Prosil bi, če mi nekdo pomaga rešiti naslednjo nalogo:
Porazdelitev mase v hemisferični lupini \(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\) je podana z: \(f(x,y,z)=(f(0)/R^2)(x^2+y^2)\), kjer je f ploskovna gostota ter f(0) konstanta.
a) Poišči izraz za celotno maso lupine, ki bo vseboval f(0) ter R
b) Poišči vztrajnostni moment okoli z osi te sfere
Najlepša hvala že vnaprej...
porazdelitev mase
Re: porazdelitev mase
a)
Integriraj gostoto po celi lupini. Edino smiselno je uvesti sfericne koordinate:
\(m=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\rho(\theta)R^2\sin\theta{\,\rm d}\theta{\,\rm d}\phi\)
Pri mejah za \(\theta\) smo upostevali, da imamo samo pol lupine. \(\phi\) lahko takoj zintegriramo, potem pa vstavimo gostoto:
\(\rho(\theta)=\frac{f(0)}{R^2}(R^2\sin^2\theta)\) (uporabili smo dejstvo, da je radij v xy ravnini enak \(R\sin\theta\) - lahko pa tudi vstavljas izraze za koordinate).
\(m=2\pi R^2 f(0)\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta{\,\rm d}\theta\)
Integral je enostavno izracunat z \(u=\cos\theta\).
\(\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta{\,\rm d}\theta=\int_0^1 (1-u^2){\,\rm d}u\)
b) Vztrajnostni moment dobis na podoben nacin, le da v integral zraven das se \(x^2+y^2=R^2\sin^2\theta\) - kvadrat razdalje od osi.
Integriraj gostoto po celi lupini. Edino smiselno je uvesti sfericne koordinate:
\(m=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\rho(\theta)R^2\sin\theta{\,\rm d}\theta{\,\rm d}\phi\)
Pri mejah za \(\theta\) smo upostevali, da imamo samo pol lupine. \(\phi\) lahko takoj zintegriramo, potem pa vstavimo gostoto:
\(\rho(\theta)=\frac{f(0)}{R^2}(R^2\sin^2\theta)\) (uporabili smo dejstvo, da je radij v xy ravnini enak \(R\sin\theta\) - lahko pa tudi vstavljas izraze za koordinate).
\(m=2\pi R^2 f(0)\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta{\,\rm d}\theta\)
Integral je enostavno izracunat z \(u=\cos\theta\).
\(\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta{\,\rm d}\theta=\int_0^1 (1-u^2){\,\rm d}u\)
b) Vztrajnostni moment dobis na podoben nacin, le da v integral zraven das se \(x^2+y^2=R^2\sin^2\theta\) - kvadrat razdalje od osi.
Re: porazdelitev mase
Jp, pred 8. leti sem tudi jaz znal rešiti to nalogo, ampak to je bilo samo v obdobju enega meseca, ko sem študiral za matematiko 2. Vsak dan po 8-10 ur, da sem na koncu za 7-ko skupej spacal! Vedno bolj se mi zdi, kaka beda je to, da se moreš nekaj naučit, da tako ali pa tako to hitro potem pozabiš, ker se ne ukvarjaš dovolj s tem. Učenje matematike je velik plus zame samo tzaradi tega, da se naučiš konstruktivno reševati različne težave, ki te doletijo v življenju, pa nqj si bodo to družinske, socialne...
Sorry tole bo off topic:
Aniviler kaj si po poklicu asistent ali profesor:)? Ti bi lahka firmo ofnal "reševanje matematičnih in fizikalnih nalog", vprašanje ki se mi poraja je koliko izpitov in domačih nalog si že pomagal rešiti različnim študentom in še večje vprašanje ali si jim s tem sploh pomagal?
Pa ne bit hud, ne mislim nič slabega, ker si zlata duša. Ampak Afričanom tudi nič ne pomaga naša humanitarna pomoč, njim bi mogli dat traktorje ter znanje o gojenju pridelkov, mogoče raje namakalne sisteme, kot pa da jim v nedogled vozimo dol hrano, namesto da bi jih naučili kako jo pridelati!
Sorry tole bo off topic:
Aniviler kaj si po poklicu asistent ali profesor:)? Ti bi lahka firmo ofnal "reševanje matematičnih in fizikalnih nalog", vprašanje ki se mi poraja je koliko izpitov in domačih nalog si že pomagal rešiti različnim študentom in še večje vprašanje ali si jim s tem sploh pomagal?
Pa ne bit hud, ne mislim nič slabega, ker si zlata duša. Ampak Afričanom tudi nič ne pomaga naša humanitarna pomoč, njim bi mogli dat traktorje ter znanje o gojenju pridelkov, mogoče raje namakalne sisteme, kot pa da jim v nedogled vozimo dol hrano, namesto da bi jih naučili kako jo pridelati!
Re: porazdelitev mase
Ce bos malo pogledal po forumu bos videl, da zelo redko resim nalogo v celoti ampak raje nakazem smernice in pustim kaksno stvar v razmislek. Ker popolna resitev nalog res nikomur ne pomaga.
Re: porazdelitev mase
Aniviller je res stručko prve klase in še dobra dušca povrhu... tako da MAVER|CK, da ga ne boš zdej preveč zabil... jaz upam še kdaj na njegovo pomoč 
Re: porazdelitev mase
Ne, ne... niakkor nimam tega namena. Mislim, da on in Shrink trgata gate tule na forumu in brez takih ljudi bi samo fantazirali tule gor!
Kapo dol, in vsekakor sem opazil, da se resnično drži tega, da ne izda popolnih rezultatov, kar je zelo dobrodošlo, kajti le tako se lahko ljudje ob reševanju tudi nekaj naučijo. Baje se od kopiranja ne naučiš veliko, hehe.
Vsekakor upam, da ni aniviler zameril, če pa je se mu opravičujem, če sem rekel kaj napačnega!
Kapo dol, in vsekakor sem opazil, da se resnično drži tega, da ne izda popolnih rezultatov, kar je zelo dobrodošlo, kajti le tako se lahko ljudje ob reševanju tudi nekaj naučijo. Baje se od kopiranja ne naučiš veliko, hehe.
Vsekakor upam, da ni aniviler zameril, če pa je se mu opravičujem, če sem rekel kaj napačnega!