Second order directional derivative

[Zoro]

Pozdravljeni!
Pri ugotavljanju, katere kritične točke funkcije z več neodvisnimi spremenljivkami so ekstremi (relativni minimum, maksimum),
sem poskušal določiti konkavnost oziroma konveksnost funkcije v kritičnih točkah v določeni (poljubni) smeri.
Z direktnim odvajanjem (direct derivative) se dobi "strmino" funkcije v smeri določenega enotskega vektorja.
Direktni odvod je skalarni produkt gradienta vektorja in enotskega vektorja.


Zanima me, kako se izpelje drugi direktni odvod (Second order directional derivative).

[Aniviller]

Ja pac se enkrat lahko odvajas izraz na povsem isti nacin. Pac
\(\nabla_v^2 f(x)\)
V principu lahko tudi vsakic odvajas v drugo smer, ceprav v tem primeru res rabis drugi odvod v eni sami smeri. Ker je "v" v tem primeru konstanta, pri odvajanju ni kaksnih dodatnih clenov zaradi odvodov v-ja.

Ponavadi pisemo odvod v (normirani) smeri v tudi
\(({\bf v}\nabla) f\)
kar je nekako bolj jasno, saj tocno vidis da je ta operator odvoda skalar (skalarni produkt smeri in gradientnega operatorja). Potem lahko kar direktno poracunas operator:
\(({\bf v}\nabla)^2=(v_x \partial_x+v_y\partial_y+\cdots)^2\)
\(=v_x^2 \partial^2_x+v_y^2\partial^2_y +2v_x v_y\partial_x \partial_y+\cdots\)
kjer pikice pisem v primeru, da imas vec kot dve komponenti.

Logika je torej enostavna: sestejes vse druge odvode (vkljucno z mesanim), pri cemer vsakega pomnozis z istoleznimi komponentami smeri.

[Zoro]

Aaaaa...
Najlepša hvala

[Zoro]

Kaj pa če vektor v ni konstanta??

[Aniviller]

No kot prvo moras pogledat kaj to sploh pomeni. To nekako pomeni, da gledas odvode vzdolz nekih krivulj (krivocrtne koordinate recimo). Recimo primer tega je, da gledas odvod neke kolicine v smeri hitrosti tekocine (primer: odvod temperature vzdolz tokovnic). Ali karkoli podobnega. Za enojni odvod to ni nic drugace. Pri drugem odvodu pa matematicno ves kaj pride: odvod deluje na vse kar je desno od njega, torej tudi na komponente v-ja. Potem imas samo odvod produkta.

[Zoro]

Bo šlo ja...
Nimam nobene literature o tem, zato sem tu vprašal (da ne bi delal narobe).

Hvala še enkrat.

[Aniviller]

No saj stvari v krivocrtnih koordinatah so precej bolj "kosmate"... tole kar sva debatirala je matematicno sicer dobro definirano, v praksi (predvsem v fiziki) pa je dovoljena (smiselna) samo dolocena vrsta odvodov - mora bit vse neodvisno od izbire koordinat. Tako da imas potem kovariantne odvode, Lie-jeve odvode,...

[Zoro]

Zanimivo... Ko bom boljše obvladal matematiko, bom pogledal tudi to.
Morda čez par let