Mini dokaz (geo. in aritmetična sredina)

[Buggy]

Lep pozdrav vsem.
A mi lahko mogoče kdo pomaga pri dokazu, da je geometrijska sredina dveh pozitivnih števil manjša ali enaka aritmetični sredini istih dveh števil in dopiše še pri katerih pogojih sta obe sredini enaki.
Najlepša hvala že vnaprej, prosila bi vas pa še, če bi se dal to že dones uredit.

Hvala

[shrink]

Na linku

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/corollary.shtml

najdeš geometrijski in algebraični dokaz.

P.S. Lahko bi to tudi sama uredila. Npr. s poizvedbo v Googlu:

geometric arithmetic mean inequality

[Buggy]

Najlepša hvala. Ja, vem, da bi si lahko tud sama pomagala, ampak sm bla prej sam 15 minut doma in nism vedla kdaj točno spet pridem, tko da je blo nekak lažje sam smle napisat, ker rabm do jutr...
Bom si drugič sama poiskala, ampak res najlepša hvala za pomoč.
Lp

[Aniviller]

Izrek je soroden trikotniski neenakosti...

Mislim, da ce posplosis povprecje:

povp=t-ti koren((a^t+b^t+c^t...)/n)

Velja v limiti t=0, povp=geometrijska sredina.
V splosnem za manjsi t dobimo manjsi rezultat kot za vecjega, za t=-oo dobimo najmanjsi clen zaporedja, za t=oo pa najvecjega.

[Aniviller]

V dokaz ostalim uporabnikom foruma:

a=((x^t+y^t)/2)^(1/t); logaritmiras, da se znebis eksponenta
log a=(1/t)*log(x^t/2+y^t/2)
log a=log(x^t/2+y^t/2)/t ;ce ustavis na desni t=0 ne dobis nic pametnega (0/0). Tukaj teorija pravi, da lahko odvajas zgoraj in spodaj (l'Hospitalovo pravilo, 1.letnik fakultete)
log a=(log x *x^t/2+log y*y^t/2)/(x^t/2+y^t/2); malce zapleteno, ampak zdaj se da vstavit t=0
log a=((log x)/2+(log y)/2)/(1/2+1/2)
log a=(log x+log y)/2
log a= log ((x*y)^(1/2)) ; antilogaritmiras
a=(x*y)^(1/2)=koren(x*y)

analogno za vec spremenljivk.