Živjo!
Zna kdo rešiti tole:
a) Grafično dokaži, da je funkcija f : [0, ∞) → [2a, ∞) podana s predpisom f(t) = a(e^(bt) + e^(−bt))
bijektivna za vsak a, b > 0 in od tod sklepaj, da ima ima enačba f(t) = c pozitivno rešitev
t = f^−1 (c) za vsak c > a..
b) Na mizo položimo verigo dolžine L, in sicer tako da kos dolžine L0 visi čez rob. Določi čas, po
katerem bo v celoti zdrsnila čez rob, če zanemarimo trenje.
Naloga: diferencialne enačbe
Re: Naloga: diferencialne enačbe
Kje pa se ti zatika? Par namigov:
a) Grafično seštej \(ae^{bt}\) in \(ae^{-bt}\). Na osnovi grafa sklepaj o injektivnosti (pogoj: \(t_1 \ne t_2 \Rightarrow f(t_1) \ne f(t_2)\) in surjektivnosti (na osnovi določitve zaloge vrednosti funkcije). Če je hkrati injektivna in surjektivna, je tudi bijektivna.
b) Kos dolžine \(x\), ki visi čez rob, ima težo \(\mu xg\), če je \(\mu\) masa verige na enoto dolžine. To je tudi edina zunanja sila (v smeri gibanja), ki deluje na verigo. Gibalna enačba verige po Newtonu je (če je \(\mu L\) masa verige):
\(\mu L \ddot{x}=\mu xg\)
oz.
\(\ddot{x}-\frac{g}{L}x=0\)
Rešiti moraš torej homogeno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti. Standardni postopek je nastavek z eksponentno funkcijo, kar da rešitev \(x(t)\) oblike \(f(t)\) iz primera a). Koeficient \(b\) pride iz ničel karakterističnega polinoma, ki ga na osnovi nastavka prirediš dif. enačbi, medtem ko \(a\) pride iz začetnih pogojev: \(x(0)=L_0\) in \(\dot{x}(0)=0\).
Čas padanja \(T\) določa pogoj \(x(T)=L\). Najlažje ga izraziš, če v rešitvi \(x(t)\) prepoznaš hiperbolični kosinus: izražen bo seveda kot inverz hiperboličnega kosinusa.
a) Grafično seštej \(ae^{bt}\) in \(ae^{-bt}\). Na osnovi grafa sklepaj o injektivnosti (pogoj: \(t_1 \ne t_2 \Rightarrow f(t_1) \ne f(t_2)\) in surjektivnosti (na osnovi določitve zaloge vrednosti funkcije). Če je hkrati injektivna in surjektivna, je tudi bijektivna.
b) Kos dolžine \(x\), ki visi čez rob, ima težo \(\mu xg\), če je \(\mu\) masa verige na enoto dolžine. To je tudi edina zunanja sila (v smeri gibanja), ki deluje na verigo. Gibalna enačba verige po Newtonu je (če je \(\mu L\) masa verige):
\(\mu L \ddot{x}=\mu xg\)
oz.
\(\ddot{x}-\frac{g}{L}x=0\)
Rešiti moraš torej homogeno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti. Standardni postopek je nastavek z eksponentno funkcijo, kar da rešitev \(x(t)\) oblike \(f(t)\) iz primera a). Koeficient \(b\) pride iz ničel karakterističnega polinoma, ki ga na osnovi nastavka prirediš dif. enačbi, medtem ko \(a\) pride iz začetnih pogojev: \(x(0)=L_0\) in \(\dot{x}(0)=0\).
Čas padanja \(T\) določa pogoj \(x(T)=L\). Najlažje ga izraziš, če v rešitvi \(x(t)\) prepoznaš hiperbolični kosinus: izražen bo seveda kot inverz hiperboličnega kosinusa.