Matematika (injektivnost,...)

[Rorschach]

Aha ok. To formulo sem razumel. Saj je samo razlika v zapisu ne?

Sem še nekajkrat preveril in mislim da je potem moja rešitev prava:
\(z_2=\sqrt[6]{2}(cos\frac{11\pi}{12}+isin\frac{11\pi}{12})\)
In ta ki smo jo dobili na vajah napačna.
\(z_2=\sqrt[6]{2}(cos\frac{5\pi}{12}+isin\frac{5\pi}{12})\)

(Zgoraj sem se zmotil. Enačba se začne tako \(z^3+1-i=0\))


Kako pa se lotiti take naloge?:
\((i \bar{z}+1)^4 = 1/2 (-1+i \sqrt(3))\)
Poiskati je treba vse rešitve kompleksne enačbe.

[Aniviller]

Ja zapisa sta ekvivalentna - eksponentna oblika je v bistvu prehod v polarni koordinatni sistem. V vecini primerov je eksponentni zapis lepsi (in tudi fizikalno bolj pomenski) in pretvoris na kotne funkcije le, ce je eksplicitno zahtevana kartezicna oblika - razcep na realni in imaginarni del (pri solskih primerih nalog).

Recimo stvari, ki so tukaj enostavno mnozenje, potenciranje in izpostavljanje, v kartezicni obliki zahtevajo uporabo adicijskih izrekov, formul za polovicne in dvojne kote,...

To drugo nalogo na enak nacin resis. Najprej izracunas cetrti koren desne strani. Potem obrnes ostale operacije:
\(iz^\ast+1=u\)
\(z^\ast=-i(u-1)\)
\(z=i(u^\ast-1)\) (kompleksna konjugacija zgornjega izraza).
u je pri tem eden izmed stirih moznih cetrtih korenov prvotne desne strani enacbe.

[Rorschach]

Ok to gre.


4. naloga

Rešil sem jo tako:

Limiti se morata v točki 0 ujemati. Torej:
\(\lim_{x \uparrow 0}cosx=cos0=1

\lim_{x \downarrow 0}a^2-x^2=a^2

a^2=1

a_{1,2}=\pm1\)

Mora bit prav. Samo ne vem kaj bi še lahko komentiral (glede na to da v navodilu piše "...obvezno komentiraj...") Kakšna ideja?
Zanima me še če bi lahko (enako kot prej) napisal \(\lim_{x \uparrow 0}cosx=cos0=1\), pri tem da velja \(x<0\) (strogo manjše)

[Aniviller]

Ja pametno je omeniti, da pri limiti z leve vedno velja x<0 in obratno. Tako da je upravicena uporaba enega ali drugega izraza. Podobno kot se spodobi pri absolutnih vrednostih povedati, zakaj smes izbrati dolocen predznak. Drugace je v redu izpeljava. Ta vprasanja kjer pise "komentiraj" bolj pomeni, da ne smes samo napisat uganjene resitve.

[Rorschach]

\((\pm{a})^2=1 /\sqrt

\sqrt{(\pm{a})^2}=\sqrt1

\pm{a}=1

a_{1,2}=\pm1\)

Za absolutne vrednosti ne vem kako bi drugače napisal. Razumem, ampak ne znam pojasnit.

[Aniviller]

Joj to pa res ni treba... to se tako naredi:
\(|x|=\begin{cases}x&x>0\\-x&x<0\end{cases}\)
In potem ko limitiras iz neke strani pac uporabis pravega izmed izrazov.

[Rorschach]

Malček sem se zmedu. Iz definicije absolutne vrednosti ki si jo napisal torej izvemo da je pri \((-a)^2-x^2\) limita enaka \(-1\) in pri \(a^2-x^2\) limita enaka \(1\)?

[Aniviller]

Aja to bi rad... ja ce nastopa notri a^2, potem je jasno, da sta oba predznaka mozna in dasta isti rezultat - tukaj ne rabis nobenega argumentiranja.
Izraza \(x^2=y\Rightarrow x=\pm\sqrt{y}\) res ni treba dokazovat.

Tisto z absolutno vrednostjo recimo rabis pri nalogi, ali je odvod funkcije \(|x|\sin x\) pri x=0 zvezen (ta naloga je tudi nekje na forumu).

[Rorschach]

Po formuli:
\(P=\frac{|\vec{AB}||\vec{AC}|sin\angle{(\vec{AB},\vec{AC})}}{2}\)
sem dobil:
\(P=\frac{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\sqrt{(c_1-a_1)^2+(c_2-a_2)^2}sin\angle{(\vec{AB},\vec{AC})}}{2}\)

Zanima me samo če bi se dalo še boljše izrazit ali je to to.

In glede TeX formul...Včasih mi formule noče napisat in javi napako. Posebno pri dolgih formulah. Je kje fora ali se moram samo izogibat daljših zapisov?

[Aniviller]

Ja daljsih formul ne smes, je neka omejitev. Ze zato ker ce bi dovolil poljubne formule, bi lahko s tem upocasnil forum (kaj ce da nekdo za cel a4 tex kode?). Bi pa vseeno lahko malo povecali omejitev, ker je motece.

To kar si tukaj napisal je zelo grdo. Imas sinuse kotov, ki jih ze tako ne mores iz komponent dobit, korene itd... Z vektorji pomeni ravno to, da ne gres dolzin in kotov izrazat ampak da izrazis v celoti z vektorji. Stvar je cisto enostavna: razsiris koordinatni sistem v 3d, da postane mogoc vektorski produkt, nato pa
\(P=\frac{1}{2}|(b-a)\times(c-a)|\)
Ker so vse koordinate v 2d, ima vektorski produkt samo z komponento, ki jo zlahka izpises iz definicije vektorskega produkta kot determinanto:
\(P=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}b_1-a_1&b_2-a_2\\c_1-a_1&c_2-a_2\end{vmatrix}=\frac12 ((b_1-a_1)(c_2-a_2)-(b_2-a_2)(c_1-a_1))\)

Nobenih korenov in sinusov.

[Rorschach]

Malo drugačna naloga s kompleksnimi števili:
\(z^4=8i\bar z\)

Reševal sem tako:
\(z^4=|z|^4\cdot e^{i(4\varphi)}\)
\(\bar z=|z|\cdot e^{-i(1\varphi)}\)
\(8i=8\cdot e^{i(\pi/2)}\)

\(\frac{|z|^4}{|z|}=8\cdot e^{i(\pi/2-1\varphi-4\varphi)}\)
\(|z|^3=8\cdot e^{i(\pi/2-1\varphi-4\varphi)}\)
ampak si s tem ne znam pomagat

[Aniviller]

Saj to je ze konec. Zdaj moras samo se ugotovit, da morajo biti absolutne vrednosti, kot tudi polarni koti, enaki na obeh straneh (podobno kot pri kartezicni obliki enacis realne dele skupaj in imaginarne dele skupaj).
absolutne vrednosti: \(|z|^3=8\)
koti: \(\pi/2-5\phi=0\)
Ceprav bi bilo mogoce pri nastavku smiselno dat \(z=|z|e^{{\rm i}(\phi+2k\pi)}\), prav tako za tisto osmico. Ker to potenciranje ponavadi povzroci, da je moznih vec resitev.

[Rorschach]

Torej pride:
\(z^4=|z|^4\cdot e^{i(4\varphi+2k\pi)}\)
\(\bar z=|z|\cdot e^{-i(1\varphi+2k\pi)}\)
\(8i=8\cdot e^{i(\pi/2+2k\pi)}\)

\(\frac{|z|^4}{|z|}=8\cdot e^{i(\pi/2+2k\pi-1\varphi-2k\pi-4\varphi-2k\pi)}\)
\(|z|^3=8\cdot e^{i(\pi/2-5\varphi-2k\pi)}\)
in enačim
\(\\|z|^3=8\\
in\\
\pi/2-5\varphi-2k\pi=0\\
\varphi=\frac{\pi/2-2k\pi}{5}\)
torej rešitev bi bila
\(z^3=8e^{i(\frac{\pi/2-2k\pi}{5})}\)
\(z_k=2\cdot e^{i(\frac{\pi/2-2k\pi}{3\cdot 5})}\)
Če preverim na Mathematici pride drugače (glej grafe)

Koda: Izberi vse

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z^4%3D8%28i%29%28z*%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*e^%28%28i%29%28%28%28pi%2F2%29-2*1*pi%29%2F15%29%29

Kaj je narobe?

Zdaj me zanima še zakaj lahko enačimo absolutne vrednosti in polarne kote?

[Aniviller]

Pazi:
\(z=|z|e^{i(\phi+2k\pi)}\)
\(z=|z|^4 e^{i(4\phi+ {\bf8}k\pi)}\)
\(8i=8 e^{i(\pi/2+2{\bf n}\pi)}\) (ni nujno isto stevilo period kot pri z-ju, ker gre za drugo stevilo)

\(|z|^3=8 e^{i(\pi/2+2n\pi-\phi-2k\pi-4\phi-8k\pi)}\)
|z|=2
\(0=\pi/2+2n\pi-10k\pi-5\phi\)
\(\phi=-2k\pi+\frac{2n}{5}\pi+\frac{\pi}{10}\)
Kaj se izkaze? Dodatek 2kpi pri z ni bil potreben, ker v koncnem izrazu ravno tako nastopa samo kot 2pi periodicnost (ne pridela novih resitev). Po drugi strani pa periodicnost osmice pridela dodaten faktor, zaradi cesar dobis pet razlicnih resitev (preden se spet zacne ponavljat).
V splosnem velja, da za spremeljivko, ki jo ISCES, nima smisla uvajati periodicnega nastavka, ker 2kpi potuje skozi zraven phi in ga lahko kar stejes zraven (nikoli se ne bo z nicemer delilo, da bi dodalo kaksne dodatne resitve). Periode moras upostevati pri ostalih nastopajocih stevilih.

(seveda pri deljenju z |z| predpostavis da |z| ni nic. Ce je, dobis preostalo resitev).


Glede enacenja absolutnih vrednosti in polarnih kotov - lahko razlozimo na razlicne nacine. Eden je, da se zaves da je sprememba stevila zaradi rotacije vedno pravokotna na spremembo zaradi povecanja absolutne vrednosti (radialni "zarki" so pravokotni na koncentricne kroznice - sprememba absolutne vrednosti ohranja kot in obratno). Zato sta to dve NEODVISNI prostostni stopnji. Lahko si tudi predstavljas, da na celo enacbo delujes z absolutno vrednostjo.

Vse naenkrat pa se razjasni, ce enacbo logaritmiras:
\(|z|e^{i\phi}=|w|e^{i\alpha}\)
\(i\phi+\ln|z|=i\alpha+\ln|w|\quad(+2ik\pi)\)
Zdaj smo dobili kartezicen zapis, pri katerem lahko enacimo realne dele posebej in imaginarne posebej.

[Rorschach]

Kakšna je splošna rešitev \(z_k\)?

\(z^3=8e^{i(\frac{4n\pi+\pi}{10})}\)
\(z_k=2e^{i(\frac{4n\pi+\pi}{3\cdot 10})}\)
Še vedno ni prav.