Notranjost in zaprtje

[delta]

Topologija je podana z bazo \(B=\{[a,b];a,b \in \mathbb{Q}, a<=b\}\)
a)\(A=[\sqrt{2},\infty)\) Določi IntA, ClA
b) Pokaži, da je top. prostor normalen
Kaj dobimo, če vzamemo unijo bazičnih \(\cup_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\) ali dobimo \([min\{a_1,a_2,...,a_n\},max\{b_1,b_2,...,b_n\}]\) ali \((u,v)\) pri čemer \(u,v \in \mathbb{R}\), bolj verjetna 1. možnost?
Ali moramo pri računanju a), b) najprej poiskati topologijo?
Kakšne oblike so v tej top. zaprte množice?
Upam, da lahko kdo pomaga

[Jurij]

tisto glede neskončne unije: dobiš odprt interval \((lim a_n, lim b_n)\), kjer sta krajišči seveda lahko realni števili.
Očitno je, da je ta topologija močnejša od evklidske, zato takoj sledi, da je naš prostor normalen in da je A zaprta. A pa ni odprta; pokažemo, da njen komplement ni zaprt: očitno obstaja strogo naraščajoče zaporedje, ki limitira proti \(\sqrt{2}\). očitno je vsak člen zaporedja v komplementu A, limita pa ne.

[delta]

Hvala. Je bolj jasno, ampak zakaj takoj sledi, da je A zaprta? Sedaj vemo, da IntA ni kar A sam, je potem \(IntA= (\sqrt{2},\infty)\)?

[Jurij]

\(A^c\) je odprta v evklidski top., ta top. pa je močnejšša, zato je odprta tudi v njej.
Sklep glede notranjosti je pravilen, saj je ta množica očitno odprta (enak sklep kot zgoraj), po drugi strani pa ima samo eno točko manj kot A, torej je res maksimalna odprta podmnožica A (kar je definicija notranjosti).

[delta]

Aha, zdaj razumem. Najlepša hvala za pomoč,lp

[delta]

Bolj teoretična vprašanja:
1. Imamo fjo \(f:[0,2\pi)->S^1\), \(f(t)=e^{it}\). Preslikava ni zaprta, ker je \([\pi,2\pi)\) zaprta podmnožica v \([0,2\pi)\)(zakaj??), njena slika pa ni zaprta v \(S^1\), ker ne vsebuje točke 1.(če bi imeli zaprt lok bi bila pa zaprta?)
2. Omenjeno pri 1-števnosti: Če ima množica malo odprtih množic potem ima več limit(zakaj?)
3. Vsak metrični prostor je 1-števen (kako vidimo, da ima vsaka točka števno bazo okolic?)

[Jurij]

1. \([0,2\pi)\) lahko gledaš kot podprostor v R, zato ima inducirano topologijo. Torej so v tem prostoru odprte natanko tiste množice, ki so presek odprtih v R in \([0,2\pi)\); analogno velja za zaprte množice. torej lahko \([\pi,2\pi)\) gledaš kot presek z zaprto množico \([\pi,42]\). Slika te množice je pa pol zaprt lok, ki ni zaprt v \(S^1\).
2. to je zelo neformalno rečeno. poanta je seicer v tem, da je \(a\) limita nekega zaporedja \(a_n\), če so v vsaki njeni okolici vsi členi od nekje naprej, torej je ne moremo ločiti od zaporedja. intuitivno je jasno, da manj odprtih množic imaš na voljo, manj verjetno se bo dalo kakšne točke ločevati od zaporedij.
3. kar vzameš krogle z radijem 1/n.

[delta]

Jasno, hvala.
3. je to vredu(je ŠTEVNA baza okolic), ker krogle pač lahko 'preštejemo' ali si razlagamo kako drugače

[delta]

Nekaj vprašanj:
1. Če imamo odprto pokritje je vredu, če imamo zaprto mora biti pa lokalno končno? zakaj ta razlika? v čem je problem pri zaprtih?
2. primer zakaj separabilnost ni dedna
3. komponente \(\mathbb{Q}\) so točke. To je primer prostora, katerega komponente so zaprte, niso pa odprte. zakaj niso odprte, kako bi bilo pa za komponente \(\mathbb{N}\)
4. kompaknost in normalnost sta dedni le, če je podmnožica zaprta.zakaj? primer?
Prosim za pomoč,lp

[Jurij]

1 & 4 - te stvari so razvidne iz dokazov:
1. pri izreku, da če je funkcija zvezna na elementih lokalno končnega pokritja, potem je zvezna na njihovi uniji.
4. kompaktnost pri dokazu, da je zaprta podmnožica kompakta kompakt; normalnost pa pri komentarjih (če gledaš po pavešićevi skripti) tik pred definicijo regularnosti.

3. komponente N so odprte in zaprte (če vzameš inducirano top.). odprte niso, ker so rac. št. gosta v R, torej jih je v vsakem intervalu okoli (racionalne) točke neskončno, zato presek rac. števil in odprtega intevrala ne more vsebovati le ene točke.

4. primer je Sorgenfreyeva ravnina, to je produkt dveh Sorgenfreyevih premic. Ta je separabilna (separabilnost je produktna lastnost), če pa pogledaš antidiagonalo (x,-x) kot podprostor, pa le ta podeduje diskretno top., torej ni separabilen (ker ima neštevno disj. odprtih množic).

[delta]

separabilnost: ne vem zakaj vzamemo za podprostor (x,-x) in zakaj ta podeduje diskretno top.??

[Jurij]

veš, na vprašanje Zakaj? je pri takih in podobnih zadevah težko odgovoriti; to se pač izkaže za znan protiprimer dednosti, da pa se to sam spomniš, je potrebno nekaj matematične intuicije.
V Sorgenfreyevi ravnini so bazične množice oblike [a,b)x[c,d), mal si nariši in poglej, kakšni so najmanjši možni preseki z antidiagonalo (x,-x): bazzične množice so pravokotniki, ki so na spodnji in levi stranici zaprti, torej tudi v kotu; pomisl, kaj se zgodi, če opazuješ bazične, ki imajo kot ravno na antidiagonali.

[delta]

Ja, zdaj vidim, cela antidiagonal je iz samih točk(torej diskretna topologija), se strinjam da je zelo očitno , hvala