Konveksnost

[Zenga]

Naj funkcija f slika iz \(\mathbb{R}^n\) v \(\mathbb{R}\).
Dokazati moram, da je \(A= \left\{(x_1,...,x_n, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} | f(x_1, ..., x_n) \leq x_{n+1}\right\}\) konveksna množica.


Dejstvo je, da ne znam postaviti definicije za konveksnost v primeru, da imamo n dimenzij.
V primeru, da \(f\) slika iz \(\mathbb{R}\) v \(\mathbb{R}\) je za konveksnost potrebno zadostiti temu pogoju: \(f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)\), pri čemer sta \(x, y \in x_1\) in \(\lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) = x_2\).

V tej nalogi pa imamo več dimenzij - sklepam, da prav tako velja definicija: \(f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)\) . Če pokažemo, da je \(f(x_1, ..., x_n, x_{n+1}) \leq x_{n+2}\),
kajti s tem posredno dokažemo konveksnost množice A. Upam, da je moje sklepanje pravilno.