linearne enačbe

[Aniviller]

Dokazat moras, da je stvar ranga najvec 2 (ce je ranga 3, imas premalo neznank). Lahko se lotis z Gaussovo eliminacijo:
u+mv+m^2+m^3=0
0+(m^2-m)v+m^3-m^2+m-m^3=0
0+(m^3-m)v+m-m^2+m^2-m^3=0
Prvo sem odstel drugi in tretji.
Ce postejes clene, pride
u+mv+m^2+m^3=0
m(m-1)v-m(m-1)=0
m(m-1)(m+1)v-m(m-1)(m+1)=0
Po rahlem razmisleku vidis, da je zadnja vrstica enaka drugi vrstici, pomnozeni z m+1, kar pomeni, da je rang matrike najvec 2, in vedno obstaja resitev (tretjo enacbo vrzes stran in dobis v iz druge in u iz prve).

Imas naslednje primere:
m=0 -> Prakticno vse postane nic. Resitev je u=0, v=karkoli (sistem je 1. ranga)
m=1 -> Drugi dve enacbi odpadeta, resitev je u=-v-2 (spet 1. ranga)
m=karkoli drugega -> sistem je 2. ranga, resitev je v=1, u=-m-m^2-m^3.

[fmf]

Hvala...

Sem se prav lotil naslednje naloge?

Obravnavaj in reši sistem enačb:

x - y + z = 0
3x - y - z = -2
ax - y - 2z = b

po gaussovem postopku dobim

x-y+z=0
0x+2y-4z=-2
ax+0y-4z=b-1

Na tem koraku sem se ustavil in obravnaval:
1.1) če a=0 in b ni enako 1 dobim družino enoparamatričnih rešitev(z b-ji)
1.2) če je a=0 in b=-1: sistem ni rešljiv, ker rang osnovne matrike ni enak rangu razširjene matrike

2.) če a ni enako 0 sem nadaljeval Gaussa in dobil
x-y-z=0
0x+2y-4z=-2
0x+0y-4z=b-1
to je zgornje trikotna oblika ter spet dobim enoparametrično družino rešitev

[Aniviller]

1) Sklepanje je napacno. Ce je a=0, ima matrika poln rang (lepo tri pivote na diagonali in nic spodaj), torej je itak resljiva ne glede na b, saj je rang pac poln (=3) in ima eno samo resitev. Ce hoces pivotirat, moras vse pobit kar je pod diagonalo... takole

x-y+z=0
0x+2y-4z=-2
0x-(1-a)y-(2+a)z=b
Drugo lahko se delis z 2 in unicis se y clen v zadnji:
x-y+z=0
0x+y-2z=-1
0x+0y+(a-4)z=b-(1-a)
upam da nisem kaj zamocil pri sestevanju.

Tukaj zdaj vidis, da je a=4 tisti kriticen primer, ki grozi da ne bo resljivo. Takrat mora biti b-(1-a)=b-(1-4)=b+3=0 in torej b=-3, ce hoces da so resitve (in v tem primeru jih je neskoncno).

[fmf]

Eno vprašanje...kako lahko sploh pridemo do:
x-y+z=0
0x+2y-4z=-2
0x-(1-a)y-(2+a)z=b

kaj, če je a=0?

[Aniviller]

Ce je a=0 ni nic posebnega, saj nisi nikjer z a delil, in ce vstavis a=0, dobis pac neko enacbo, nic posebnega.

Tretji enacbi sem odstel a-kratnik prve, da sem se znebil x clena v zadnji vrstici.

[fmf]

Aha, ok...hvala lepa.
Rešitev je pa zato neskončno, ker je en prosti parameter(preveč neznank)?

[Aniviller]

Resitev je neskoncno samo, ce je a=4 in b=-3. Za druge a je pa ena sama resitev.