Nisem najboljsi v teoriji stevil ampak bom poskusil - marsikateri nacin verjetno ni najboljsi, ker nepopolno znanje krpam z improvizacijo...
1. No to je ocitno. Eulerjeva funkcija vsak clen p^k spremeni v p^{k-1}(p-1), pri cemer mora biti k>0. In ce je n deljiv z 2 enkrat ali veckrat, pises
\(n= 2^k q\)
je
\(\phi(n)=2^{k-1} q\)
\(\phi(2n)=2^{k} q\)
To zadosti podani enacbi, ampak samo pri k>0. Sicer pa ne deluje.
2.
Veljat mora
x=m^2-n^2=(m-n)(m+n)
p-1=2mn
p=m^2+n^2
Ce hoces p=12k+1, se srednja enacba zreducira na
mn=6k
Po drugi strani ti prva enacba pove, da m in n ne smeta imeti istega ostanka pri deljenju s 3, in ne smeta imeti razlicnih nenicelnih ostankov pri deljenju s 3. Torej mora biti eno izmed njiju deljivo s 3, drugo pa NE SME bit. Po drugi strani ti zadnja zveza po fermatovem teoremu pove, da mora biti celo p=1 mod 4, kar je strozji pogoj. Poskusi nadaljevat iz teh namigov.
3.
Hm?
4. Ulomek je nedokoncan neskoncni verizni ulomek zlatega reza, iz cesar ves, da sta m in n zaporedni Fibonaccijevi stevili (in po stevilu ulomkovih crt tudi ves kateri). Za Fibonaccijeva stevila imas kup identitet - lahko izkoristis vse mogoce, od rekurzij, do direktne eksponentne formule.
5,6.... za diofantske enacbe naj pa kdo drug poskrbi
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)