Matematika

[andreja995]

Zanima me, kako naj iz grafa kotne funkcije sinus razberem premik ''v levo oz. desno''

[andreja995]

Ali mi lahko kdo prosim napiše postopek reševanja te enačbe, saj je sama ne rešim pravilno: 3sinx+4cosx=5, rešitev je 2arctan1/3 + 2kpi

[Slončica]

Kako naj vem, kdaj lahko neko enačbo/izraz krajšam.

Npr: če imam 3t[*2]+2t=t

Kdaj lahko krajšam ''t'' in kdaj ga moram izpostaviti?

[Aniviller]

Dan je krožni odsek : \(K={(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2},x\geq \frac{R}{2}}\), kjer je R seveda pozitivno realno število. Izračunaj volumen in površino telesa, ki ga dobimo, če dani krožni odsek zavrtimo okoli x=R/2.

Če se ne motim je to odrezan del krožnice pri x=R/2, in tisto desno polovico zavrtimo okoli te osi. (sej bi narisal pa ne vem kako počnete vi to... )
Če integriramo po X osi, lahko telo razdelimo na dve polovici, torej, je njegov volumen enak:

\(V=2\pi\int_{\frac{R}{2}}^{R}(R^{2}-x^{2})dx\)
Kar bi mogl bit \(V=2\pi(R^{2}x-\frac{x^{3}}{3})\) v ustreznih mejah oz. \(V=\frac{5}{12}\pi R^{3}\)

No za površino nisem tako prepričan... Tudi tukaj sem se odloču integrirat po polovičkah ampak me skrbi, da sem dvakrat štel pri R/2... Skratka:

\(P=4\pi\int_{\frac{R}{2}}^{R}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\)
\(P=4\pi\int_{\frac{R}{2}}^{R}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}dx\)

Kar bi mogl bit \(P=2\pi R^{2}\)

Je kaj od tega pravilno?

Uf. Ce vrtis okrog x=R/2, je to rotacija okrog navpicne osi. Integrirat moras torej po y. Mogoce bo lazje, ce prestavis funckijo za R/2 v levo, ker lahko potem lazje uporabis znane formule.

[Aniviller]

Zanima me, kako naj iz grafa kotne funkcije sinus razberem premik ''v levo oz. desno''

Poisci pri katerem x ima niclo, ki bi pri navadnem sinusu bila pri x=0. To je kar premik. Seveda je premik nedolocen do poljubnega pristevanja 2*pi zaradi periodicnosti.

Ali mi lahko kdo prosim napiše postopek reševanja te enačbe, saj je sama ne rešim pravilno: 3sinx+4cosx=5, rešitev je 2arctan1/3 + 2kpi

Polovicni koti.
\(6\sin x/2 \cos x/2+4\cos^2 x-4\sin^2 x=5\)
Zdaj delis s kvadratom kosinusa in uporabis zvezo med 1/cos^2=1+tan^2. Ostane kvadratna enacba za tangens, ki pa je kar popoln kvadrat (in ima zato le eno dvojno resitev).

Kako naj vem, kdaj lahko neko enačbo/izraz krajšam.

Npr: če imam 3t[*2]+2t=t

Kdaj lahko krajšam ''t'' in kdaj ga moram izpostaviti?

Izpostavis ga lahko vedno, ali pa zatem pokrajsas ali ne je pa odvisno. Ce resujes enacbo, in je t neznanka, potem moras vedno pomislit na dva primera: ce je t=0, bo enacba itak izpolnjena. Ce t ni nic, lahko pokrajsas in dobis enacbo za preostale resitve.

[skrat]

Ja pa v čem bi bil problem če integriram po x osi? Lik je namreč simetričen glede na x in glede na y. Namreč, sprašujem zato ker se za integracijo po Y osi integral precej zakomplicira in tudi meje niso več povsem samoumevne.

[Aniviller]

Ja, simetricen je, lahko se pretvarjas, da rezes krog pri y=R/2 in premaknes za R/2 navzdol in vrtis okrog x osi. Ampak tudi v tem primeru so meje integrala napacne. Odsek namrec ne gre od -R do R ampak med \(\pm R\frac{\sqrt{3}}{2}\). Narisi si, pa bo jasno za kaj se gre.

[pikm5]

Pozdravljeni!

Vaš forum mi je bil že velikokrat v pomoč pri študiju, vendar sem bil do danes le gost. Ker pa imam probleme pri odgovarjanju na vprašanja za ustni izpit iz matematike, sem se odločil da se registriram in prosim za pomoč.

Pisni izpit sem opravil, vendar že lansko leto, od takrat pa mi je že marsikaj ušlo iz glave, tako da nisem uspel odgovoriti na vsa moja vprašanja. In sicer me zanima, če mi lahko pomagate pri naslednjih vprašanjih na katera s pomočjo neta in knjig nisem našel odgovora.

1) Kako s pomočjo Taylorjeve formule izračunamo število e^pi.i in 2^i
2)Zapiši sistem dveh linearnih diferencialnih enačb za dvojico x(t), y(t), kako tak sistem rešimo?
3) Kako dobimo ustrezne podatke za zapis enačbe ravnine a) če so znani rije odseki, ki jih odreže ravnina na koordinatnih oseh b) če sta znani dve vzporedni premici, ki ležita na njej?

Če mi je kdo pripravljen pomagati...

lp

[Aniviller]

Dobrodosel! Si pa prisel s takimi cudno zastavljenimi nalogami, da res ni ravno ocitno kaj je misljeno
1) Hm.. e^pi? Ali e^(pi*i) v kompleksnem smislu? To drugo itak ves, da pride -1. Ce mislis na razvoj po Taylorju, potem imas
\(e^{\pi i}=1+\pi i + (\pi i)^2/2+(\pi i)^3/3!+\cdots\)
kjer uporabis periodicnost potenc i-ja:
\(=1+i\pi -\pi^2/2-i\pi^3/3!+\pi^4/4!+i\pi^5/5!-\cdots\)
Zdaj prepoznas Eulerjevo formulo (cleni brez i-ja so razvoj kosinusa, cleni z i-jem so razvoj sinusa)
\(=\cos \pi + i\sin \pi=-1\)
Pri drugem je podobno, saj dvojko enostavno spremenis v e^ln 2.

2) Zelo abstraktno... ce so s konstantnimi koeficienti, potem lahko zapises v matricnem zapisu,
\(\dot\vec{r}(t)=A\vec{r}(t)+\vec{b(t)}\)
kjer je r=(x,y) in A neka matrika, b nehomogeni clen (ce ga rabis). Ce se A da razcepit na lastne vrednosti in lastne vektorje, potem preides v lastni sistem in dobis dve neodvisni diferencialni enacbi. Ce je A nediagonalizabilna, potem je bolj komplicirano in imas opravka s korenskimi vektorji.

3) To je enostavno segmentna oblika enacbe ravnine, \(\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}+\frac{z}{z_0}=1\) (isto kot za premico, samo ena dimenzija vec). Ce sta znani dve vzporedni premici? Recimo, da imata smerni vektor s, in na njiju izberes tocki r1 in r2. Razliko r2-r1 lahko uporabis kot linearno neodvisen vektor v ravnini in zapises normalo kot vektorski produkt: \(\vec{n}=\vec{s}\times(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\). Lahko jo normiras, ni pa nujno. Enacba ravnine je potem
\((\vec{r}-\vec{r}_1)\cdot\vec{n}=0\)
ozrioma tist r1 je lahko katerakoli tocka na katerikoli premici (saj so vse te tocke v ravnini).

[pikm5]

Najlepša ti hvala za hiter odgovor Mi je v veliko pomoč!
Se opravičujem, če so bila vprašanja čudno napisana, direkno sem jih prepisal iz bolj kompleksnejših vprašanj.

[pikm5]

Danes sem dobil še en list z vprašanji in začuda mi kar nekaj vprašanj povzroča glavobole Mi je kar malo nerodno da obavljam toliko vprašanj......
In sicer:

1) Kam se preslika vektor x=(4,2), če ga zavrtimo za 30°C v obratni smeri urnega kazarca.
2)Danih je m nehomogenih linearnih enačb z n neznankami. Opiši vse situacije, ki se lahko zgodijo glede rešljivosti sistema in kako bogata množica rešitev lahko vsekakor nastopi. kateri važen pojem pri tem nastopa in kako ga prktično določimo.
Na prvi del sem sicer odgovoril in sicer da obstjojo 3 možnosti: ima rešitev, je enolično rešljiv ali ima neskončno rešitev.
3)Kako pri rešljivem sistemu linearnih enačb z dano matriko A dobimo n-terico kot približek za rešitev po metodi najmanjših kvaddratov.
4)Ali ima parametrično dana krivulja x(t)=t*e^t in y(t)=t*e^(-t), kje je največja vredost, utemelji.
5)Kako ugotovimo, če ima eka funkcija f(x) ekstrem v točki xo, v katerih je prvih n odvodov enakih 0, odvod reda n+1 pa je v tej točki od nič različen.
6)V katero skupino diferencialnih enačb spada problem prevajanja toplote, kjer iščemo T(t) pri danih To, T1 in k iz zveze: dT(t)/dt=-k(T(t)-T1) T(0)=To in kako poiščemo rešitvev.
7)Če poznamo rešitev homogene linearne diferencialne enačbe 2. reda s splošnimi ( nekonstantnimi ) koeficienti, kako poiščemo v splošnem še partikularno rešitev ustrezne nehomogene enačbe.
kako izgledajo pogoji za simbiotični proces količinx(t), y(t) in kako ta problem rešimo
9)kako je v prostoru n-teric R^n definerano seštevanje in množenje s skalarjem. kako je v prostoru definerano skalarno množenje dveh elementov norma elementa.
10)Zapiši primer dveh neničelnih elementov iz R^4, ki sta pravokotna.
11)Katerim pogojem mora zadoščati matrika reda nxn, da je ortogonalna. Našel sem da mora veljati A*(A^T)=(A^T)*A=I, je morda še kakšen pogoj?
12) Kako pri dani tabeli podatkov (x1,y1),(x2,y2),.....(xn,yn) dobimo enačbo premice, ki se po metodi najmanjših kvadratov najbolje prilega podatkom (izravnava podatkov)

Če se komu da odgovoriti vsaj na kakšno vprašanje mu bom zelo zelo hvaležen.

lp

[Aniviller]

Skoraj sama teorija...

1)
Kot prvo, stopinje celzija ne merijo kotov
Sicer pa ga pomnozi z rotacijsko matriko
[cos, -sin]
[sin, cos]
2) Vazen je rang matrike in rang razsirjene matrike. Tukaj si malo poglej teorijo. Imas tri moznosti: predolocen sistem (ni resitve), resljiv sistem (ena resitev) in poddolocen sistem (prosti parametri)
3) Mnozis sistem z A^T z leve in resis dobljeni sistem, ki je normalno resljiv.
4) Najvecja vrednost cesa? Nekaj manjka v vprasanju.
5) Pogledas lihost ali sodost n-ja. Ce je prvi nenicelni odvod sod, potem imas ekstrem, sicer imas pa sedlo.
6) Nehomogena linearna diferencialna enacba prvega reda s konstantnimi koeficienti. Resis homogeni del (to vsak ve na pamet sredi noci), in ce je T1 tudi konstanta, je vse skupaj samo premaknjeno za T1 (zamenjava spremenljivke u=T-T1 naredi enacbo homogeno).
7) Variacija konstant je ena moznost.
8 ) Tega izraza ne poznam...
9) Joj pa saj to pa menda ves... vektorji se sestevajo po komponentah, mnozenje s skalarjem pa mnozi vse komponente. Skalarni produkt tudi poznas...
10) Recimo (1,0,0,0) in (0,1,0,0)
11) To je ok.
12) Ja zapisi pogoj v obliki matrike:
a+b*x1=y1
a+b*x2=y2...

kar ti da na levi matriko Nx2, kjer so v prvem stolpcu enke, v drugem pa x podatki. Na desni je vektor vseh vrednosti y. Potem to resis na obicajen nacin: mnozis s transponirano verzijo matrike in resis 2x2 sistem.

[pikm5]

HVALA za odgovore
Pri četrtem vprašanju pa je mišljen maksimum funkcije.
še enkrat hvala in lp

[Aniviller]

Ja saj ravno to je problem. Imas parametricno podano krivuljo. Tukaj ni ene prednostne spremenljivke, recimo y(x) ali kaj takega. Lahko dosezes lokalni ekstrem po x, ali pa po y (odvisno ali je x'(t)=0 ali y'(t)=0). Ce sta oba odvoda nic, je pa tam krivulja singularna - ima lahko kaksen zlom ali podobno cudno obnasanje.

[pikm5]

Na vajah nismo nikoli delali s parametricno podanimi krivuljami, pojavljajo se le pri teoriji zato ne jih ne razumem kaj distinct... mi lahko poves se kaj je v primeru ce je x'(t)=0 in kaj ce y'(t)=0.
Zanima pa me se mnenje slednje povezave www.fpp.edu/~milanb/tpmeh/ummp/de/dif05.pdf in sicer pri Eulorjevi enacbi. Je ta razlaga vredu? Ker se po spletu pojavla veliko drugacnih...