Pozdravljeni
Prav bi mi prišla ena kratka pomoč. Funkcijo \(A\delta (\theta-\zeta)\delta(r-R)\) bi rad razvil po lastnih funkcijah laplacovega operatorja v sverični geometriji.
Se pravi, bi verjetno rad izračunal koeficiente v razvoju \(A\delta (\theta-\zeta)\delta(r-R)=\sum_{l,m} C_{lm} r^lY_{lm}({\theta,\phi})\). Kaj pa je z \(r^{-l}\)?
Razvoj po krogelnih funkcijah
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
No, kot prvo se ti razcepi na radialni in kotni del (imas produkt) in kotni del je neodvisen od fi, torej je vedno m=0.
Vazni so robni pogoji: kaj imas v neskoncnosti in izhodiscu? Glede na to potem izberes r^l in r^-l. Ker imas delta funkcijo po vsej verjetnosti vsota razvoja ne bo konvergirala. Kadar imas delta funkcije se velikokrat zgodi da je boljse razcepit definicijsko obmocje na dva (zunaj in notri) in na robu zlepit.
Drugace koeficiente dobis z enostavno integracijo po definicijskem obmocju. Se pravi tvojo zadnjo enacbo mnozis z eno izmed baznih funckcij in integriras po \(r^2{\,\rm d}r{\,\rm d}\cos \theta\). Ker so ortogonalne, bo na desni ostal koeficient ki ga isces, na levi pa integral ki ga moras izracunat.
Vazni so robni pogoji: kaj imas v neskoncnosti in izhodiscu? Glede na to potem izberes r^l in r^-l. Ker imas delta funkcijo po vsej verjetnosti vsota razvoja ne bo konvergirala. Kadar imas delta funkcije se velikokrat zgodi da je boljse razcepit definicijsko obmocje na dva (zunaj in notri) in na robu zlepit.
Drugace koeficiente dobis z enostavno integracijo po definicijskem obmocju. Se pravi tvojo zadnjo enacbo mnozis z eno izmed baznih funckcij in integriras po \(r^2{\,\rm d}r{\,\rm d}\cos \theta\). Ker so ortogonalne, bo na desni ostal koeficient ki ga isces, na levi pa integral ki ga moras izracunat.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Rešujem Poissonovo enačbo
\(\Delta\phi=\frac{A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-R)}{\epsilon_0}\)
Se pravi naboj je enakomerno porazdeljen po obroču. Zanima me potencial na krogli \(r=d\), pri čemer je \(d<R\)
Tako da edini robni pogoj je pomoje \(\phi(r=\infty)=0\), se pravi pridejo samo \(r^{-l}\) v poštev
Torej imamo \(A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-R)=\sum_l C_l r^{-l}P_l(\cos{\theta})\).
\(C_l=A\iint \delta(\theta-\zeta)\delta(r-R) r^{-l}P_l(cos{\theta})2\pi r^2\sin{\theta}\textup{d}\theta\textup dr\)
Ali kako??
Ampak kako se ta integral izvrši ... mislim ... tu moram integrirat \(l\)-ti legendrov polinom ali kako?
\(\Delta\phi=\frac{A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-R)}{\epsilon_0}\)
Se pravi naboj je enakomerno porazdeljen po obroču. Zanima me potencial na krogli \(r=d\), pri čemer je \(d<R\)
Tako da edini robni pogoj je pomoje \(\phi(r=\infty)=0\), se pravi pridejo samo \(r^{-l}\) v poštev
Torej imamo \(A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-R)=\sum_l C_l r^{-l}P_l(\cos{\theta})\).
\(C_l=A\iint \delta(\theta-\zeta)\delta(r-R) r^{-l}P_l(cos{\theta})2\pi r^2\sin{\theta}\textup{d}\theta\textup dr\)
Ali kako??
Ampak kako se ta integral izvrši ... mislim ... tu moram integrirat \(l\)-ti legendrov polinom ali kako?
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Mislim da sta resitvi \(r^l\) in \(r^{-l-1}\) (pazi minus enka v eksponentu).
Ja integral cez delta funckijo je samo vstavljanje v funkcijo. Rezultat tega kar imas zapisano je
\(2\pi A P_l(\cos\zeta)\sin\zeta R^{1-l}\)
Tvoj problem je v temle: \(r^l\) narascajo v neskoncnosti ampak \(r^{-l-1}\) imajo pol v izhodiscu kar je se hujse. Singularne funckije imajo nekonvergenten razvoj. Ker imas delta funkcijo, vse kar je blizje od delta funkcije ne bo konvergiralo z \(r^{-l-1}\) in vse kar je dlje od delta funkcije ne bo konvergiralo z \(r^l\). Primer tega je dejstvo, da za kupcek tockastih nabojev razvoj velja samo asimptoticno (cleni r^(-l-1) ti po vrsti povedo, koliksen od dalec izgleda naboj, dipolni prispevek, kvadrupol,...), ne deluje pa kot razvoj.
V bistvu razvijas delta funkcijo po Taylorju (neskoncnen polinom) in to se ne konca dobro. Ze pri Fourierovi transformaciji vidis da pri razvoju delta funkcije cleni ne padajo. To sicer ne pomeni da ne mores zamizat na eno oko in racunat kot da je vse v redu (ko delis z k^2 ki pride od drugega odvoda, stvari postanejo bolj obvladljive).
Pri celi krogelni lupini je prijem tak, da znotraj krogle uporabis r^l in zunaj r^(-l-1) (multipolni razvoj je to). Potem uporabis zveznost in prilagodis clene. Tukaj lahko poskusis naredit isto.
Ja integral cez delta funckijo je samo vstavljanje v funkcijo. Rezultat tega kar imas zapisano je
\(2\pi A P_l(\cos\zeta)\sin\zeta R^{1-l}\)
Tvoj problem je v temle: \(r^l\) narascajo v neskoncnosti ampak \(r^{-l-1}\) imajo pol v izhodiscu kar je se hujse. Singularne funckije imajo nekonvergenten razvoj. Ker imas delta funkcijo, vse kar je blizje od delta funkcije ne bo konvergiralo z \(r^{-l-1}\) in vse kar je dlje od delta funkcije ne bo konvergiralo z \(r^l\). Primer tega je dejstvo, da za kupcek tockastih nabojev razvoj velja samo asimptoticno (cleni r^(-l-1) ti po vrsti povedo, koliksen od dalec izgleda naboj, dipolni prispevek, kvadrupol,...), ne deluje pa kot razvoj.
V bistvu razvijas delta funkcijo po Taylorju (neskoncnen polinom) in to se ne konca dobro. Ze pri Fourierovi transformaciji vidis da pri razvoju delta funkcije cleni ne padajo. To sicer ne pomeni da ne mores zamizat na eno oko in racunat kot da je vse v redu (ko delis z k^2 ki pride od drugega odvoda, stvari postanejo bolj obvladljive).
Pri celi krogelni lupini je prijem tak, da znotraj krogle uporabis r^l in zunaj r^(-l-1) (multipolni razvoj je to). Potem uporabis zveznost in prilagodis clene. Tukaj lahko poskusis naredit isto.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Aha... bom poskusil tako ... hvala za odgovor.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Cisto si me zavedel. Se opravicujem za napacne odgovore.
Razvoj v tem stilu z integralom dela za kotni del. Radialni del niso bazne funkcije po katerih bi razvijal (ce ne drugega niso normalizabilne in niso ortogonalne) ampak so pac neke resitve laplaceove enacbe, bazne funkcije so recimo tiste za vodikov atom ali kaj takega (utezene z eksponentno funkcijo ali cim podobnim). Ti iz razvoja po kotnem delu (po l) ze dobis vse kar rabis, radialni del je odvecna informacija ker ce hoces da velja Laplaceova enacba, je z robom enolicno doloceno kaj se dogaja od tam naprej.
Naboj ti bo povedal samo robni pogoj. Seveda je se vedno precej zoprn problem.
Btw, zakaj hoces razvit po krogelnih funkcijah? Uporabi obicajno integracijo Greenove funkcije 1/r po obrocu. Tocka na obrocu je
\(\vec{r}=R\cdot(\sin\zeta \cos t,\sin\zeta \sin t,\cos\zeta)\)
tvoja tocka je
\(\vec{r}_0=d\cdot(\sin\theta,\sin\theta,\cos\theta)\)
in potencial v tej tocki je enostavno
\(U=\frac{A}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}{\rm d}\vec{r}\)
kjer integral tece po zanki. Predfaktor moras malo pazit, odvisen je od predkonstante pri porazdelitvi in od lastnosti delta funkcije.
Razvoj v tem stilu z integralom dela za kotni del. Radialni del niso bazne funkcije po katerih bi razvijal (ce ne drugega niso normalizabilne in niso ortogonalne) ampak so pac neke resitve laplaceove enacbe, bazne funkcije so recimo tiste za vodikov atom ali kaj takega (utezene z eksponentno funkcijo ali cim podobnim). Ti iz razvoja po kotnem delu (po l) ze dobis vse kar rabis, radialni del je odvecna informacija ker ce hoces da velja Laplaceova enacba, je z robom enolicno doloceno kaj se dogaja od tam naprej.
Naboj ti bo povedal samo robni pogoj. Seveda je se vedno precej zoprn problem.
Btw, zakaj hoces razvit po krogelnih funkcijah? Uporabi obicajno integracijo Greenove funkcije 1/r po obrocu. Tocka na obrocu je
\(\vec{r}=R\cdot(\sin\zeta \cos t,\sin\zeta \sin t,\cos\zeta)\)
tvoja tocka je
\(\vec{r}_0=d\cdot(\sin\theta,\sin\theta,\cos\theta)\)
in potencial v tej tocki je enostavno
\(U=\frac{A}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}{\rm d}\vec{r}\)
kjer integral tece po zanki. Predfaktor moras malo pazit, odvisen je od predkonstante pri porazdelitvi in od lastnosti delta funkcije.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Aha.
Glede Greenove funkcije. Na krogli \(r=d\) imam robni pogoj \(\phi=0\), zato prostor ni neskončen in ne morem integrirati TE greenove funkcije (ki je za neskončen prostor).
Lahko pa rešim numerično, če ne bo šlo drugače.
Glede Greenove funkcije. Na krogli \(r=d\) imam robni pogoj \(\phi=0\), zato prostor ni neskončen in ne morem integrirati TE greenove funkcije (ki je za neskončen prostor).
Lahko pa rešim numerično, če ne bo šlo drugače.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Aja tako? Ja potem je pa trivialno. Ce je robni pogoj tak, potem razvijes povrsino krogle po krogelnih funkcijah, kar so ze koeficienti za celo funkcijo z r^l vred. Potem vzames r^l za notranjost in r^(-1-l) za zunanjost krogle. Razvoj po kroglenih funkcijah je pa tisti integral ki smo ga ze zapisali (samo brez "r" dela). In tukaj bi moralo vsaj priblizno izgledat kot da konvergira (tako kot pri Fourierju).
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Hmmm to meni še vedno ne izgleda trivialno. Se pravi. Imam Poissonovo enačbo
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right )+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)=A\>\delta(\theta-\zeta)\>\delta(r-d)\)
Rešujem v bistvu Poissonovo enačbo
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right )+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)=A\>\delta(\theta-\zeta)\>\)
na območjih \(R<r<d\) (potencial tam označim z \(\phi_-\)) in \(r>d\) (potencial označim z \(\phi_+\))
Robni pogoji:
\(\phi(r=R)=0\), \(\phi(r=\infty)=0\) in \(\phi_-(r=d)=\phi_+(r=d)\)
Desno stran razvijem:
\(\delta(\theta-\zeta)=\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{2}P_l(\cos\zeta) P_l(\cos\theta)\)
Na levi strani pa vstavim enkrat nastavek
\(\phi_-=\sum_{l=0}^\infty A_l (r^l+r^{-l-1})P_l(\cos\theta)\>\)
in drugič nastavek
\(\phi_+=\sum_{l=0}^\infty B_l\> r^{-l}P_l(\cos\theta)\)
Tako nimamo problemov v neskončnosti, niti ne v izhodišču saj je za \(\phi(r\leq R)=0\) in nastavek velja samo za \(R<r<d\)
Ok torej imam sedaj grdo stvar. Če vstavim nastavek v Poissonovo enačbo
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right )+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)=A\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{2}P_l(\cos\zeta) P_l(\cos\theta)\>\)
dobim nesmiselno enačbo za \(r\), saj na desni strani \(r\)-a sploh ni (zaradi česar se tudi enote ne izidejo) in pa grdo diferencialno enačbo 2. reda za l-ti Legendrov polinom?!?!?!
Nečesa jaz očitno niti približno ne razumem :/
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right )+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)=A\>\delta(\theta-\zeta)\>\delta(r-d)\)
Rešujem v bistvu Poissonovo enačbo
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right )+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)=A\>\delta(\theta-\zeta)\>\)
na območjih \(R<r<d\) (potencial tam označim z \(\phi_-\)) in \(r>d\) (potencial označim z \(\phi_+\))
Robni pogoji:
\(\phi(r=R)=0\), \(\phi(r=\infty)=0\) in \(\phi_-(r=d)=\phi_+(r=d)\)
Desno stran razvijem:
\(\delta(\theta-\zeta)=\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{2}P_l(\cos\zeta) P_l(\cos\theta)\)
Na levi strani pa vstavim enkrat nastavek
\(\phi_-=\sum_{l=0}^\infty A_l (r^l+r^{-l-1})P_l(\cos\theta)\>\)
in drugič nastavek
\(\phi_+=\sum_{l=0}^\infty B_l\> r^{-l}P_l(\cos\theta)\)
Tako nimamo problemov v neskončnosti, niti ne v izhodišču saj je za \(\phi(r\leq R)=0\) in nastavek velja samo za \(R<r<d\)
Ok torej imam sedaj grdo stvar. Če vstavim nastavek v Poissonovo enačbo
\(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left ( r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right )+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)=A\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{2}P_l(\cos\zeta) P_l(\cos\theta)\>\)
dobim nesmiselno enačbo za \(r\), saj na desni strani \(r\)-a sploh ni (zaradi česar se tudi enote ne izidejo) in pa grdo diferencialno enačbo 2. reda za l-ti Legendrov polinom?!?!?!
Nečesa jaz očitno niti približno ne razumem :/
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
aja ... za lažjo predstavo .... to je ozemljena krogla nad katero je nabit obroč
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Ja dolgo casa nisem dojel da ni obroc tocno na krogli (se opravicujem, povrsno berem), ni pa to bistveno. Ker obroc ni na krogli, ne razvijas njega ampak njegov oddaljeni potencial, kar je v bistvu se bolj stabilno ker ni singularnosti.
Uporabis kombinacijo Greenove funkcije in razvoja po krogelnih funkcijah. Na krogli je neka neznana inducirana porazdelitev naboja, ki skupaj z Greenovim potencialom obroca da konstanten potencial. Se pravi imas:
\(U(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty A_l r^{-l-1} P_l(\cos\theta)+\int_{\text{obroc}}\frac{K\,d\vec{r}_0}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}\)
(K=vse nesmiselne konstante). Potem vstavis r=d in dobis pogoj
\(U(d,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty A_l d^{-l-1} P_l(\cos\theta)+\int_{\text{obroc}}\frac{K\,d\vec{r}_0}{|\vec{r_d}-\vec{r}_0|}=0\)
In zdaj to pomnozis z P_l in integriras po sferi. Pa ne pozabi na Jakobijana. Pri dvojnem integralu ki pride lahko zamenjas vrstni red, ce bo kaj pomagalo.
To kar ti delas bi verjetno tudi moralo bit ok (lepljenje dveh resitev), samo ti pri phi_- manjkata razlicna nastavka za obe neodvisni potenci r. Pa ta nacin je seveda v rezimu sibke oz. vprasljive konvergence.
Uporabis kombinacijo Greenove funkcije in razvoja po krogelnih funkcijah. Na krogli je neka neznana inducirana porazdelitev naboja, ki skupaj z Greenovim potencialom obroca da konstanten potencial. Se pravi imas:
\(U(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty A_l r^{-l-1} P_l(\cos\theta)+\int_{\text{obroc}}\frac{K\,d\vec{r}_0}{|\vec{r}-\vec{r}_0|}\)
(K=vse nesmiselne konstante). Potem vstavis r=d in dobis pogoj
\(U(d,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty A_l d^{-l-1} P_l(\cos\theta)+\int_{\text{obroc}}\frac{K\,d\vec{r}_0}{|\vec{r_d}-\vec{r}_0|}=0\)
In zdaj to pomnozis z P_l in integriras po sferi. Pa ne pozabi na Jakobijana. Pri dvojnem integralu ki pride lahko zamenjas vrstni red, ce bo kaj pomagalo.
To kar ti delas bi verjetno tudi moralo bit ok (lepljenje dveh resitev), samo ti pri phi_- manjkata razlicna nastavka za obe neodvisni potenci r. Pa ta nacin je seveda v rezimu sibke oz. vprasljive konvergence.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Sorry ker tako na redko odgovarjam ... ampak ne uspem tako hitro vsega premislit
Vstavim \(d\) ali \(R\)?
\(R\) je polmer krogle. \(d\) pa oddaljenost oboda obroča od središča krogle (se pravi NAVIDEZNA - zunanja krogla, na kateri je obroč)
Ampak, kakorkoli ... Saj ne vem niti potenciala \(\phi\) niti \(A_l\) oz. porazdelitve influenciranega naboja, kar je v bistvu tisto kar v moji nalogi hočem izračunat. Na levi strani te enačbe imam potem integral potenciala ki ga ne vem?
Sem pa takole razmišljal:
Rešitev \(r^lY_l\) oziroma \(r^{-l-1}Y_l\) ne more biti rešitev moje Poissonove enačbe, ker je to rešitev Laplacove enačbe in bi potem iz \(\nabla^2\phi=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\) dobil s tem nastavkom enačbo \(0=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\)
Lahko pa bi vzel tale nastavek:
\(\phi=\sum_{l=0}^{\infty}[A_lj_l(kr)+B_ln_l(kr)]Y_l\),
kjer sta \(j\) in \(n\) sferični Besselova in Neumannova funkcija (neumannova deluje ker nimam izhodišča, oz je izhodišče v krogli, kjer je itak \(\phi=0\)).
To je rešitev Helmholzove enačbe \(\nabla^2\phi+k^2\phi=0\)
Tako bi v mojem primeru dobil
\(\nabla^2\phi=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\)
\(-k^2\phi=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\)
Ampak imam potem 2 problema:
1. iz robnega pogoja ne morem določiti \(k\), saj mi napoti hodita \(A_l\) in \(B_l\)
\(\phi(r=R)=0\)
\(A_lj_l(kR)+B_ln_l(kR)=0\)
2. ne vem kako bi razvil po sferičnih besselovih funkcijo \(\delta(r-d)\), ker ne vem če so te sploh ortogonalne + bom sploh lahko tako dobil \(A_l\) in \(B_l\)?? ... lažje bi bilo če bi bile samo besselove ... brez neumannovih....
\(-k^2\sum_{l=0}^{\infty}\int[A_lj_l(kr)+B_ln_l(kr)]r^2(.......)\textup{d}r=\)
\(=A\int\delta(r-d)r^2(........)\textup{d}r\int Y_l\delta(\theta-\zeta)\sin{\theta}\textup{d}\theta\)
Aja.... \(\phi\) pišem kot potencial ... namesto \(U\). saj se razumeva verjetno
Vstavim \(d\) ali \(R\)?
\(R\) je polmer krogle. \(d\) pa oddaljenost oboda obroča od središča krogle (se pravi NAVIDEZNA - zunanja krogla, na kateri je obroč)
Ampak, kakorkoli ... Saj ne vem niti potenciala \(\phi\) niti \(A_l\) oz. porazdelitve influenciranega naboja, kar je v bistvu tisto kar v moji nalogi hočem izračunat. Na levi strani te enačbe imam potem integral potenciala ki ga ne vem?
Sem pa takole razmišljal:
Rešitev \(r^lY_l\) oziroma \(r^{-l-1}Y_l\) ne more biti rešitev moje Poissonove enačbe, ker je to rešitev Laplacove enačbe in bi potem iz \(\nabla^2\phi=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\) dobil s tem nastavkom enačbo \(0=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\)
Lahko pa bi vzel tale nastavek:
\(\phi=\sum_{l=0}^{\infty}[A_lj_l(kr)+B_ln_l(kr)]Y_l\),
kjer sta \(j\) in \(n\) sferični Besselova in Neumannova funkcija (neumannova deluje ker nimam izhodišča, oz je izhodišče v krogli, kjer je itak \(\phi=0\)).
To je rešitev Helmholzove enačbe \(\nabla^2\phi+k^2\phi=0\)
Tako bi v mojem primeru dobil
\(\nabla^2\phi=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\)
\(-k^2\phi=A\delta(\theta-\zeta)\delta(r-d)\)
Ampak imam potem 2 problema:
1. iz robnega pogoja ne morem določiti \(k\), saj mi napoti hodita \(A_l\) in \(B_l\)
\(\phi(r=R)=0\)
\(A_lj_l(kR)+B_ln_l(kR)=0\)
2. ne vem kako bi razvil po sferičnih besselovih funkcijo \(\delta(r-d)\), ker ne vem če so te sploh ortogonalne + bom sploh lahko tako dobil \(A_l\) in \(B_l\)?? ... lažje bi bilo če bi bile samo besselove ... brez neumannovih....
\(-k^2\sum_{l=0}^{\infty}\int[A_lj_l(kr)+B_ln_l(kr)]r^2(.......)\textup{d}r=\)
\(=A\int\delta(r-d)r^2(........)\textup{d}r\int Y_l\delta(\theta-\zeta)\sin{\theta}\textup{d}\theta\)
Aja.... \(\phi\) pišem kot potencial ... namesto \(U\). saj se razumeva verjetno
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Moj končni cilj je izračunati porazdelitev influenciranega naboja ... zato poskušam sedaj izračunati potencial,ki ga povzroča obroč, da bom potem gostoto naboja dobil kot \(\sigma=-\epsilon_0(\partial\phi/\partial r)_{r=R}\). ne razumem zakaj bi želel v \(\phi\) mešati potencial ki ga povzroča influenciran naboj.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
Vstavis polmer krogle (kakorkoli je ze to zdaj oznaceno). Pogoj je da je potencial na krogli enak nic. Torej morajo krogelne funkcije tocno pokrajsat zunanji prispevek obroca (to sem zapisal). S tem takoj dobis koeficiente in iz cele stvari potem samo se preberes odvod na povrsini v radialni smeri, ki je kar enak povrsinski gostoti naboja.
Re: Razvoj po krogelnih funkcijah
ahaaaa ... mislim, da sedaj razumem. hvala