=Tx
In tvoja nova matrika "TA" nima istih lastnih vrednosti kot "A". Ima pa "TAT^{-1}" iste lastne vrednosti. Se pravi ti moras si zapomnit transformacije, ki jih delas na matriki (T moras belezit). Ali pa ce sproti delas na stolpcih inverzno transformacijo tistega, kar delas na vrsticah.

No verjetno je misljeno, da lastne vrednosti dobis iz determinante, in potem na (A-lambda I) delas gaussovo eliminacijo, da dobis lastni vektor. To pa deluje.

[Rorschach]

Naslednja naloga je:
Izračunaj arctan(tan2) brez kalkulatorja in utemelji svoje račune.

To je moj postopek, za katerega me zanima, če ima kakšno napako, oziroma če mu kaj manjka. Profesor želi namreč imeti zelo natančen odgovor na tole nalogo ki se zelo pogosto pojavlja v kolokvijih/izpitih :

Vzemimo y=arctan(tanx)

-funkcija tan ima definicijsko območje na intervalu \((-\pi/2,\pi/2)\)
-na tem intervalu je tudi bijektivna
-funkcija arctan je njena inverzna preslikava, ki je tudi bijektivna
-funkcija tan je na \(\pi\) periodična
-x mora biti umeščen v interval \((-\pi/2,\pi/2)\), ker je funkcija tan tukaj definirana
torej na našem primeru:\(\pi/2<2<3\pi/2\) \(|-\pi => -\pi/2<2-\pi<\pi/2\)
-velja ekvivalenca \(tanx=y <=> x=arctany\)
torej: \(arctan(tanx)=y <=> tanx=tany\) \(=> x=y => 2-\pi=y => arctan(tan2)=2-\pi\)

[Rorschach]

Še ena podobna (meni težja, ne znam je rešit):
Izračunaj arcsin(sin3) brez kalkulatorja in utemelji svoje račune.

Moj postopek:
Vzemimo y=arcsin(sinx)

-funkcija sin ima definicijsko območje na intervalu \(R\)
-bijektivna je na intervalu [-\pi/2,\pi/2]
-funkcija arcsin: [-1,1] -> [-\pi/2,\pi/2] je inverzna preslikava funkcije sin: [-\pi/2,\pi/2] -> [-1,1] in je tudi bijektivna
-funkcija sin je na \(2\pi\) periodična
-x mora biti umeščen v interval \([-\pi/2,\pi/2]\), ker je funkcija sin tukaj bijektivno definirana
torej na našem primeru: ????
-velja ekvivalenca \(sinx=y <=> x=arcsiny\)
torej: ????

Prosim pomoč.

[Aniviller]

Ja to bo prav - tisto s tangensom.

Saj pri sinusu gres lahko tudi tako, da uporabis enakosti, ki so za sinus poznane - ker pri sinusu ni cela perioda bijektivna, ce pa te uporabis pa nimas tezav. Mislim lastnosti
\(\sin x=\sin (x-2n\pi)\) in \(\sin x=\sin (\pi-x)\).
S temi potem samo prestavis v definicijsko obmocje arkusa in ti ne more noben oporekat, ker si uporabil na vsakem koraku zvezo, ki velja v obe smeri.

\(\sin 3=\sin (\pi-3)\), to je ze ok ker je \(\pi-3\in \lbrack-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\rbrack\).

[Rorschach]

Zdaj bi moglo bit:
Izračunaj arcsin(sin3) brez kalkulatorja in utemelji svoje račune.

Moj postopek:
Vzemimo y=arcsin(sinx)

-funkcija sin ima definicijsko območje na intervalu \(R\)
-bijektivna je na intervalu \([-\pi/2,\pi/2]\)
-funkcija \(arcsin: [-1,1] -> [-\pi/2,\pi/2]\) je inverzna preslikava funkcije \(sin: [-\pi/2,\pi/2] -> [-1,1]\) in je tudi bijektivna
-x mora biti umeščen v interval \([-\pi/2,\pi/2]\), ker je funkcija sin tukaj bijektivno definirana
-velja enakost \(sinx=sin(\pi-x)\) torej \(sin3=sin(\pi-3)\), \(\pi-3\) pa stoji na intervalu \(\lbrack-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\rbrack\)
-velja ekvivalenca \(sinx=y <=> x=arcsiny\)
torej: \(y=arcsin(sin(\pi-3)) => siny=sin(\pi-3)\) \(=> y=\pi-3 => arcsin(sin3)=\pi-3\)

[Rorschach]

Še ena:
Izračunaj arcsin(sin9) brez kalkulatorja in utemelji svoje račune.

Moj postopek:
Vzemimo y=arcsin(sinx)

-funkcija sin ima definicijsko območje na intervalu \(R\)
-bijektivna je na intervalu \([-\pi/2,\pi/2]\)
-funkcija \(arcsin: [-1,1] -> [-\pi/2,\pi/2]\) je inverzna preslikava funkcije \(sin: [-\pi/2,\pi/2] -> [-1,1]\) in je tudi bijektivna (na intervalu \([-1,1]\)
-x mora biti umeščen v interval \([-\pi/2,\pi/2]\), ker je funkcija sin tukaj bijektivno definirana
-velja enakost \(sinx=sin(x-2k\pi); k\in Z\), torej \(sin9=sin(9-2k\pi)\)
-velja tudi enakost \(sinx=sin(\pi-x)\) torej \(sin(9-2k\pi)=sin(\pi-(9-2k\pi))=sin(3\pi-9)\)
\(3\pi-9\) stoji na intervalu \(\lbrack-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\rbrack\)
-velja ekvivalenca \(sinx=y <=> x=arcsiny\)
torej: \(y=arcsin(sin(3\pi-9)) => siny=sin(3\pi-9)\) \(=> y=3\pi-9 => arcsin(sin9)=3\pi-9\)

[Aniviller]

Ja saj zdaj bodo vse na enak nacin. Ni treba prevelike znanosti iz tega delat.

[Rorschach]

Ok to bo šlo.
Zdaj pa kompleksna števila:

Reši enačbo:
\(z^3-1+i=0\)

Moje reševanje:
\(z^3=-1+i\)

Po Moivrovi formuli velja:
\(z^3=r^3(cos(3\varphi)+isin(3\varphi))

\left | z \right |^3=\sqrt{z^3*\bar{z}^3}=r^3\)
\(\sqrt{(i-1)*(-i-1)}=\sqrt2=r^3\)

\(3\varphi=3\pi/4\) dobim iz slike. Obstaja še kakšen način???

dobimo:
\(z^3=\sqrt2(cos(3\pi/4)+isin(3\pi/4))\)

Zdaj po binomski formuli dobimo rešitve:
\(z_1=\sqrt[6]{2}(cos\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi*0}{3}+isin\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi*0}{3})=\sqrt[6]{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})\)
\(z_2=\sqrt[6]{2}(cos\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi*1}{3}+isin\frac{\frac{3\pi}{4}+2\pi*1}{3})=\sqrt[6]{2}(cos\frac{11\pi}{12}+isin\frac{11\pi}{12})

z_3=...\)
(vstavljal sem \(k \in \{0,1,2\}\))
\(z_1\) dobim prav,
za \(z_2\) pa naj bi bla pravilna rešitev \(z_2=\sqrt[6]{2}(cos\frac{5\pi}{12}+isin\frac{5\pi}{12})\)

Kaj sem naredil narobe?

[Aniviller]

Pusti to formulo... saj imas eksponentni zapis. Mavra se nikoli ne rabi.
\(z^3=1-i=\sqrt{2}e^{-i\pi/4}=\sqrt{2}e^{-i\pi/4+2n\pi i}\) (periodicnost)
korenis:
\(z=2^{1/6}e^{-i\pi/12+2n\pi i/3}\), razlicne resitve dobis za recimo n=0,1,2, potem se pa spet zacne ponavljat.
Ok zdaj lahko preklopis na kotne funkcije, ni pa nujno.