linearna algebra

[Jurij]

1. to, da sta pribita, le pomeni, da sta to neki fiksni vrednosti, da ju obravnavaš kot konstanti. Če sta a in b linearno neodvisna, lahko vzameš takšno bazo; tako da če te zanima matrika v neki bazi, boš najlepšo dobil ravno pri tej bazi.
glede adjungiranke: če želiš prav matriko adjungiranke, je najlažje, da prejšnjo matriko prestaviš v standardno bazo, npr.
(1,0,0)->a, (0,1,0)->b in (1,0,0)->a x b
(tukaj se verjetno najlepše izide, ker je tretji standardni vektor ravno vektorski produkt prejšnjih dveh). Potem lahko uporabiš tisto s transponirano konjugiranko (sj konjugacije tu ne rabiš, ker si v realnem).
Če pa te zanima zgolj preslikava, tvoja druga metoda daleč najpreprostejša (in če mene vprašaš, najbolj elegantna), s tem da upoštevaš glavne lastnosti mešanega produkta: lahko argumente ciklično menjaš in znotraj m.p. lahko menjaš skalarni in vektorski produkt:
\(<Av,u>= (a \times (v \times b)) \cdot u = [a,v \times b,u]=[v \times b,u,a]=\)
\(=(v \times b) \cdot (u \times a)=[v,b,u \times a]=<v,b \times (u \times a)>\),
zato \(A^*u=b \times (u \times a)\).

[sanej]

u hvala.


1 zdej mam pa pomoje še zadnjo stvar k me zajebava. Imamo prostor R^2[x] polinomov z nekim skalarnim produktom < , > . vemo da je množica

{ 1, 1- x , (1- x)^2 } ortonormirana baza glede na ta skalarni produkt. Kako zdej jest pogruntam kakšen je ta skalarni produkt ??

Potem pa je še podan podprostor V = { R^2[x] ; integral od -1 do 1 p(x)dx = 0 }

in morm poiskati ortogonalni komplement prostora ?? ( razmišlal sem da sestavljajo ortogonalni komplement tisti vektorji baze, ki ne zadostujejo temu pogoju, pa se mi zdi da je preveč splošno.)?

2 poišči pozitivno definitni endomorfizem A na gornjem prostoru R^2 [x] ( glede na skalarni produkt < , > ), da bo [ p, q ] = < Ap, q > tak skalarni produkt v katerem je { 1, x , x^2 } . ali lahko tukaj trdiš, da če je pozitivno deginitni endomorfizem, da je sebiadjungiran ??



aha pa še to nisem siguren, ko zapišem slike vektorjev v stolpce, da dobim neko preslikavo, in bi rad dobil zalogo vrednosti, ali potem samo spustim gausa čez in so linearno neodvisni stolpci baza zaloge vrednosti, ali moram slike vektorjev zapisati kot vrstice da potem z gausom vidim če so linearno neodvisni ??

[Jurij]

1. Če veš, kaj je ON baza, imaš zaradi bilinearnosti skalarni produkt natanko določen:
\(<ae_1+be_2+ce_3,a'e_1+b'e_2+c'e_3>=aa'+bb'+cc'\)
Imaš dve možnosti: ali vse sproti razvijaš po tej bazi, ali pa poračunaš le produkte znotraj std. baze, torej \(<1,1>, <x,1>, <x^2,1>, <x,x>, \dots\) in potem lahko računaš s. p. v tej bazi.
Naprej lahko tako: določiš bazo V, ki je dvorazsežen, in jo dopolniš do baze celotnega prostora. potem na tej bazi narediš Gramschmidta. Linearna ogrinjača zadnjega vektorja je tvoj komplement.

2. ja, mislim da je definicija pozitivno definitnega endomorfizma sebiadjungiranost in \(<Ax,x>, x \neq 0\).

[fox]

RAbim pomoc pri eni nalogi

mam taksen graf : e- edge , v -vertex
e1 -> (v1,v4)
e2 - > (v1,v5)
e3 - > (v1,v6)
e4 - > (v2,v4)
e5 - > (v2,v5)
e6 ->(v3,v5)
e7 - > (v3,v6)

In zdaj hocem poiskat stevilo potih z dolzino 4
Kako naj poiscem to ampak s pomocjo formule oz. adjacency matrix

[vesoljka]

Živjo,

zanima me, če v primeru, ko pri (realni) matriki dobiš za lastni vrednosti dve konjugirani kompleksni števili, obstaja kakšna povezava med lastnima vektorjema, ki pripadata tema dvema lastnima vrednostma.

Hvala za odgovor

[Aniviller]

\(Ax=\lambda x\)
konjugiraš enačbo, A ostane isti ker je realen
\(Ax^\ast=\lambda^\ast x^\ast\)
Lastna vektorja sta tudi konjugirana en drugemu.

[vesoljka]

hvala hvala hvala

[lunca1]

Živjo!

Mene pa zanima kako se reši par nalog in dokazov:

1. Naj bo P: R^3 ->R^3 linearna preslikava, podana s pravilom P(x,y,z) = (x,y,0). Prostor R^3 opremimo s skalarnim produktom, v katerem je množica {(1,0,0), (1,1,0),(1,1,1)} ortonormirana baza. Glede na ta skalarni produkt določi bazo jedra in bazo slike preslikave P* in P*(3,2,1).

2. Matriko A razdelimo na bloke A=[A11 A12 A21 A22]. Če sta matriki A in A22 obrnljivi, pokaži, da je tudi matrika B = A11 - A12 A22^(-1) A21 obrnljiva.

3. Naj bosta A,B(M3(R)) neničelni matriki. Dokaži:
-Če velja <Ax,x>=<Bx,x> in sta A,B simetrični matriki potem velja A=B
- poišči taka A in B da bo veljalo <Ax,x>=<Bx,x> in A ni enak B.

4. kao se izračuna determinanta A , ki je podana s predpisom: A(x)= x-f(x)a, A neničelen vektor, f(x) funkcional

5. Naj bosta A in B kvadratni realni matriki velikosti nxn. Matrika A je obrnljiva, B je neničelna.
-Če je matrika A+B obrnljiva, pokaži, da je BA^(-1)B ni enaka -B
-Naj bo matrika B ranga 1(matrika oblike B=uvT, za ustrezna stolpca u,v)Pokaži, da je BA^(-1)B = -B natanko tedaj, ko je vTA^(-1)u = -1 T- transponirano

Hvala!!

[Zajc]

Živjo!

Mene pa zanima kako se reši par nalog in dokazov:

1. Naj bo P: R^3 ->R^3 linearna preslikava, podana s pravilom P(x,y,z) = (x,y,0). Prostor R^3 opremimo s skalarnim produktom, v katerem je množica {(1,0,0), (1,1,0),(1,1,1)} ortonormirana baza. Glede na ta skalarni produkt določi bazo jedra in bazo slike preslikave P* in P*(3,2,1).

2. Matriko A razdelimo na bloke A=[A11 A12 A21 A22]. Če sta matriki A in A22 obrnljivi, pokaži, da je tudi matrika B = A11 - A12 A22^(-1) A21 obrnljiva.

3. Naj bosta A,B(M3(R)) neničelni matriki. Dokaži:
-Če velja <Ax,x>=<Bx,x> in sta A,B simetrični matriki potem velja A=B
- poišči taka A in B da bo veljalo <Ax,x>=<Bx,x> in A ni enak B.

4. kao se izračuna determinanta A , ki je podana s predpisom: A(x)= x-f(x)a, A neničelen vektor, f(x) funkcional

5. Naj bosta A in B kvadratni realni matriki velikosti nxn. Matrika A je obrnljiva, B je neničelna.
-Če je matrika A+B obrnljiva, pokaži, da je BA^(-1)B ni enaka -B
-Naj bo matrika B ranga 1(matrika oblike B=uvT, za ustrezna stolpca u,v)Pokaži, da je BA^(-1)B = -B natanko tedaj, ko je vTA^(-1)u = -1 T- transponirano

Hvala!!

5. Pišem \(U=A+B\), potem pa izrazim npr. \(B=U-A\). Enakost \(BA^{-1}B=-B\) je potem \((U-A)A^{-1}(U-A)=-U+A\). Iz te enačbe pa hitro dobiš \(A=U\), kar je protislovje.

Druga točka: smer v levo je očitna, ker enačbo z leve pomnožiš z \(u\) in z desne z\(v^T\). Obratno: predpostaviš \(uv^TA^{-1}uv^T=-uv^T\). V tej enačbi je \(v^TA^{-1}u\) skalar in ga lahko neseš naprej in dobiš \((v^TA^{-1}u)uv^T=-uv^T\). Ker je \(uv^T\) neničelna matrika, mora potem biti \(v^TA^{-1}u=-1\).

[GENERAL123]

Zdravo, potrebujem pomoč pri naslednji nalogi iz letošnjega izpita pri linearni algebri:

Naj bo V končno razsežen (realen ali kompleksen) vektorski prostor, B baza za V in A: V -> V endomorfizem. Dokaži spodnji trditvi:
(a) Za vsak b ? B obstaja tak projektor P: V -> V, da je Im P = L({b}) in P(b) = b.
(b) Če A komutira z vsemi projektorji P: V -> V, potem je A diagonalizabilen.

Opomba: endomorfizem P: V -> V je projektor, če velja P^2=P.