Skalarni produkt,funkcional...

[nejc0706]

Živjo, rabil bi pomoč pri naslednji nalogi:

Na prostoru R2[x] je podan skalarni produkt:
<p,q>=(integral od 0 do 1)(x − x^2)p(x)q(x)dx.
(a)Dokazi, da je z zgornjim predpisom res definiran skalarni
produkt in poisci kaksno ortonormirano bazo prostora R2[x] glede
na ta skalarni produkt.
(b)Linearen funkcional f:R2[x] → R je podan s predpisom
f(p) = (integral od 0 do 1)p(x)dx.
Doloci polinom q ∈ R2[x], tako da je f(p) = <p, q> za vsak p ∈ R2[x].
(c) Linearna preslikava A:R2[x] → R2[x] je podana s pred-
pisom (Ap)(x) = p(1 − x). Doloci A∗.

Najlepša hvala!

[Aniviller]

a) to da je skalarni produkt samo pomeni, da mora biti bilinearen (to je ocitno - samo za vsak polinom vstavis vsoto in produkt s skalarjem in vidis da razpade na vsoto skalarnih produktov). Pa pozitivno definiten mora biti - to je pa tudi ocitno, ker x(1-x) je pozitivno med 0 in 1, zato je \(\int_0^1 x(1-x)p^2(x)dx\).

Ortonormirano bazo dobis lahko lepo s Gram-Schmidtovim postopkom. Lahko si pa prihranis nekaj dela: skalarni produkt je simetricen okrog 0.5, zato bodo lihi in sodi OKROG TE TOCKE avtomatsko ortogonalni. Se pravi lahko zacnes z
p_1=A
p_2=B(x-1/2)
p_3=C(x-1/2)^2+D

In imas samo se 4 konstante za dolocit - A in B dobis iz normalizacije, za tretji polinom ze ves, da bo ortogonalen na drugega, na prvega moras pa izracunat kdaj je ortogonalen in temu primerno postavit C in D.



b) Lahko nastavis q kot a*p_1+b*p_2+c*p_3 (neka linearna kombinacija baznih vektorjev). Podobno za p: recimo s konstantami a',b',c'. Potem to vstavis v
f(p)=<p,q>: ortonormiranost zagotovi, da bo na desni kar a*a'+b*b'+c*c'. Potem samo dolocis a,b,c, da bo za VSE MOZNE a',b',c' zveza veljala. Na levi bo pa treba integrirat.

c) Adjungirana preslikava pomeni, da velja <p,Aq>=<A*p,q>. Ce pogledas skalarni produkt, vidis da je simetricen okrog 0.5, se pravi zamenjava "x" v "1-x" zrcali okrog te tocke. Integral bo enak, ce obrnes okrog "p" ali pa "q" (zaradi simetrije), torej je A sebi adjungiran in velja A*=A.

[nejc0706]

Hvala, vse mi je jasno, samo gram-schmidta ne znam narediti (oz. vem kako se naredi, če imaš podane vektorje)... kako pa v tem primeru? lp

[Rokerda]

tvoji vektorji so 1, x, x^2, saj imaš množico vseh polinomov največ druge stopnje.

[nejc0706]

Aha...torej za prvi vektor ONB vzamemo kar 1? Drugega dobimo tako: w2=u2-(<u2,w1>/<w1,w1>)*w1 ? Če bi dalo komu zračunati samo tale w2 bi mu bil zelo hvaležen, ker ne vem če je pravilen rezultat w2=x-1/2 ... lp

[Aniviller]

Ja pri polinomih gres vedno lahko kar po vrsti od najnizje stopnje navzgor... tako je najlazje ker bodo potem stopnje polinomov po vrsti narascale.

Integralov pa ne grem racunat zdajle, naj jih Rokerda ce se mu ljubi.

Pri teh stvareh ti pameten nastavek za bazo vedno prihrani veliko racunanja. Pa seveda, ce w1 prej normiras, potem ostane samo
w2=u2-<u2,w1>*w1
Postopek je: ortogonalizacija, normalizacija, po vrsti za vse vektorje.

[Aniviller]

Ok takole gre...
\(p_1=\sqrt{6}\) (normirano)
\(w_2=u_2-\langle u_2,w_1\rangle w_1=\)\(x-6\int x(1-x) x{\,\rm d}x=x-6\frac{1}{12}=x-\frac{1}{2}\)
\(p_2=\frac{1}{\sqrt{\langle w_2,w_2\rangle}}w_2=\sqrt{120}(x-\tfrac{1}{2})\)

tretjega pa res ne bom racunal.

[nejc0706]

Hvala!

[Zenga]

Tudi sam bi imel eno vprašanje pri nalogi podobnega tipa, kot je ta tema:

V prostoru Lin{1, cos(t), sin(t)} je dan skalarni produkt \(<f,g> = \int^\pi_0 f(t)g(t)\,dt\)

Določi pravokotno projekcijo funkcije cos(t) na jedro prostora V = Lin {sin(t), 1 - cos(t)}.

Zanimalo bi me samo, kaj je jedro prostora V?

Že vnaprej hvala za pomoč!

[Aniviller]

Po moje ortogonalni komplement (tisto, kar se v vseh skalarnih produktih pokaze kot 0).

[Zenga]

uf....sem poizkusil, vendar bom moral poizkusiti znova...upam, da gre za kakšno računsko napako

sin(t) sem določil kot prvi bazni vektor, iz vektorja 1-cos(t) pa sem skonstruiral vektor, ki je pravokoten sin(t). Sem bil na pravi poti?

Uradna rešitev je \(\frac{\pi^2}{3\pi^2-16}(cos{t} +\frac{4}{\pi}sin{t} -1)\)

[Aniviller]

Bolj je misljeno, da od cos(t) odstejes projekcijo na prostor sin(t),1-cos(t).

[Zenga]

Aha aha - zdaj pa razumem! Hvala ti Aniviller!

[fmf]

Živjo..vprašanje imam glede naslednje naloge...

V prostoru \(\mathbb{R}^{3}\) so dane točke:
A(1,1,0),B(0,1,1),C(0,2, −1), D(2,1,1), E(1,1,1), F(3,6,2).
Naj bo A linearna preslikava \(\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) s pozitivno determinanto, ki preslika točko E v točko F in daljico AB na daljico CD. Kam preslikava A* (glede na običajni skalarni produkt v \(\mathbb{R}^{3}\)) preslika daljico AB?

Vem, da moram ločiti primera:

1.)\(A \rightarrow C\), \(B \rightarrow D\)
2.)\(A \rightarrow D\), \(B \rightarrow C\)

Ne vem pa, kako naj dobim bazne vektorje za matriko A....če bi lahko zapisal matriko A, bi bila verjetno determinanta merilo, ki bi izločilo enega od primerov, ki sem jih zapisal zgoraj.

[Aniviller]

Spet lahko kombiniras dve prehodni matriki. Lahko si predstavljas, da najprej slikas iz (A,B,E) v standardno bazo (ex,ey,ez), potem pa iz te baze v (F,C,D). Vsaka izmed prehodnih matrik je samo kupcek tock, zlozenih po stolpcih. Recimo, da je T=[A,B,E] in P=[F,C,D], potem je odgovor matrika \(A=PT^{-1}\). Obrata ne mores zamenjat s transponiranjem, ker matrike niso ortogonalne.