Ali kdo ve če je to pravilno rešeno in kako naprej?
Hvala in lp
Taylorjeva vrsta
Re: Taylorjeva vrsta
- Priponke
-
taylorjeva vrsta.pdf- (19.8 KiB) Prenešeno 209 krat
Re: Taylorjeva vrsta
Ni prav, par neumnih napak imas. Recimo pri prvem odvodu ti je izginil minus. Pri drugem odvodu je po izpostavljanju v stevcu izpuscen en x v drugem clenu: namesto -4x mora bit v oklepaju -4x^2, kar vodi do \(f''(x)=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\). Pri tretjem odvodu bo slo zato seveda nekoliko drugace, se mora pa spet dat izpostavit (1+x^2)^2 - sklepas lahko namrec, da bo potenca v imenovalcu narascala za 1 pri vsakem odvajanju, kar je tudi ocitno: ko bos odvajal (1+x^2)^3 bos dobil 3*(1+x^2)^2*2x, zato bo sigurno mozno izpostavit (1+x^2)^2. V bistvu ni nic posebnega kar se tice matematike, samo vedno daljse izraze dobis, ki jih moras potem zmnozit v polinome in pametno izpostavljat.
Lahko se tudi tukajle igras, ti tudi graficno prikaze kaj tocno dela Taylorjeva vrsta, pa se rezultat lahko preveris:
Sintaksa je
Series[ funkcija, {ime spremenljivke, zacetna tocka, stevilo clenov } ]
Lahko se tudi tukajle igras, ti tudi graficno prikaze kaj tocno dela Taylorjeva vrsta, pa se rezultat lahko preveris:
Koda: Izberi vse
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Series[1%2F%281%2Bx^2%29%2C{x%2C1%2C8}]Series[ funkcija, {ime spremenljivke, zacetna tocka, stevilo clenov } ]
Re: Taylorjeva vrsta
Ja prov teh par neumnih napak me stane par točk - kriza morš bit prov pozoren pri odvodih. Mam par novih nalogo pa če mogoče kej veš oz. lahko podaš kake rešitve bom hvaležen. LP
- Priponke
-
- dn.pdf
- (16.03 KiB) Prenešeno 171 krat
Re: Taylorjeva vrsta
No, to se resi z vajo - ni samo to, da scasoma delas manj napak, bolj pomaga, ko dobis obcutek za to kako priblizno mora bit in odkrijes napake dovolj zgodaj.
1. Cim imas racionalno funkcijo z visokim cudnim polinomom v imenovalcu, je edino upanje, da razbijes na parcialne ulomke. V tem primeru se razbije na (2x^2-3x+1)=(2x-1)(x-1), celoten ulomek pa na
\(\frac{5}{2x-1}-\frac{2}{x-1}\)
To pa ni problem integrirat, vsak kos se integrira v nek logaritem.
2. Kotnih funkcij, se posebej v ulomkih, se hoces znebit. Pri ulomkih je najbolj idealna situacija, ko imas v stevcu ze odvod imenovalca, ali vsaj odvod nove spremenljivke. Tocno to se zgodi v tem primeru: u=1-cos(x), du=sin(x)dx in si resen.
Pri kotnih funkcijah vedno bodi pozoren na to, ce imas (ali ce se da pretvorit) v situacijo, ko imas vse s kosinusom in en sinus v stevcu (ali obratno seveda). V teh primerih je u=cos(x) enostavno uporabit. Ce imas same kosinuse ali same sinuse, je bolj zoprno, ker ti odvod pri zamenjavi spremenljivke nagaja.
3. NAJPREJ narisi sliko. Potem postane ocitno kaj moras naredit. sqrt(x) zacne pri (0,0) in lepo narasca naprej. Premica seka x os pri x=5. Manjka ti se presecisce obeh funkcij, da ves kje moras obmocje prerezat: potem na levi integriras koren, na drugi pa niti ni treba integrirat, ker je navaden trikotnik in ves kaksno ploscino ima.
4. Hja... najbrz mislijo vrtenino (vrtenina cele elipse je elipsoid, vrtenina samo od -3 do 3 bo pa jajce odrezano no obeh straneh, torej sod). Potem izrazis y(x) - nek koren bo, in uporabis znane formule za volumen in povrsino vrtenine.
1. Cim imas racionalno funkcijo z visokim cudnim polinomom v imenovalcu, je edino upanje, da razbijes na parcialne ulomke. V tem primeru se razbije na (2x^2-3x+1)=(2x-1)(x-1), celoten ulomek pa na
\(\frac{5}{2x-1}-\frac{2}{x-1}\)
To pa ni problem integrirat, vsak kos se integrira v nek logaritem.
2. Kotnih funkcij, se posebej v ulomkih, se hoces znebit. Pri ulomkih je najbolj idealna situacija, ko imas v stevcu ze odvod imenovalca, ali vsaj odvod nove spremenljivke. Tocno to se zgodi v tem primeru: u=1-cos(x), du=sin(x)dx in si resen.
Pri kotnih funkcijah vedno bodi pozoren na to, ce imas (ali ce se da pretvorit) v situacijo, ko imas vse s kosinusom in en sinus v stevcu (ali obratno seveda). V teh primerih je u=cos(x) enostavno uporabit. Ce imas same kosinuse ali same sinuse, je bolj zoprno, ker ti odvod pri zamenjavi spremenljivke nagaja.
3. NAJPREJ narisi sliko. Potem postane ocitno kaj moras naredit. sqrt(x) zacne pri (0,0) in lepo narasca naprej. Premica seka x os pri x=5. Manjka ti se presecisce obeh funkcij, da ves kje moras obmocje prerezat: potem na levi integriras koren, na drugi pa niti ni treba integrirat, ker je navaden trikotnik in ves kaksno ploscino ima.
4. Hja... najbrz mislijo vrtenino (vrtenina cele elipse je elipsoid, vrtenina samo od -3 do 3 bo pa jajce odrezano no obeh straneh, torej sod). Potem izrazis y(x) - nek koren bo, in uporabis znane formule za volumen in povrsino vrtenine.
Re: Taylorjeva vrsta
Za funkcijo vec spremenljivk smo zapisali Taylorjev izrek: \(f(a+h) = T_n(f,a,x) + R_n(f,a,x)\).
Ob teh predpostavkah je \(R_n(f,a,x) = O(|h|^{N+1}) = o(|h|^n); h \rightarrow 0\).
Kaj sploh pomenita O in o?
Ob teh predpostavkah je \(R_n(f,a,x) = O(|h|^{N+1}) = o(|h|^n); h \rightarrow 0\).
Kaj sploh pomenita O in o?
Re: Taylorjeva vrsta
http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation
Oboje govori o grobem obnasanju funkcije (ponavadi, ko gres v 0 ali neskoncnost). o(h^n) lahko beres kot "ostanek pada kot funkcija h^n" oziroma "porabili smo vse nizje potence, v ostanku so samo potence visje ali enake n".
Potem imas pa vec variant - ali funkciji ocenjujes zgornjo ali spodnjo mejo - veliki in mali o.
Veliki O vidis tudi v teoriji algoritmov - recimo izjava "tale program za sortiranje je reda O(n^2)" pomeni, da, ce je n dovolj velik, cas izvajanja narasca s kvadratom stevila elementov v seznamu (pri cemer navedemo le clen, ki narasca najhitreje, ker ta zasenci vse ostale, ko gre n v neskoncnost).
Oboje govori o grobem obnasanju funkcije (ponavadi, ko gres v 0 ali neskoncnost). o(h^n) lahko beres kot "ostanek pada kot funkcija h^n" oziroma "porabili smo vse nizje potence, v ostanku so samo potence visje ali enake n".
Potem imas pa vec variant - ali funkciji ocenjujes zgornjo ali spodnjo mejo - veliki in mali o.
Veliki O vidis tudi v teoriji algoritmov - recimo izjava "tale program za sortiranje je reda O(n^2)" pomeni, da, ce je n dovolj velik, cas izvajanja narasca s kvadratom stevila elementov v seznamu (pri cemer navedemo le clen, ki narasca najhitreje, ker ta zasenci vse ostale, ko gre n v neskoncnost).
Re: Taylorjeva vrsta
Aha. Sam sedaj pa mi nekaj drugega ni jasno: zakaj mora veljati da je \(F = O(|h|^M), m >0, h \rightarrow 0\), ce je \(\lim_{h\to\{0}}\frac{F(h)}{|h|^M } = 0\).
Zakaj je potrebno sploh deliti z \(|h|\).
In ce grem od tu se naprej...ni mi jasno, kako so pri dokazovanju formule za iskanje lokalnih ekstremov pri funkcijah z vec spremenljivkami preko uporabe drugega parcialnega odvoda prisli do tega, da je o(|h|)= o(1):
\(f(a+h, b+k) - f(a,b) = \frac{h^2}{2}(A +2B\frac{k}{h} +C(\frac{k}{h})^2) + o(|h^2 + k^2|)\).
Kako so potem prisli do tega, da je potem \(o(|h^2 + k^2|) = o(1)\)? Ali gre morda za kaksno napakico?
Zakaj je potrebno sploh deliti z \(|h|\).
In ce grem od tu se naprej...ni mi jasno, kako so pri dokazovanju formule za iskanje lokalnih ekstremov pri funkcijah z vec spremenljivkami preko uporabe drugega parcialnega odvoda prisli do tega, da je o(|h|)= o(1):
\(f(a+h, b+k) - f(a,b) = \frac{h^2}{2}(A +2B\frac{k}{h} +C(\frac{k}{h})^2) + o(|h^2 + k^2|)\).
Kako so potem prisli do tega, da je potem \(o(|h^2 + k^2|) = o(1)\)? Ali gre morda za kaksno napakico?
Re: Taylorjeva vrsta
To je ravno definicija O-ja! To pomeni, da ko gres s h proti 0, F pada hitreje kot h^M, zato gre kvocient proti 0. Torej, kolikokrat smes delit s h, preden premagas teznjo proti 0. S tem si povedal, glavno obnasanje funkcije F(h).
Re: Taylorjeva vrsta
Živjo, a mogoče zna kdo rešit naloge v priponki? Hvala vnaprej.
- Priponke
-
- 3DN 13.pdf
- (281.13 KiB) Prenešeno 158 krat
Re: Taylorjeva vrsta
No ja, povej, kje ti ne gre, pa bomo pomagali. Par namigov:
1. Kje je pod korenom negativno? Kaksne vrste krivulje opisuje x^2+4y^2-4=konstanta? To te hitro pripelje do cilja.
2. Vse, kar rabis, je \((1+x)^n\approx 1+nx\) in \(\ln(1+x)\approx x\). Najprej razresi notranjost, potem pa se logaritem.
3. No tukaj bos odvajal kot norec - trening odvajanja prav pride. Ni druge
4. Tukaj spet. Odvod po x, odvod po y, oba enaci z 0, in dobis dve polinomski enacbi za x in y (eksponentna funkcija ni nikoli nic, jo lahko pokrajsas), od koder poskusaj dobit nicle.
5. Sledi postopku in povej kje gre narobe.
1. Kje je pod korenom negativno? Kaksne vrste krivulje opisuje x^2+4y^2-4=konstanta? To te hitro pripelje do cilja.
2. Vse, kar rabis, je \((1+x)^n\approx 1+nx\) in \(\ln(1+x)\approx x\). Najprej razresi notranjost, potem pa se logaritem.
3. No tukaj bos odvajal kot norec - trening odvajanja prav pride. Ni druge
4. Tukaj spet. Odvod po x, odvod po y, oba enaci z 0, in dobis dve polinomski enacbi za x in y (eksponentna funkcija ni nikoli nic, jo lahko pokrajsas), od koder poskusaj dobit nicle.
5. Sledi postopku in povej kje gre narobe.
Re: Taylorjeva vrsta
Sem uspel nekaj rešit upoštevajoč navodila, pa prosim za pregled, če je možno ali mi je uspelo rešit pravilno;)Hvala.
- Priponke
-
- DN 3 JM.pdf
- (292.96 KiB) Prenešeno 170 krat
Re: Taylorjeva vrsta
3.
zxx je narobe (pozabil si posredno odvajat, v prvem clenu, 3x^2 je ze od prej, potem pride pa se en isti clen zaradi odvajanja tistega oklepaja). Enako pri zyy. Sicer lahko preveris z Wolfram Alpha:
http://www.wolframalpha.com/
Z ukazi
D[Sqrt[x^3+y^2],x]
D[Sqrt[x^3+y^2],y]
D[Sqrt[x^3+y^2],{x,2}]
D[Sqrt[x^3+y^2],x,y]
D[Sqrt[x^3+y^2],{y,2}]
D[Sqrt[x^3+y^2],{x,2},y]
in tako naprej...
4. Izgleda v redu. Edino ce hoces tocno ugotovit kaj se dogaja, je dobro poiskat lastne vrednosti Hesseja in z njimi preverit ali je pozitivno ali negativno. Je pa res, da ze ves, da je ekstrem, res dobis pravi odgovor (minimum ali maksimum) ze ce preveris neko komponento. Je pa to samo za 2x2 - za visje determinanta ni dovolj, da ves ali je ekstrem ali sedlo.
5. Kot prvo, pri vezi se ti je minus pred y^2 pojavil na suho.
Ko imas \(x=-1/\lambda\) in \(y=2/\lambda\), uporabis vez, x^2+y^2=1 (3. enacba) in dobis
\(\frac{5}{\lambda^2}=1\)
\(\lambda=\pm\sqrt{5}\)
kar vstavis v prvi dve enacbi in dobis x in y ekstremov (en je minimum, en je maksimum).
zxx je narobe (pozabil si posredno odvajat, v prvem clenu, 3x^2 je ze od prej, potem pride pa se en isti clen zaradi odvajanja tistega oklepaja). Enako pri zyy. Sicer lahko preveris z Wolfram Alpha:
http://www.wolframalpha.com/
Z ukazi
D[Sqrt[x^3+y^2],x]
D[Sqrt[x^3+y^2],y]
D[Sqrt[x^3+y^2],{x,2}]
D[Sqrt[x^3+y^2],x,y]
D[Sqrt[x^3+y^2],{y,2}]
D[Sqrt[x^3+y^2],{x,2},y]
in tako naprej...
4. Izgleda v redu. Edino ce hoces tocno ugotovit kaj se dogaja, je dobro poiskat lastne vrednosti Hesseja in z njimi preverit ali je pozitivno ali negativno. Je pa res, da ze ves, da je ekstrem, res dobis pravi odgovor (minimum ali maksimum) ze ce preveris neko komponento. Je pa to samo za 2x2 - za visje determinanta ni dovolj, da ves ali je ekstrem ali sedlo.
5. Kot prvo, pri vezi se ti je minus pred y^2 pojavil na suho.
Ko imas \(x=-1/\lambda\) in \(y=2/\lambda\), uporabis vez, x^2+y^2=1 (3. enacba) in dobis
\(\frac{5}{\lambda^2}=1\)
\(\lambda=\pm\sqrt{5}\)
kar vstavis v prvi dve enacbi in dobis x in y ekstremov (en je minimum, en je maksimum).
Re: Taylorjeva vrsta
Živjo, ali zna kdo rešit naloge v priponki?
3. in 5. so že rešene samo ne vem če je ok? Hvala
3. in 5. so že rešene samo ne vem če je ok? Hvala
- Priponke
-
- 0074_001.pdf
- (114.23 KiB) Prenešeno 124 krat
-
- DN-4.pdf
- (97.13 KiB) Prenešeno 142 krat