Preslikavo imenujemo injektivno če velja implikacija (€...je element; /=...ni enako):
(a,a'€A, a/=a')=>f(a)/=f(a')
(to razumem kot a in a' sta med seboj različna elementa množice A ki imata med seboj različni sliki v množici B)
\(<=>\)
(a,a'€A, f(a)=f(a'))=>a=a'
(to pa razumem kot: sliki a-ja in a'-ja, sta dva enaka elementa v množici B ki imata enaka originala v množici A. To pa nič ne pove o injektivnosti funkcije. Kako se tole pravilno interpretira?)
Matematika (injektivnost,...)
Re: Matematika (injektivnost,...)
Prva izjava je jasna.
Druga izjava pa bi se prebrala: ce sta vrednosti funkcije v dveh tockah enaki, potem je edina moznost, da je to isti element. Z drugimi besedami, nobena dva elementa nimata iste slike, ce nista enaka. To je pa isto kot izjava za injektivnost.
Mogoce se z inverzom:
\(f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'\)
Zdaj naredis \(y=f(a),y'=f(a')\). Dobis
\(y=y'\Rightarrow f^{-1}(y)=f^{-1}(y')\)
Lahko bi prebrali: vrednost inverza je enolicno dolocena - za nek y nimas dveh razlicnih inverzov.
Druga izjava pa bi se prebrala: ce sta vrednosti funkcije v dveh tockah enaki, potem je edina moznost, da je to isti element. Z drugimi besedami, nobena dva elementa nimata iste slike, ce nista enaka. To je pa isto kot izjava za injektivnost.
Mogoce se z inverzom:
\(f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'\)
Zdaj naredis \(y=f(a),y'=f(a')\). Dobis
\(y=y'\Rightarrow f^{-1}(y)=f^{-1}(y')\)
Lahko bi prebrali: vrednost inverza je enolicno dolocena - za nek y nimas dveh razlicnih inverzov.
Re: Matematika Števila-množice,
1.1)
Najprej bi rad sestavil množice števil kot si sledijo po vrsti. Prosim popravite me če je kaj narobe:
NcZcQcR
poleg množice racionalnih(Q) števil je množici R podmnožica tudi množica iracionalnih števil (I) ? ali drugače: IUQ=R ?
Kam spadajo kompleksna števila? Zasledil sem da so neurejena množica števil. To pomeni da jih ne moremo primerjati z uporabo simbolov <, >,= ?
1.2)
Ekvipotentnost <=> evipolentnost:
N~Z~Q-ni ekvipotentna-R~R^2~R^3~...
Ekvipotence ne razumem čisto. Bi mi lahko kdo razložil ekvipotenco na intervalu [0,1] za Z~Q.
pri čemer je: c=podmnožica; U=unija; ~=ekvipotentno
2.1)
imamo graf f(x)=tan(arctanx)
Jaz bi rekel da je definicijsko obnočje enako R in zaloga vrednosti enaka R-poli funkcije
v rešitvah pa je zaloga vrednosti definirana kot množica vseh R števil. Zakaj?
hvala za pomoč
Najprej bi rad sestavil množice števil kot si sledijo po vrsti. Prosim popravite me če je kaj narobe:
NcZcQcR
poleg množice racionalnih(Q) števil je množici R podmnožica tudi množica iracionalnih števil (I) ? ali drugače: IUQ=R ?
Kam spadajo kompleksna števila? Zasledil sem da so neurejena množica števil. To pomeni da jih ne moremo primerjati z uporabo simbolov <, >,= ?
1.2)
Ekvipotentnost <=> evipolentnost:
N~Z~Q-ni ekvipotentna-R~R^2~R^3~...
Ekvipotence ne razumem čisto. Bi mi lahko kdo razložil ekvipotenco na intervalu [0,1] za Z~Q.
pri čemer je: c=podmnožica; U=unija; ~=ekvipotentno
2.1)
imamo graf f(x)=tan(arctanx)
Jaz bi rekel da je definicijsko obnočje enako R in zaloga vrednosti enaka R-poli funkcije
v rešitvah pa je zaloga vrednosti definirana kot množica vseh R števil. Zakaj?
hvala za pomoč
Re: Matematika (injektivnost,...)
Razvrstil si v redu. In ja, definicija iracionalnih stevil je
\(\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)
se pravi je res \(\mathbb{I}\cup\mathbb{Q}=\mathbb{R}\)
Neurejenost pomeni, da jih ne mores primerjat (ni <,>, JE PA enakost definirana!). To je logicno - prevec dimenzij je. Neenakosti za vsako stevilo razdelijo mnozico na dva dela: na vecje in na manjse. V kompleksnih stevilih ne mores tega pocet, ker je mnozica 2D (ne mores rezat - kaj bos s stevili na rezu?).
Kompleksna stevila so drugace se vecja mnozica - realna stevila so njihova podmnozica.
Ekvipotenca pomeni, da je elementov enako mnogo - tudi ce jih je neskoncno. Lahko najdes preslikavo, ki bo vsakemu elementu iz ene mnozice priredila element druge mnozice. Recimo ulomke lahko razumemo kot pare celih stevil. Pare celih stevil lahko preslikamo v pare stevil recimo tako, da jih nanizamo po velikosti njune vsote, recimo
{0,0},{1,0},{0,1},{1,1},{2,0},{0,2},{3,0},{2,1},{1,2},{0,3},...
Za ulomke seveda nekaj teh ne pride v postev (okrajsani morajo biti, imenovalec ni nic) ampak ce vrzes nekaj elementov stran se samo ostali premaknejo v levo - pri neskoncnih mnozicah, ce enega vrzes ven, jih je se vedno enako mnogo.
Na splosno si je najbolje predstavljati ekvipotenco z naravnimi stevili (stevnost mnozice) tako, da se jih da ostevilciti - nasteti, ne da bi jih vmes spuscal.
Tezko je bolj slikovito razlozit ampak upam da sem kaj razjasnil.
2)
Do polov nikoli ne pride! Arkus tangens mece ven samo stevilke med \(\pm \frac{\pi}{2}\), tako da pride v postev cela veja tangensa! Tukaj samo preslikas s funkcijo in z njenim inverzom.
To kar ti govoris, je res za tole
\(f(x)=\arctan(\tan x)\)
Tukaj pa tangens naredi pole, ki jih arkus ne more nazaj rekonstruirat (se huje, tangens ni injektiven in bo arkus tangens za visje veje vracal isto kot za prvo vejo - rezultat bo "zaga").
\(\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)
se pravi je res \(\mathbb{I}\cup\mathbb{Q}=\mathbb{R}\)
Neurejenost pomeni, da jih ne mores primerjat (ni <,>, JE PA enakost definirana!). To je logicno - prevec dimenzij je. Neenakosti za vsako stevilo razdelijo mnozico na dva dela: na vecje in na manjse. V kompleksnih stevilih ne mores tega pocet, ker je mnozica 2D (ne mores rezat - kaj bos s stevili na rezu?).
Kompleksna stevila so drugace se vecja mnozica - realna stevila so njihova podmnozica.
Ekvipotenca pomeni, da je elementov enako mnogo - tudi ce jih je neskoncno. Lahko najdes preslikavo, ki bo vsakemu elementu iz ene mnozice priredila element druge mnozice. Recimo ulomke lahko razumemo kot pare celih stevil. Pare celih stevil lahko preslikamo v pare stevil recimo tako, da jih nanizamo po velikosti njune vsote, recimo
{0,0},{1,0},{0,1},{1,1},{2,0},{0,2},{3,0},{2,1},{1,2},{0,3},...
Za ulomke seveda nekaj teh ne pride v postev (okrajsani morajo biti, imenovalec ni nic) ampak ce vrzes nekaj elementov stran se samo ostali premaknejo v levo - pri neskoncnih mnozicah, ce enega vrzes ven, jih je se vedno enako mnogo.
Na splosno si je najbolje predstavljati ekvipotenco z naravnimi stevili (stevnost mnozice) tako, da se jih da ostevilciti - nasteti, ne da bi jih vmes spuscal.
Tezko je bolj slikovito razlozit ampak upam da sem kaj razjasnil.
2)
Do polov nikoli ne pride! Arkus tangens mece ven samo stevilke med \(\pm \frac{\pi}{2}\), tako da pride v postev cela veja tangensa! Tukaj samo preslikas s funkcijo in z njenim inverzom.
To kar ti govoris, je res za tole
\(f(x)=\arctan(\tan x)\)
Tukaj pa tangens naredi pole, ki jih arkus ne more nazaj rekonstruirat (se huje, tangens ni injektiven in bo arkus tangens za visje veje vracal isto kot za prvo vejo - rezultat bo "zaga").
Re: Matematika (injektivnost,...)
1
Kaj pa recimo za interval [0,1] lahko rečemo da je Z~Q?
2
Mora bit prav...tako je v rešitvah in tukaj
Ampak vseeno mi ni jasno. Najprej narišem f(x)=arctanx. Ta je definiran za vsak x€R torej je po moji logiki tudi f(x)=tan(arctanx) definiran za vsak x. Kaj pa zaloga vrednosti?
Kaj pa recimo za interval [0,1] lahko rečemo da je Z~Q?
2
Mora bit prav...tako je v rešitvah in tukaj
Ampak vseeno mi ni jasno. Najprej narišem f(x)=arctanx. Ta je definiran za vsak x€R torej je po moji logiki tudi f(x)=tan(arctanx) definiran za vsak x. Kaj pa zaloga vrednosti?
Re: Matematika (injektivnost,...)
1.
Ja seveda. V kakrsnem koli koncnem intervalu je se vedno neskoncno racionalnih stevil. Simbolicno:
\(\lbrack 0,1\rbrack \cap \mathbb{Q}\sim\mathbb{N}\)
Ravno tako kot je \(\lbrack0,1\rbrack\sim\mathbb{R}\) (tukaj seveda cel interval, ne pa samo racionalna stevila v njem).
Stevnokrat stevna mnozica je se vedno stevna. Tukaj samo vsakemu intervalu (i,i+1) pripises celo stevilo i in imas spet od minus neskoncno do neskoncno.
2. Ja saj... \(\tan(\arctan x)=x\). To je definirano za vsak x, to sem rekel. In zaloga vrednosti so tudi vsa realna stevila - saj dobis vse nazaj kar das noter! Povedano z mnozicami:
\(\arctan(\mathbb{R}) \to (-\pi,\pi)\)
\(\tan((-\pi,\pi)) \to \mathbb{R}\)
Saj imas tudi tisti primer spodaj, ko obrnes vrstni red in dobis zago. Res dobra stran.
Ja seveda. V kakrsnem koli koncnem intervalu je se vedno neskoncno racionalnih stevil. Simbolicno:
\(\lbrack 0,1\rbrack \cap \mathbb{Q}\sim\mathbb{N}\)
Ravno tako kot je \(\lbrack0,1\rbrack\sim\mathbb{R}\) (tukaj seveda cel interval, ne pa samo racionalna stevila v njem).
Stevnokrat stevna mnozica je se vedno stevna. Tukaj samo vsakemu intervalu (i,i+1) pripises celo stevilo i in imas spet od minus neskoncno do neskoncno.
2. Ja saj... \(\tan(\arctan x)=x\). To je definirano za vsak x, to sem rekel. In zaloga vrednosti so tudi vsa realna stevila - saj dobis vse nazaj kar das noter! Povedano z mnozicami:
\(\arctan(\mathbb{R}) \to (-\pi,\pi)\)
\(\tan((-\pi,\pi)) \to \mathbb{R}\)
Saj imas tudi tisti primer spodaj, ko obrnes vrstni red in dobis zago. Res dobra stran.
Re: Matematika (injektivnost,...)
hvala to z množicami pomaga...o ekvipotenci se mi malo svita ampak še ne razumem točno...ampak saj zaenkrat to ni bistveno
se pravi lahko zapišemo da y=arcsin(sinx)=x (poenostavljeno) velja za interval [-pi/2,pi/2], Df=Zf=[-pi/2,pi/2], ker arcsin(sin(Df))=arcsin(sin[-pi/2,pi/2])=arcsin[-1,1]=[-pi/2,pi/2]=Zf ?
se pravi lahko zapišemo da y=arcsin(sinx)=x (poenostavljeno) velja za interval [-pi/2,pi/2], Df=Zf=[-pi/2,pi/2], ker arcsin(sin(Df))=arcsin(sin[-pi/2,pi/2])=arcsin[-1,1]=[-pi/2,pi/2]=Zf ?
Re: Matematika (injektivnost,...)
Uporaba Moivre-ove formule:
To je postopek ki sem ga našel na netu. (v navodilu bi moralo pisati "...upoštevaje enakost...)
Ni mi jasen del (označen z modro) ko piše:
cos0+isin0=x^0
...
cos(nx)+isin(nx)=x^n
ali ne bi morala biti upoštevana še dolžina |x^n|? se pravi (po Moivreovi formuli z^n=|z^n|[cos(nx)+isin(nx)]):
|x^0|[cos0+isin0]=x^0
...
|x^n|[cos(nx)+isin(nx)]=x^n
Potem je desno (označeno z zeleno):
cos0=Rex^0
...
cosnx=Rex^n
Zakaj tudi tukaj ne upoštevamo dolžine |x^n|?
Torej če prav razumem se zaporedje 1+cosx+...+cos(nx) lahko zapiše z realnimi komponentami števil x^0, x^1, ..., x^n. Imam prav?
In še to: sumim da je spodaj napaka...tam kjer sem obkrožil tisti + (z rdečo)...mislim da i-jev pri sinx in sin(n+x)x ni več in plus tam stoji ravno zaradi i*i=-1. ?
To je postopek ki sem ga našel na netu. (v navodilu bi moralo pisati "...upoštevaje enakost...)
Ni mi jasen del (označen z modro) ko piše:
cos0+isin0=x^0
...
cos(nx)+isin(nx)=x^n
ali ne bi morala biti upoštevana še dolžina |x^n|? se pravi (po Moivreovi formuli z^n=|z^n|[cos(nx)+isin(nx)]):
|x^0|[cos0+isin0]=x^0
...
|x^n|[cos(nx)+isin(nx)]=x^n
Potem je desno (označeno z zeleno):
cos0=Rex^0
...
cosnx=Rex^n
Zakaj tudi tukaj ne upoštevamo dolžine |x^n|?
Torej če prav razumem se zaporedje 1+cosx+...+cos(nx) lahko zapiše z realnimi komponentami števil x^0, x^1, ..., x^n. Imam prav?
In še to: sumim da je spodaj napaka...tam kjer sem obkrožil tisti + (z rdečo)...mislim da i-jev pri sinx in sin(n+x)x ni več in plus tam stoji ravno zaradi i*i=-1. ?
Re: Matematika (injektivnost,...)
Malo mešaš zadeve. V tistih zvezah na levi strani (ki si jih označil z modro), ne potenciraš \(x\), temveč \(\alpha=\cos x + i \sin x\).
Kar se tiče Moivrove formule; njena najbolj splošna oblika je:
\((\rho(\cos x + i \sin x))^n=\rho^n(\cos(nx) + i \sin(nx))\).
Če je \(\rho=1\) (kompleksna števila z absolutno vrednostjo/dolžino radij vektorja 1 - točke, s katerimi so upodobljena, ležijo na enotski krožnici), pač dobiš zvezo, ki ti ni jasna.
Kar se tiče Moivrove formule; njena najbolj splošna oblika je:
\((\rho(\cos x + i \sin x))^n=\rho^n(\cos(nx) + i \sin(nx))\).
Če je \(\rho=1\) (kompleksna števila z absolutno vrednostjo/dolžino radij vektorja 1 - točke, s katerimi so upodobljena, ležijo na enotski krožnici), pač dobiš zvezo, ki ti ni jasna.
Re: Matematika (injektivnost,...)
Lahko kdo prosim preveri ?Rorschach napisal/-a:...se pravi lahko zapišemo da y=arcsin(sinx)=x (poenostavljeno) velja za interval [-pi/2,pi/2], Df=Zf=[-pi/2,pi/2], ker arcsin(sin(Df))=arcsin(sin[-pi/2,pi/2])=arcsin[-1,1]=[-pi/2,pi/2]=Zf ?
Re: Matematika (injektivnost,...)
Ja to je res.
Re: Matematika (injektivnost,...)
€.............je element
R(+).........množica realnih števil (pozitivnih)
N............množica naravnih števil
n(*), z(*)...(*) je indeks
------------------------------------------------------------------------------------------
Zanima me zakaj vrsta Suma(od k=1 do neskončno)1/k ni konvergentna, vrsta Suma(od k=1 do neskončno)(1/(k^2)) pa je. Saj za k-->neskončno je (1/k)-->0.
To naj ne bi bil zadosten pogoj, pravijo moji zapiski. Zadosten naj bi bil Cauchyjev pogoj, ki pravi "za vsak Epsilon€R+ obstaja n(Epsilon)€N, da velja implikacija (m, p€N, m(> ali =)n(Epsilon))=>|Suma(od k=m do m+p)(z(k))|< Epsilon" Razumem vse do absolutne vrednosti.
Pri vrstah imamo namreč |z(n)-lambda| < Epsilon.
Shema:
-------<-------|------->--------
(| označuje lambdo; <,> Epsilon; z(n) pa je nekje znotraj epsilona)
Ne razumem pa, kako bi taka shema zgledala pri vstah.
Verjetno bi najbolj razumel če bi mi nekdo razložil konvergenco pri vrstah na prvih dveh primerih. (Zanima me zakaj vrsta Suma(od k=1 do neskončno)1/k ni konvergentna, vrsta Suma(od k=1 do neskončno)(1/(k^2)) pa je. Saj za k-->neskončno je (1/k)-->0.)
A obstaja kakšen program ki olajša pisanje TeX simbolov?
Pozna kdo kakšno spletno stran kjer bi našel enostavnejše razlage matematičnih pojmov kot je kovergenca? Ali pa kaj kar bi mi prišlo prav pri linearni algebri?
Hvala za pomoč.
R(+).........množica realnih števil (pozitivnih)
N............množica naravnih števil
n(*), z(*)...(*) je indeks
------------------------------------------------------------------------------------------
Zanima me zakaj vrsta Suma(od k=1 do neskončno)1/k ni konvergentna, vrsta Suma(od k=1 do neskončno)(1/(k^2)) pa je. Saj za k-->neskončno je (1/k)-->0.
To naj ne bi bil zadosten pogoj, pravijo moji zapiski. Zadosten naj bi bil Cauchyjev pogoj, ki pravi "za vsak Epsilon€R+ obstaja n(Epsilon)€N, da velja implikacija (m, p€N, m(> ali =)n(Epsilon))=>|Suma(od k=m do m+p)(z(k))|< Epsilon" Razumem vse do absolutne vrednosti.
Pri vrstah imamo namreč |z(n)-lambda| < Epsilon.
Shema:
-------<-------|------->--------
(| označuje lambdo; <,> Epsilon; z(n) pa je nekje znotraj epsilona)
Ne razumem pa, kako bi taka shema zgledala pri vstah.
Verjetno bi najbolj razumel če bi mi nekdo razložil konvergenco pri vrstah na prvih dveh primerih. (Zanima me zakaj vrsta Suma(od k=1 do neskončno)1/k ni konvergentna, vrsta Suma(od k=1 do neskončno)(1/(k^2)) pa je. Saj za k-->neskončno je (1/k)-->0.)
A obstaja kakšen program ki olajša pisanje TeX simbolov?
Pozna kdo kakšno spletno stran kjer bi našel enostavnejše razlage matematičnih pojmov kot je kovergenca? Ali pa kaj kar bi mi prišlo prav pri linearni algebri?
Hvala za pomoč.
Re: Matematika (injektivnost,...)
Ja to da cleni padajo proti nic res ni niti priblizno zadosten pogoj. Cauchyjev pogoj pa po domace pravi: od nekje naprej velja, da sta vsaki dve delni vsoti od tam naprej razlicni manj od epsilon. Torej, razlika med neko delno vsoto in katerokoli od tam naprej morajo iti proti nic. Saj je isto kot za zaporedja (le da tukaj gledas zaporedje delnih vsot).
Lahko si predstavljas, da zaporedje delnih vsot skace med dvema kazalcema, ki ostaneta kolikor dalec jih med skakanjem porine. Po Cauchyju mora razmik med kazalcema biti vedno manjsi - za vsak razmak si lahko zmislis n, od katerega naprej ostane vmes.
Na primerih je tezko karkoli pokazat - pac ne konvergirata - pri harmonicni vrsti lahko pokazes da je vsota nekaj clenov vmes priblizno sorazmerna z logaritmom, ki narasca v neskoncnost.
Programi za naklikovanje TeX kode obstajajo - jih je mnogo, vendar je to samo dodatno zamudno. Pisi direktno v forum, saj imas samo poimensko grske crke, pa 5 simbolov za osnovne racunske operacije - kaj vec tukaj ne rabis.
Lahko si predstavljas, da zaporedje delnih vsot skace med dvema kazalcema, ki ostaneta kolikor dalec jih med skakanjem porine. Po Cauchyju mora razmik med kazalcema biti vedno manjsi - za vsak razmak si lahko zmislis n, od katerega naprej ostane vmes.
Na primerih je tezko karkoli pokazat - pac ne konvergirata - pri harmonicni vrsti lahko pokazes da je vsota nekaj clenov vmes priblizno sorazmerna z logaritmom, ki narasca v neskoncnost.
Programi za naklikovanje TeX kode obstajajo - jih je mnogo, vendar je to samo dodatno zamudno. Pisi direktno v forum, saj imas samo poimensko grske crke, pa 5 simbolov za osnovne racunske operacije - kaj vec tukaj ne rabis.
Re: Matematika (injektivnost,...)
Hvala za odgovor na prejšnje vprašanje...bom moral še malo predelat zadevo da bo jasna.
Naslednje vprašanje/naloga:
Imam funkcijo \(F(x)=\int_1^x dt/(1+t^2)\)
Ugotoviti moram kje funkcija narašča, kje pada, kje je konveksna, kje konkavna in skicirati graf. (Predpostavlja se da integrala ne znamo izračunati!)
Nalogo smo že rešili na vajah, me pa zanima če sem jo prav razumel.
Moje razmišljanje:
Za zgornjo mejo integrala vstavimo enako število kot pri spodnji. S tem dobimo, potem ko opravimo integriranje moramo še vstaviti meje F(a)-F(a)=0. Iz tega izvem, da ima funkcija ničlo pri x=1. (To pomeni da v primerih tipa \(\int_a^x\), lahko preprosto rečem, da ima funkcija ničlo pri x=a?)
Funkcijo odvajam da dobim koeficient tangente na graf.
\(F'(x)=1/(1x^2)\)
Koeficient tangente je torej pri kateremkoli x-u pozitiven, zato je funkcija naraščajoča.
Odvod funkcije še enkrat odvajamo (drugi odvod), da ugotovimo če je funkcija koveksna oz. konkavna.
\(F''(x)=-2x/(1+x^2)^2\)
Na vajah smo napisali da je odvod pozitiven v primeru da je x<0, funkcija je v tem primeru konkavna; negativen v primeru da je x>0, funkcija je v tem primeru konveksna.
(Tu se pojavi težava. Kamorkoli pogledam, piše obratno. Se pravi: Če je odvod pozitiven, je funkcija konveksna, in če je odvod negativen je konkavna.)
Za skico grafa imam torej te podatke:
Da seka x os v točki x=1;
da povsod narašča;
da je levo od osi y konkavna
in da je desno od osi y konveksna.
Take funkcije pa ne morem narisati. Nekaj je narobe. prosim pomoč.
Naslednje vprašanje/naloga:
Imam funkcijo \(F(x)=\int_1^x dt/(1+t^2)\)
Ugotoviti moram kje funkcija narašča, kje pada, kje je konveksna, kje konkavna in skicirati graf. (Predpostavlja se da integrala ne znamo izračunati!)
Nalogo smo že rešili na vajah, me pa zanima če sem jo prav razumel.
Moje razmišljanje:
Za zgornjo mejo integrala vstavimo enako število kot pri spodnji. S tem dobimo, potem ko opravimo integriranje moramo še vstaviti meje F(a)-F(a)=0. Iz tega izvem, da ima funkcija ničlo pri x=1. (To pomeni da v primerih tipa \(\int_a^x\), lahko preprosto rečem, da ima funkcija ničlo pri x=a?)
Funkcijo odvajam da dobim koeficient tangente na graf.
\(F'(x)=1/(1x^2)\)
Koeficient tangente je torej pri kateremkoli x-u pozitiven, zato je funkcija naraščajoča.
Odvod funkcije še enkrat odvajamo (drugi odvod), da ugotovimo če je funkcija koveksna oz. konkavna.
\(F''(x)=-2x/(1+x^2)^2\)
Na vajah smo napisali da je odvod pozitiven v primeru da je x<0, funkcija je v tem primeru konkavna; negativen v primeru da je x>0, funkcija je v tem primeru konveksna.
(Tu se pojavi težava. Kamorkoli pogledam, piše obratno. Se pravi: Če je odvod pozitiven, je funkcija konveksna, in če je odvod negativen je konkavna.)
Za skico grafa imam torej te podatke:
Da seka x os v točki x=1;
da povsod narašča;
da je levo od osi y konkavna
in da je desno od osi y konveksna.
Take funkcije pa ne morem narisati. Nekaj je narobe. prosim pomoč.
Re: Matematika (injektivnost,...)
Ja, \(\int_a^a=0\), to je ocitno (ze iz tega - ploscina odseka sirine nic). Prav tako je ocitna pozitivnost funkcije \(\frac{1}{1+t^2}\) (vse kolicine ki nastopajo so pozitivne - sploh pa to funkcijo poznamo, izgleda kot nek kupcek na sredini). Iz simetrije te funkcije tudi takoj vemo, da je padajoca za t>0 in narascajoca za t<0.
Tukaj pa se zaplete: seveda je funkcija konveksna, ce je drugi odvod pozitiven; mogoce je koga motilo, da se ponavadi vbocenim stvarem rece konkavne (recimo lece). Vendar v tem primeru je tako: skledaste funkcije so konveksne (tipicen primer y=x^2).
Torej, zeljena funkcija je narascajoca povsod, niclo ima pri 1, konveksna je pa za negativne t. Izves tudi, da je v limiti t v obe neskoncnosti odvod te funkcije nic.
To takoj preveris z znano resitvijo: malo prestavljen arkus tangens.
Tukaj pa se zaplete: seveda je funkcija konveksna, ce je drugi odvod pozitiven; mogoce je koga motilo, da se ponavadi vbocenim stvarem rece konkavne (recimo lece). Vendar v tem primeru je tako: skledaste funkcije so konveksne (tipicen primer y=x^2).
Torej, zeljena funkcija je narascajoca povsod, niclo ima pri 1, konveksna je pa za negativne t. Izves tudi, da je v limiti t v obe neskoncnosti odvod te funkcije nic.
To takoj preveris z znano resitvijo: malo prestavljen arkus tangens.