Parametrizacija

[segica]

Pozdravljeni,

potrebujem pomoč in sicer pri naslednji nalogi:

Naj bo K presek ploskev y=sqrt(25-x^2-z^2) in y=x^2+z^2-5
a) skicirajte presek obeh ploskev z ravnino z=0 (ni problem)
b) parametrizirajte krivuljo K in pokažite, da sta torzijska in fleksijska ukrivljenost v vseh točkah krivulje konstantni in ju določi
c) izberite si točko na krivulji in izračunajte pod kakšnim kotom se sekata ploskvi v tej točki. ali je kot odvisen od izbire točke?

no, problem je predvsem pri točki b, ker ne vem, kako bi parametrizirala krivuljo.

hvala

[Aniviller]

Pa saj je kroznica. Prva ploskev je zgornja polovica krogle, druga ploskev pa navzgor obrnjena skleda (parabola), obe sta rotacijsko simetricni in centrirani na isti osi (y os), zato nima bit presek kaj drugega kot kroznica. In celo polmer takoj vidis, saj lahko zapises
\(r^2=x^2+z^2\)
in dobis presek
\(y=\sqrt{5^2-r^2}=r^2-5\)
od koder dobis tako r kot y.

Kroznico pa upam da znas parametrizirat.

[whistler]

Jaz pa imam eno (laično) vprašanje glede paramatrizacije krivulje in ploskve. Zanima me, če je mogoče krivuljo parametrizirati z dvema parametroma - zapis: r(r,fi) = ... oziroma ploskev z enim samim parametrom. Če je mogoče, me zanima način kako se to naredi in konkretni primeri.
P.S.: Upam da vprašanje ni preveč butasto... =)

[shrink]

Število parametrov je vedno enako dimenziji strukture, ki jo parametriziraš, število parametričnih enačb pa dimenziji prostora (no, lahko je samo ena, a je vektorska s številom komponent enakim dimenziji prostora), v katerega je ta struktura "vložena": npr. spiralo, ki je krivulja na ravnini, opišeš z enim parametrom in dvemi parametričnimi enačbami; vijačnico, ki je krivulja v prostoru, z enim parametrom in tremi enačbami; površino krogle, ki je ploskev v prostoru, z dvema parametroma in tremi enačbami...

[whistler]

Hvala! Imam pa eno konkretno vprašanje: kako bi paramatrizirali krivuljo z = x² + y² , z = 4 - 3x² ?
Sam sem dobil elipso x² + y²/4 = 1 kot presek teh dveh ploskev.
To pa moram uporabiti naprej pri izračunu pretoka vektorskega polja V = (x³, xz, y) po tej krivulji - direktno in s pomočjo Stokesa (orientacija pozitivna)

Če računam direktno, računam pretok po krivulji, torej rabim en parameter in tri parametrične enačbe oz. tri komponente vektorske enačbe
npr.: r(t) = (x, y, z)
Če pa računam z uporabo Stokesovega izreka, imam ploskev in imam tako dva parametra in tri komponente vektorske enačbe r(fi,r) = (x, y, z)

Kako bi torej zapisal to parametrizacijo v obeh primerih?

[shrink]

Če poznaš parametrizacijo elipse, imaš rešitev na dlani, sicer skušaš v smislu polarnih koordinat priti do nje. Kot si že ugotovil, je zveza za presek krivulj:

\(4x^2+y^2=4\)

Če izbereš \(x=\cos t\), potem mora za veljavnost gornje zveze biti \(y=2\sin t\) in posledično \(z=4-3x^2=4-3\cos^2 t\). Tako si dobil parametrizacijo:

\(\vec{r}(t)=(\cos t, 2\sin t, 4-3\cos^2 t)\)

Za parametrizacijo ploskve pa lahko na osnovi gornjega izbereš:

\(\vec{r}(u,v)=(u, 2v, 4-3u^2)\)