Ja tisti logaritem velja za vse kar je levo od polovicke. p.s. poskusi \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
alexa-lol napisal/-a:ahah..hvala sem popravil..
torej je \(f: \mathbb{R} -> \mathbb{R}\) definirana na intervalu \((-\inf,\frac{1}{2})\)?
zdaj imam eno težavo z neko rekurzijo...
\(a_{1}=2\)
\(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+4)\)
Torej kaj je problem... čeprav je rekurzija linearna(mislim ,da je) mi je ne rata pretvoriti v parametrično obliko. Pridem do oblike \(2\lambda = 1 + \frac{4}{\lambda ^n}\)
Ja tocno isto kot pri diferencialnih enacbah... homogeni del moras posebej resevat - ko vstavis nastavek
\(\lambda^n\) moras brez tiste +4. Celotna resitev je potem kar
\(a_n=A\lambda^n+b_n\) pri cemer je
\(b_n\) partikularna resitev, A pa dolocis iz zacetnega pogoja (prvi clen).
Bolje je pisat
\(2a_{n+1}-a_n=4\)
Partikularno resitev nastavis ravno tako kot pri diferencialnih enacbah: za polinom na desni strani nastavis polinom iste stopnje (ali malo vecje, ce je poseben primer, ko je polinom tiste stopnje ze resitev homogenega dela).
Konstanten nastavek:
\(b_n=B\)
\(2B-B=4\)
B=4
Polna resitev je potem (iz homogenega dela sledi
\(\lambda=\frac12\).
\(a_n=4+A 2^{-n}\)
Iz zacetnega pogoja
\(a_0=2\) dobis A=-2 (pri geometrijskih zaporedjih je vedno bolje steti od nicle naprej!).
alexa-lol napisal/-a:
Drug problem je pa, da ne vem kako matematično dokazati naslednje stvari...
- da je zaporedje navzgor omejeno z 4
Iz teorije vem, da je zaporedje navzgor omejeno če obstaja natančna zgornja meja \(M = sup a_{n}\), ta pa obstaja takrat, ko je a) je zgornja meja zaporedja in b) nobeno manjše število ni zogrnja meja. Problem je zdaj kako to aplicirati na konkreten problem.
- da zaporedje narašča: potem more veljati
\(a>b => f(a) > f(b)\)
- Ali je zaporedje konvergentno? Če je, najdi njegovo limito.
Zaporedje {\(a_n\)} konvergira proti vrednosti \(a\), če leže v vsaki okolici števila \(a\) vsi členi zaporedja{\(a_n\)} od nekega člena naprej. Zaporedje, ki ima to lastnost, se imenuje konvergentno, število \(a\) pa limita zaporedja.
Konvergenca zaporedij je precej enostavna stvar. Za samo omejenost pac najdes neko stevilo in dokazujes da so vsi cleni manjsi (ali vecji - odvisno katera meja je). Ce imas splosni clen, samo resis neenacbo ki jo dobis - recimo
\(2^{-n}<2\) je prakticno ocitno, lahko pa tudi logaritmiras.
Ce imas rekurzijo potem poskusi dokazat za naslednji clen, ce privzames da za enega ze velja.
Za narascanje je postopek popolnoma enak, le da ne primerjas enega clena z neko fiksno mejo, ampak primerjas dva zaporedna clena.
Za iskanje same limite pa pac obicajna pravila za limitiranje.
Ce najdes kaksen poseben primer ki ti dela tezave bo lazje razlozit prijeme.