gradient, divergenca, rotor

[gcn64]

Prosil bi, če lahko kdo pomaga rešiti naslednje naloge. Po ena iz gradienta, rotorja ter divergence. Prvih dveh se ne znam niti lotit
Torej:

GRADIENT:

Zapiši vzgon v tekočini v centrifugalnem polju

ROTOR:

Med planparalelnima ploščama se giblje viskozna tekočina. Izračunaj rotacijo polja (zapiši hitrostni profil tekočine za primer, ko se zgornja plošča giblje s konstantno hitrostjo, poišči komponente hitrosti in izračunaj rot v)

DIVERGENCA:

Verificiraj, za polje točkastega naboja, da je div D=0

Tule pri divergenci me zanima če bi se tu sploh naj kaj računalo, ali je dovolj da se pač pojasni, da je divergenca (če jo definiramo v točki ki ni v točkastem naboju) 0, zato ker je divergenca neničelna le če jo definiramo v točki, kjer se nahaja naboj...

Najlepša hvala že vnaprej...

[Aniviller]

Vzgon je sila, nasprotna sili "teze" (pri nas centrifugalne sile), ki bi delovala na izpodrinjeno tekocino... na diferencial telesa deluje gostota centrifugalne sile
\(\vec{f}=-\rho\omega^2 r\vec{e}_r\)
(gostota tekocine nastopa)
Za celo telo bo pa
\(\vec{F}=-\int\!\!\iint \vec{f}\,dV\)
Toliko o tem na enostaven nacin: lahko gres pa cisto iz osnov in pridobis malo vec razumevanja:

Tlak je ploskovna gostota sile. Torej, rezultanta sile na poljubno telo:
\(\vec{F}=-\iint p\, d\vec{S}\) (diferencial povrsine ima smer normale na povrsino).
Po drugi strani z Gaussovim izrekom to prevedes na volumski integral po telesu
\(\vec{F}=-\int\!\!\iint \nabla p\, dV\)

Pri navadnem vzgonu je \(p=-\rho g z\) in iz tega dobis obicajen vzgon \(\vec{F}=\rho g V \vec{e}_z\).

Lahko si kar predstavljas, da na vsak delcek telesa deluje gostota sile vzgona \(\vec{f}=-\nabla p\).

Pri centrifugalni sili, ce je notri tekocina, bo v stacionarnem stanju tlak uravnovesen s centrifugalno silo (da bo tekocina mirovala)
\(0=\vec{f}+\vec{f}_c=-\nabla p+\rho \omega^2 r\vec{e}_r\) (to je enako izjavi, da je vzgon enak minus "tezi" izpodrinjene tekocine)
Od tod
\(\nabla p=\rho \omega^2 r\vec{e}_r\)
\(\frac{dp}{dr}=\rho\omega^2 r\)
\(p=\rho\omega^2 \frac{r^2}{2}\)

Iz tega smo dobili celotno porazdelitev tlaka v tekocini. Zdaj lahko namesto z volumskim integralom zapises tudi s ploskovnim:
\(\vec{F}=-\int\!\!\iint \vec{f}dV=-\iint p\,d\vec{S}=-\rho\omega^2 \iint \frac{r^2}{2}\,d\vec{S}\)

Tlak ima v tem primeru isto vlogo kot potencialna energija (v smislu, da njegov gradient povzroca silo).


2) Za hitrostno polje viskozne tekocine mora v ravnovesju veljati
\(\nabla^2 \vec{v}=0\)
Ker je tukaj komponenta samo ena (x), spreminja se pa samo v smeri z, pri teh robnih pogojih dobis
\(\vec{v}=\vec{e}_x (Cz+D)\)
Z robnimi pogoji (\(v_0\) pri z=h in nic spodaj) dobimo
\(\vec{v}=\vec{e}_x v_0\frac{z}{h}\)

Ta vektor ima samo eno komponento (x), zato bo rotor imel samo komponenti y in z:
\(\nabla\times \vec{v}=\left(0,\frac{\partial v_x}{\partial z},-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)=v_0\frac{1}{h}\left(0,\frac{\partial z}{\partial z},-\frac{\partial z}{\partial y}\right)\)
Druga komponenta je tudi nic in ostane
\(\nabla\times \vec{v}=\frac{v_0}{h}\vec{e}_y\)

3)
Res je, da je polje tockastega naboja gradient necesa in bo divergenca avtomatsko nic. Ampak mislim da z "verificiraj" mislijo, da dejansko izracunas
\(\nabla\cdot(\frac{\vec{r}}{r^3})=\frac{\nabla\cdot\vec{r}}{r^3}}+\vec{r}\cdot\nabla\frac{1}{r^3}=\frac{3}{r^3}-3\vec{r}\cdot\frac{\vec{r}}{r^5}=0\)

[gcn64]

najprej še enkrat najlepša hvala za trud...
Prosil pa bi, če lahko pojasniš izračun pri 3. delu. Jasen mi je odvod in sam postopek računanja, vendar me zanima kako sploh pridemo do te divergence.
Imam pa še dve nalogi:

1)

Magnetno polje znotraj vodnika z radijem R ima naslednje komponente:

\(H(x)=-A(1-r^2/(2R^2))y\) , \(H(y)=A(1-r^2/(2R^2))x\) , \(H(z)=0\)

pri čemer je \(A=I/S\) ter \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)

Zapiši komponente magnetnega polja zunaj vodnika...

2)

Po ravni žici teče enosmeren tok. Zapiši magnetno polje znotraj in zunaj žice ter preveri, da je zunaj rot H=0, znotraj pa rot H=j(e)...

Kako bi naj to preveril?

[Aniviller]

Ja \(\frac{\vec{r}}{r^3}\) je polje tockastega izvora (skalarne konstante spredaj niso pomembne). To ves lahko ze iz osnovne sole (1/r^2 odvisnost, \(\vec{e}_r=\frac{\vec{r}}{r}\) smerni vektor v radialni smeri).

Potem pa po pravilih. Za divergenco izrazov \(\vec{r}r^n\) in gradient izrazov \(r^n\) pa lahko ves na pamet, lahko pa uporabis verizno pravilo za odvajanje.

1) Vsi ti podatki so nesmiselni (ocitno je, da je podano polje rotacijsko simetricno - kot se spodobi za tok po zici). Kar rabis je samo maxwellova enacba
\(\int \vec{H}\,d\vec{s}= I\)
(integral po zakljuceni zanki je enak objetemu toku). Ker je situacija rotacijsko simetricna (edini podatek ki smo ga potrebovali iz podanih formul), je
\(\int \vec{H}\,d\vec{s}=2\pi r H=I\)
\(H=\frac{I}{2\pi r}\) (to ze poznamo od zdavnaj)
Seveda je to zdaj komponenta v polarni smeri, se pravi
\(\vec{H}=\vec{e}_{\phi}H=\frac{(-y,x)}{r}H\) (sam si narisi kaksen vektor je to kar stoji pred H-jem)

2) Kako preveris? Izracunas ga!
H pa dobis na isti nacin kot zgoraj (le da ce zanko vodis znotraj vodnika, je objet tok malo manjsi, odvisno na katerem radiju si).

[meluka]

Jaz imam eno nalogo kjer piše, da je treba podobno kot za točkast naboj pokazat, da je divergenca polja enakomerno naelektrene ravnine ter enakomerno naelektrene žice enaka 0.
Pa sem računal za žico po istem principu kot je tu za točko in ne pride 0. Ali je mogoče v nalogi napaka?

[Aniviller]

Divergenca je VEDNO NIC kjer ni izvorov! To je vendar definicija izvorov... poglej ce si prav izracunal ali ce imas sploh pravilno polje za te situacije.

[meluka]

Električno polje enakomerno naelektrene žice je:
\(\mathbf E = \mathbf r /r^2\)

divergenca tega pa je r^(-2)

[Aniviller]

pazi kaj je tukaj r... rajsi pisi \(\displaystyle\frac{\boldsymbol \rho}{\rho^2}\) (torej, samo vektor v xy ravnini, brez z komponente!).

[meluka]

U pa res... sm čist pozabo na obliko simetrije.
Hvala!

[gcn64]

jaz bi še pa imel eno vprašanje glede singularnosti divergenčnega teorema za točkast naboj...

Torej, kako si jaz predstavljam stvar:

Na levi imamo integral po površini. In če imamo znotraj te površine nek točkast naboj, bo ta integral vedno neničeln zaradi neto fluksa. Na desni pa imamo divergenco zintegrirano po volumnu. Za divergenco pa velja, da je neničelna samo v točki, kjer se nahaja naboj, povsod okoli pa je nič. Vendar pa s tem ko mi integriramo po celotnem volumnu, zaobjamemo tudi divergenco v točki kjer je naboj, zatorej tale integral tudi ni nič. Res pa je, da bi naj zaradi volumna 0 (točkast naboj) bila gostota 0, torej desni integral tudi 0. Vem pa tudi, da bi naj gostoto naboja definirali s pomočjo diracove delta funkcije, ki ima neskončen vrh ravno ko je r=0 (r= oddaljenost od točkastega naboja)...

Si prav predstvljam? Ter kako bi tole najenostavneje spravil skupaj...

[Aniviller]

Tako ja. Divergenca polja tockastega naboja je delta funkcija.
Gaussov izrek se ponavadi celo uporabi za dolocitev konstante pred delta funkcijo, ce jo je slucajno problem dolocit.

[gcn64]

aha razumem...
hvala še enkrat...

lp