Prosim za pomoč pri tej nalogi:
Naj bo x tako realno število, da je x+1/x +1 naravno št. Dokaži, da je tudi \(x^2 +1/x^2 +1\) naravno število, ki je deljivo z x+1/x+1.
Matematika
Re: Matematika
Ce hoces da je x+1/x naravno stevilo, morata imeti x in 1/x nasprotni decimalni del. Recimo da sta i in j neki celi stevili in \(\delta\) nekaj realnega med 0 in 1:
\(x=i+\delta\)
\(\frac{1}{x}=j-\delta\)
\(x+\frac{1}{x}+1=i+j+1\)
Po drugi strani je \(x\cdot\frac{1}{x}=1\), se pravi
\(ij-\delta(i-j)-\delta^2=1\), od koder se lepo izrazi vse kar vsebuje delto:
\(\delta(i-j)+\delta^2=ij-1\).
Izraz, za katerega dokazujes da je deljiv z (i+j+1):
\(x^2+\frac{1}{x^2}+1=(i+\delta)^2+(j-\delta)^2+1=i^2+j^2+2(\delta (i-j)+\delta^2)+1\)//vstavis tisto kar smo izrazili zgoraj
\(=i^2+j^2+2(ij-1)+1=i^2+j^2+2ij-1=(i+j+1)(i+j-1)\)
Dokazano.
\(x=i+\delta\)
\(\frac{1}{x}=j-\delta\)
\(x+\frac{1}{x}+1=i+j+1\)
Po drugi strani je \(x\cdot\frac{1}{x}=1\), se pravi
\(ij-\delta(i-j)-\delta^2=1\), od koder se lepo izrazi vse kar vsebuje delto:
\(\delta(i-j)+\delta^2=ij-1\).
Izraz, za katerega dokazujes da je deljiv z (i+j+1):
\(x^2+\frac{1}{x^2}+1=(i+\delta)^2+(j-\delta)^2+1=i^2+j^2+2(\delta (i-j)+\delta^2)+1\)//vstavis tisto kar smo izrazili zgoraj
\(=i^2+j^2+2(ij-1)+1=i^2+j^2+2ij-1=(i+j+1)(i+j-1)\)
Dokazano.
Re: Matematika
Seveda ko to enkrat vidis, deluje tudi direktno, ce pomnozis to stevilo z istim stevilom minus dva:
\((x+\frac{1}{x}+1)(x+\frac{1}{x}-1)=\cdots\)
p.s. govora je o naravnih stevilih, ne celih, vendar je tudi to zelo enostavno dokazat. Eno od stevil x, 1/x je vedno med 0 in 1, drugo pa vec kot 1. Recimo da je x<1. Potem je i=0, po drugi strani je pa j najmanj 2 (ce je j=1, potem je 1/x=j-delta tudi manjse od 1, kar ni mogoce). Torej je (i+j-1)>1, se koncni rezultat v prejsnjem postu ne more biti negativen.
\((x+\frac{1}{x}+1)(x+\frac{1}{x}-1)=\cdots\)
p.s. govora je o naravnih stevilih, ne celih, vendar je tudi to zelo enostavno dokazat. Eno od stevil x, 1/x je vedno med 0 in 1, drugo pa vec kot 1. Recimo da je x<1. Potem je i=0, po drugi strani je pa j najmanj 2 (ce je j=1, potem je 1/x=j-delta tudi manjse od 1, kar ni mogoce). Torej je (i+j-1)>1, se koncni rezultat v prejsnjem postu ne more biti negativen.
Re: Matematika
Kako dokazati da so polinomi \(1,x,x^2,x^3,x^{4},...,x^n\) linerano neodvisni? Začel sem tako, da sem predpostavil, da en koeficient ni enak 0:
\(\alpha_{0}1 + 0x + 0x^{2} + 0x^{3} + .... + 0x^{n} = 0\) , iz tega potem takoj sledi, da \(\alpha_{0}=0\).Vendar sem sedaj dokazal le, da če za vse koeficiente razen enega vemo, da so enaki 0 potem lahko sklepamo, da je tudi ta katerega vrednosti ne poznamo enak 0.
Na vso stvar lahko gledamo tudi kot na enakost dveh polinomov. na eni strani je linearana kombinacija zgoraj zapisanih polinomov na drugi pa 0, ki je v tem primeru tak polinom, ki za vsak x zavzame vrednost 0. Naprej pa nimam idej:D
\(\alpha_{0}1 + 0x + 0x^{2} + 0x^{3} + .... + 0x^{n} = 0\) , iz tega potem takoj sledi, da \(\alpha_{0}=0\).Vendar sem sedaj dokazal le, da če za vse koeficiente razen enega vemo, da so enaki 0 potem lahko sklepamo, da je tudi ta katerega vrednosti ne poznamo enak 0.
Na vso stvar lahko gledamo tudi kot na enakost dveh polinomov. na eni strani je linearana kombinacija zgoraj zapisanih polinomov na drugi pa 0, ki je v tem primeru tak polinom, ki za vsak x zavzame vrednost 0. Naprej pa nimam idej:D
Re: Matematika
am, ali bi tole šlo čez? ker imamo opravka z vektorskimi prostori pač napišemo vsak element zgornje baze kot vektor: \(\alpha_{0} (1,0,0...,0) + \alpha_{1}(0,x,0,...,0)+ ... + \alpha_{n}(0,0,...,0,x^n) = (0,0, ...,0)\), tako dobimo sistem enačb, in na koncu res pride, da so vsi koeficienti enaki 0.
Še eno vprašanje, v matriki stolpci predstavljajo slike baznih vektorjev prostora iz katerega slikamo. kaj pa vrstice? imajo kakšno zvezo z bazo prostora v katerega slikamo?
Še eno vprašanje, v matriki stolpci predstavljajo slike baznih vektorjev prostora iz katerega slikamo. kaj pa vrstice? imajo kakšno zvezo z bazo prostora v katerega slikamo?
Re: Matematika
Prosim za pomoč pri tej nalogi:
Dokaži: Če je n praštevilo, ima enačba 1/x + 1/y = 1/n natanko 3 pozitivne celoštevilske rešitve.
2 rešitvi mi prideta, ne pride pa mi (2n, 2n).
Dokaži: Če je n praštevilo, ima enačba 1/x + 1/y = 1/n natanko 3 pozitivne celoštevilske rešitve.
2 rešitvi mi prideta, ne pride pa mi (2n, 2n).
Re: Matematika
No saj ta resitev je ocitna 
Drugace pa bi sel takole: obrnes enacbo
\(xy=(x+y)n\)
Najmanj eno izmed stevil mora imeti prastevilski faktor n. Recimo da x=kn
\(ky=(kn+y)\)
\(y(k-1)=kn\)
\(y=\frac{kn}{k-1}\)
k-1 in k sta si tuji (nimata nobenega skupnega prafaktorja). Po drugi strani je n ze prafaktor. Zgornji ulomek se pokrajsa edino ce je k-1=n, ali pa ce je ze celo stevilo (k=2).
Resitev k=2 daje
x=2n, y=2n
Resitev k=n+1 daje
x=n(n+1), y=n+1
Ta resitev je simetricna na zamenjavo x<->y, kar daje tretjo resitev.
Drugace pa bi sel takole: obrnes enacbo
\(xy=(x+y)n\)
Najmanj eno izmed stevil mora imeti prastevilski faktor n. Recimo da x=kn
\(ky=(kn+y)\)
\(y(k-1)=kn\)
\(y=\frac{kn}{k-1}\)
k-1 in k sta si tuji (nimata nobenega skupnega prafaktorja). Po drugi strani je n ze prafaktor. Zgornji ulomek se pokrajsa edino ce je k-1=n, ali pa ce je ze celo stevilo (k=2).
Resitev k=2 daje
x=2n, y=2n
Resitev k=n+1 daje
x=n(n+1), y=n+1
Ta resitev je simetricna na zamenjavo x<->y, kar daje tretjo resitev.
Re: Matematika
Spet prosim za pomoč pri neki verjetno enostavni nalogi:
Poišči taki naravni št. a in b, da sta korena enačbe \(x^2 -abx+a+b\) naravni števili.
Enačbo moram gledati kot kvadratno ali?
Poišči taki naravni št. a in b, da sta korena enačbe \(x^2 -abx+a+b\) naravni števili.
Enačbo moram gledati kot kvadratno ali?
Re: Matematika
Ja saj je kvadratna. Najprej zagotovi, da ni iraconalnih resitev, potem pa naprej. Najbolje je, da kar gres od zadaj in nastavis resitev:
\((x-A)(x-B)=x^2-(A+B)x+AB\)
Primerjava:
\(a+b=AB\)
\(A+B=ab\)
\((x-A)(x-B)=x^2-(A+B)x+AB\)
Primerjava:
\(a+b=AB\)
\(A+B=ab\)
Re: Matematika
Skalarni produkt dveh polinomov je definiran kot integral produkta danih dveh polinomov v mejah od -1 do 1. Zakaj tako izbrane meje?
Re: Matematika
Odvisno za kaksen namen. Skalarni produkt definiras kakor hoces - v bistvu se v splosnem za kakrsne koli razvoje definira takega, ki ustreza tvojemu problemu - da so na zeljenem obmocju funkcije ortogonalne (tudi s poljubno utezjo ce hoces).
Brez utezi in za omejeno obmocje je najbolj smiselno pac normirat na -1 do 1: vsak drug koncen interval potem ze preslikas na to obmocje. Dobro je izbrati obmocja, ki se standardno pojavljajo, ker imas relacije izracunane (za ta primer recimo imas Legendrove polinome, ki se zelo radi pojavljajo pri funkcijah na sferi).
Brez utezi in za omejeno obmocje je najbolj smiselno pac normirat na -1 do 1: vsak drug koncen interval potem ze preslikas na to obmocje. Dobro je izbrati obmocja, ki se standardno pojavljajo, ker imas relacije izracunane (za ta primer recimo imas Legendrove polinome, ki se zelo radi pojavljajo pri funkcijah na sferi).
Re: Matematika
Ja, vse to vem. D mora biti popoln kvadrat, potem pa še deljivo z 2. Vendar ne znam potem naprej..Aniviller napisal/-a:Ja saj je kvadratna. Najprej zagotovi, da ni iraconalnih resitev, potem pa naprej. Najbolje je, da kar gres od zadaj in nastavis resitev:
\((x-A)(x-B)=x^2-(A+B)x+AB\)
Primerjava:
\(a+b=AB\)
\(A+B=ab\)
Tukaj je še ena naloga:
Poišči vsa realna števila x, y, ki zadoščajo enačbi
\((x+y)^2 = (x+3)(y-3)\)
Re: Matematika
Ja no saj ko imas
a+b=AB
A+B=ab
ne rabis vec eksplicitne kvadratne enacbe (to zgornje je vietovo pravilo, kar je v principu ekvivalentna formulacija kvadratne enacbe). In ta sistem je lepo resljiv (A in B sta nicli, a,b sta parametra, vendar zaradi simetrije velja tudi obratno).
Ti dve enacbi premeces in dobis
\((1/a+1/b)(1/A+1/B)=1\)
Od tukaj vidis dve stvari: ali sta oba oklepaja enaka 1 in je avtomatsko resljivo (a=b=A=B=2). Ali pa je en vecji in en manjsi od 1. In tisti ki je vecji od 1 nima veliko moznosti kako se to lahko zgodi. Edini nacin je, da je eno stevilo enako 1. Recimo da je a=1. Potem to vstavis nazaj v originalni sistem, eliminiras b in dobis
\(A+B=AB-1\)
\(A=\frac{B+1}{B-1}\)
Od tukaj vidis, da je razlika med stevcem in imenovalcem enaka 2. Iz tega hitro pokazes, da je stvar celo stevilo samo, ce je B-1=2 (da se pokrajsa) ali B-1=1 (da je ze itak celo). To ti da resitev:
A=2, B=3 (ali obratno).
Za ta primer je a=1, b=5. Seveda je potem tudi a=2, b=3 tudi resitev (simetrija!) Torej,
(2,2)
(2,3)
(3,2)
(1,5)
(5,1)
so vse mozne resitve.
Za to drugo nalogo: je to res misljeno v realnih? Ker za realna stevila je to trivialnost (kvadratna forma = elipse, parabole, hiperbole,...).
a+b=AB
A+B=ab
ne rabis vec eksplicitne kvadratne enacbe (to zgornje je vietovo pravilo, kar je v principu ekvivalentna formulacija kvadratne enacbe). In ta sistem je lepo resljiv (A in B sta nicli, a,b sta parametra, vendar zaradi simetrije velja tudi obratno).
Ti dve enacbi premeces in dobis
\((1/a+1/b)(1/A+1/B)=1\)
Od tukaj vidis dve stvari: ali sta oba oklepaja enaka 1 in je avtomatsko resljivo (a=b=A=B=2). Ali pa je en vecji in en manjsi od 1. In tisti ki je vecji od 1 nima veliko moznosti kako se to lahko zgodi. Edini nacin je, da je eno stevilo enako 1. Recimo da je a=1. Potem to vstavis nazaj v originalni sistem, eliminiras b in dobis
\(A+B=AB-1\)
\(A=\frac{B+1}{B-1}\)
Od tukaj vidis, da je razlika med stevcem in imenovalcem enaka 2. Iz tega hitro pokazes, da je stvar celo stevilo samo, ce je B-1=2 (da se pokrajsa) ali B-1=1 (da je ze itak celo). To ti da resitev:
A=2, B=3 (ali obratno).
Za ta primer je a=1, b=5. Seveda je potem tudi a=2, b=3 tudi resitev (simetrija!) Torej,
(2,2)
(2,3)
(3,2)
(1,5)
(5,1)
so vse mozne resitve.
Za to drugo nalogo: je to res misljeno v realnih? Ker za realna stevila je to trivialnost (kvadratna forma = elipse, parabole, hiperbole,...).
Re: Matematika
Ja, v bistvu nisem znala in še vedno nwm dalje rešiti potem tega sistema, če bi prišla do tega produkta 1 bi že znala sklepati..
Drugo pa sem ugotovila, tako da ni treba..
Drugo pa sem ugotovila, tako da ni treba..
Re: Matematika
Živ, ali lahko kdo pove ali sem pravilno rešil nalogo:D
Linearna preslikava \(A: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) je definirana s predpisom \(A(\vec x) = (\vec a \cdot \vec x)\vec b + \vec a \times \vec x\), kjer sta \(\vec a, \vec b \in \mathbb{R}^3\). V odvisnosti od \(\vec a\) in \(\vec b\) določi jedro in zalogo preslikave \(A\).
Predpostavil sem, da sta \(\vec a, \vec b\) linearno neodvisna
Prvo sem napisal matriko preslikave:
\(A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \vec a\vec b \\
\vec a\vec a & \vec a\vec b & \vec a(\vec a \times \vec b)-\vec a\vec a \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}\)
Da sem določil jedro, sem rešil enačbo \(A(\vec x) = 0\) Rešil sem sistem enačb in dobil \(x = (0,c,0)\), kjer je \(c \in \mathbb{R}\).
Stolpci matrike \(A\) predstavljajo ogrodje zaloge vrednosti. Treba je poiskati bazo:\(\alpha(0, \vec a\vec a, 0) + \beta(0,\vec a\vec b, 1) + \gamma(0,1,0) = (0,0,0)\)Za \(\alpha, \beta, \gamma\) sem dobil, da so enaki nič, torej dani vektorji že tvorijo bazo zaloge vrednosti.
Zanima me ali se da zalogo vrednosti določiti še na kakšen drug način. Prav tako nevem ali je potrebno upoštevati primer, ko sta \(\vec a, \vec b\) pravokotna en na drugega saj se tedaj matrika preslikave spremeni, ker \(\vec a\vec b = 0\)
Linearna preslikava \(A: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) je definirana s predpisom \(A(\vec x) = (\vec a \cdot \vec x)\vec b + \vec a \times \vec x\), kjer sta \(\vec a, \vec b \in \mathbb{R}^3\). V odvisnosti od \(\vec a\) in \(\vec b\) določi jedro in zalogo preslikave \(A\).
Predpostavil sem, da sta \(\vec a, \vec b\) linearno neodvisna
Prvo sem napisal matriko preslikave:
\(A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \vec a\vec b \\
\vec a\vec a & \vec a\vec b & \vec a(\vec a \times \vec b)-\vec a\vec a \\
0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}\)
Da sem določil jedro, sem rešil enačbo \(A(\vec x) = 0\) Rešil sem sistem enačb in dobil \(x = (0,c,0)\), kjer je \(c \in \mathbb{R}\).
Stolpci matrike \(A\) predstavljajo ogrodje zaloge vrednosti. Treba je poiskati bazo:\(\alpha(0, \vec a\vec a, 0) + \beta(0,\vec a\vec b, 1) + \gamma(0,1,0) = (0,0,0)\)Za \(\alpha, \beta, \gamma\) sem dobil, da so enaki nič, torej dani vektorji že tvorijo bazo zaloge vrednosti.
Zanima me ali se da zalogo vrednosti določiti še na kakšen drug način. Prav tako nevem ali je potrebno upoštevati primer, ko sta \(\vec a, \vec b\) pravokotna en na drugega saj se tedaj matrika preslikave spremeni, ker \(\vec a\vec b = 0\)