Racionalna interpolacijska funkcija
Objavljeno: 11.4.2015 18:31
Lep pozdrav!
Učim se interpolacijo funkcij (predmet numerične metode) in pridem do problema v eni nalogi, ko ne vem kako odreagirati naprej. Malo sem že iz prakse, ker se že kakih 5 let nisem pritaknila nič za študij.
No, bolje pozno kot nikoli, želim razumeti za kaj gre. Naloga je sicer mišljena za Matlab, samo najprej moram razumeti sploh. ![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Določit je potrebno interpolacijsko racionalno funkcijo \(R_{n,m}(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) za funkcijo \(f(x)\) na intervalu \([a,b]\) v izbranih interpolacijskih točkah \(x_i \in [a,b]\) za \(i = 0, 1, ..., n+m\), tako, da izračunam sistem enačb:
\(f(x) = tan(x), x \in [0,\frac{\pi}{2}]\)
Za interpolacijske točke pa moram narediti:
a) ekvidistantne točke: \(x_i = a + i(\frac{b-a}{r})\) za \(i = 0, 1, ..., r\)
Da ne delam na prevelikih stopnjah polinomov sem si zbrala \(n = 1\) in \(m = 1\), zato je tudi \(r = 2\).
OK, mislim, da sem pri primeru a) prav razmišljala do tu...(vstavila sem a,b in i v formulco za ekvidistantne tč. \(a = 0, b = \pi/2\))
Iz prve enačbe \(P_1(x_0) - f(x_0)Q_1(x_0) = 0\) dobim, da je \(a_0 = 0\), ker \(0 - 0*1 = 0\). Druga interpolacijska točka je \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) in \(tan(\frac{\pi}{4}) = 1\). Ok, torej lahko še nekaj zračunam. Ker je \(a_0 = 0\), ga ne upoštevam v naslednji enačbi in, če malo premečem zadeve, izrazim \(a_1 = \frac{\pi}{4}+b_1\).
V tretji enačbi pa nič ne morem naredit, ker je \(tan(\frac{\pi}{2}) = \infty\)
![Neutral :|](./images/smilies/icon_neutral.gif)
Torej, kje sem zgrešila point? Ker tudi, če ni rešitve za \(R_{1,1}(x)\), jo verjetno ni tudi za \(R_{0,2}(x)\) in \(R_{2,0}(x)\), ker še vedno me moti \(tan(\frac{\pi}{2}) = \infty\).
Ima kdo kakšno idejo morda kako bi izračunala koeficiente polinomov \(P_n(x)\) in \(Q_m(x)\) ? Kakršen koli napotek bi bil več kot dobrodošel.![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Učim se interpolacijo funkcij (predmet numerične metode) in pridem do problema v eni nalogi, ko ne vem kako odreagirati naprej. Malo sem že iz prakse, ker se že kakih 5 let nisem pritaknila nič za študij.
![Embarassed :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Določit je potrebno interpolacijsko racionalno funkcijo \(R_{n,m}(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) za funkcijo \(f(x)\) na intervalu \([a,b]\) v izbranih interpolacijskih točkah \(x_i \in [a,b]\) za \(i = 0, 1, ..., n+m\), tako, da izračunam sistem enačb:
- \(P_n(x_i) - f(x_i)Q_m(x_i) = 0\) za \(i = 0, 1, ... n+m\).
- \(P_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n\)
- \(Q_m(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_mx^m\)
- \(r = n + m\)
\(f(x) = tan(x), x \in [0,\frac{\pi}{2}]\)
Za interpolacijske točke pa moram narediti:
a) ekvidistantne točke: \(x_i = a + i(\frac{b-a}{r})\) za \(i = 0, 1, ..., r\)
Da ne delam na prevelikih stopnjah polinomov sem si zbrala \(n = 1\) in \(m = 1\), zato je tudi \(r = 2\).
OK, mislim, da sem pri primeru a) prav razmišljala do tu...(vstavila sem a,b in i v formulco za ekvidistantne tč. \(a = 0, b = \pi/2\))
- \(x_0 = 0\)
- \(x_1 = \frac{\pi}{4}\)
- \(x_2 = \frac{\pi}{2}\)
Iz prve enačbe \(P_1(x_0) - f(x_0)Q_1(x_0) = 0\) dobim, da je \(a_0 = 0\), ker \(0 - 0*1 = 0\). Druga interpolacijska točka je \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) in \(tan(\frac{\pi}{4}) = 1\). Ok, torej lahko še nekaj zračunam. Ker je \(a_0 = 0\), ga ne upoštevam v naslednji enačbi in, če malo premečem zadeve, izrazim \(a_1 = \frac{\pi}{4}+b_1\).
V tretji enačbi pa nič ne morem naredit, ker je \(tan(\frac{\pi}{2}) = \infty\)
![Neutral :|](./images/smilies/icon_neutral.gif)
![Neutral :|](./images/smilies/icon_neutral.gif)
Torej, kje sem zgrešila point? Ker tudi, če ni rešitve za \(R_{1,1}(x)\), jo verjetno ni tudi za \(R_{0,2}(x)\) in \(R_{2,0}(x)\), ker še vedno me moti \(tan(\frac{\pi}{2}) = \infty\).
Ima kdo kakšno idejo morda kako bi izračunala koeficiente polinomov \(P_n(x)\) in \(Q_m(x)\) ? Kakršen koli napotek bi bil več kot dobrodošel.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)