Koliko je nič na nič?

[shrink]

qg:

Res ti svetujem, da vzameš v roke kak visokošolski matematični učbenik (ali pa Križaničevo Matematiko 4 za srednje šole).

2. 1/0 ne obstaja: dokaz:
števec in imenovalec pomnožimo s številom, ki nič spremeni v 1. Ne moremo najti števila, ki ničlo pomnoži v 1, glede na točko 1.

Izraz (ulomek) 1/0 matematika raje predstavi kot desno limito:

\(\lim_{x \to 0} \frac {1}{x}\).

Za določitev njene vrednosti gledamo graf funkcije \(f(x) = \frac {1}{x}\). Ko se vrednosti argumenta \(x\) bližajo \(0\), gredo vrednosti funkcije preko vseh meja (v neskončnost). Na osnovi tega sklepamo:

\(\lim_{x \to 0} \frac {1}{x} = \infty\).

Funkcija ima v tej točki neskončno vrednost (neskončna limita), kar pomeni, da limita ne obstaja; če se seveda domenimo, da limita obstaja, ko ima le-ta končno vrednost. Ali \(\infty\) obstaja ali ne, prepuščam tvoji filozofski žilici. Nesporno pa je, da je gornji izraz ena od temeljnih limit.

Podobno lahko rečem za ostale tvoje točke.

Če hočeš ovreči svoj lastni (napačen) sklep:

5. Zgornje sklepanje mi da tudi: (oo = neskončno)
0 x oo = 0 in
6. 0/0 = 0.

vzemi v roke kalkulator in računaj (še prej si nastavi "mode" v radiane):

\(\frac {\sin 1}{1} = 0.841470984\)

\(\frac {\sin 0.1}{0.1} = 0.998334166\)

\(\frac {\sin 0.01}{0.01} = 0.999983333\)

\(\frac {\sin 0.001}{0.001} = 0.999999833\)

\(\frac {\sin 0.0001}{0.0001} = 0.999999998\)

itd.

Sklepamo: Manjši kot je argument, bolj se vrednost ulomka bliža k 1. Ko bo vrednost argumenta enaka 0, bo vrednost ulomka enaka 1. V tem primeru je torej 0/0 = 1, kar sesuje tvoj sklep.

Še en primer:

Računajmo (spet vzemi v roke kalkulator):

\(\frac {\ln (1+1)} {1} = 0.69314718\)

\(\frac {\ln (0.1+1)} {0.1} = 0.953101798\)

\(\frac {\ln (0.01+1)} {0.01} = 0.995033085\)

\(\frac {\ln (0.001+1)} {0.001} = 0.999500333\)

\(\frac {\ln (0.0001+1)} {0.0001} = 0.999950003\)

itd.

Spet sklepamo: Manjši kot je argument, bolj se vrednost ulomka bliža k 1. Ko bo vrednost argumenta enaka 0, bo vrednost ulomka enaka 1. V tem primeru je torej spet 0/0 = 1, kar spet sesuje tvoj sklep.

Lahko pa vzamemo naslednji primer:

\(\frac {\sin 1}{1^2} = 0.841470984\)

\(\frac {\sin 0.1}{0.1^2} = 9.983341665\)

\(\frac {\sin 0.01}{0.01^2} = 99.99833334\)

\(\frac {\sin 0.001}{0.001^2} = 999.9998333\)

\(\frac {\sin 0.0001}{0.0001^2} = 9999.999983\)

itd.

Spet sklepamo: Manjši kot je argument, večja je vrednost ulomka. Ko bo vrednost argumenta enaka 0, bo vrednost ulomka šla preko vseh meja (torej v neskončnost). V tem primeru je 0/0 = \(\infty\), kar spet sesuje tvoj sklep.

Kdaj pa je sploh 0/0 = 0?

Npr. v tem primeru:

\(\frac {(\sin 1)^2}{1} = 7.080734183\)

\(\frac {(\sin 0.1)^2}{0.1} = 0.09966711\)

\(\frac {(\sin 0.01)^2}{0.01} = 0.00999966\)

\(\frac {(\sin 0.001)^2}{0.001} = 0.000999999\)

\(\frac {(\sin 0.0001)^2}{0.0001} = 0.000099999\)

Spet sklepamo: Manjši kot je argument, manjša je vrednost ulomka. Ko bo vrednost argumenta enaka 0, bo vrednost ulomka tudi enaka 0. V tem primeru je 0/0 = 0, kar potrjuje veljavnost tvojega sklepa le v določenih primerih.

Iz navedenega lahko sklepaš, zakaj se izrazom tipa 0/0 sploh reče nedoločeni izrazi. Upam, da ti je stvar malo bolj jasna. BTW: Vsem mukotrpnim računom s kalkulatorjem se lahko elegantno ognemo z uporabo osnovnih (znanih) limit.

[qg]

Shrink, glede limit se strinjam s teboj. Vendar limite ne izračunajo rezultat v sami točki "ničla" ali "neskončnost", ampak pri približevanju tem točkam. Jaz trdim, da je rezultat možno izračunati v točkah. Če to ni res, potem se motim. Vendar zanima me, kako se motim.

Naprimer
limita a->oo, 0 x a = 0
in tu je ničla v 0 x a direktno ničla in se ne približuje ničli.
Rezultat te limite je pri končnih vrednostih a enak nič in se pri približevanju oo ne spreminja, torej je tudi pri neskončnosti enak 0.
To je rezultat limite 0 x oo v samih točkah 0 in oo.


Glede mojega znanja pa se motiš, lahko mi daš v izračun kakšno limito, da se prepričaš. Tista prva napaka pa je bila lapsus zaradi hitrosti.
Kar je tukaj sporno, da dvomim v osnove matematike, ko izgleda, da je že skoraj vse dokazano, ne pa da ne znam računati limit.

[Aniviller]

Ne dvomi o matematiki dokler je ne poznas. Poglej si projekcijo \(\mathbb{R}\cup \lbrace\pm\infty\rbrace\) na kroznico. Ce to naredis tako, da navpicnica seka vedno kroznico pri stevilih \(x\) in \(\frac{1}{x}\) dobis res \(\frac{1}{0}=\pm \infty\). Ce ti pa se ni dovolj si pa poglej Riemannovo sfero, pa vrste polov pri holomorfnih funkcijah, kjer se jasno vidi kdaj ima funkcija limito \(/infty\) in kdaj ima tam bistveni pol. Matematike ti zlepa ne bo zmanjkalo zato je ne izumljaj na novo Toliko o izracunu \(\frac{1}{0}\), nedoloceni izrazi pa itak nimajo default vrednosti, torej o funkcijski vrednosti v tisti tocki lahko mirno reces da ni definirana dokler je zvezno ne razsiris z limito.
Mathworld

[shrink]

Shrink, glede limit se strinjam s teboj. Vendar limite ne izračunajo rezultat v sami točki "ničla" ali "neskončnost", ampak pri približevanju tem točkam. Jaz trdim, da je rezultat možno izračunati v točkah. Če to ni res, potem se motim. Vendar zanima me, kako se motim.

Imaš le delno prav. Če je funkcija v neki točki zvezna, potem je njena limita v tej točki enaka kar njeni funkcijski vrednosti. Če tako pogledamo graf funkcije \(f(x) = \frac {\sin x}{x}\) je ta zvezen za vsak \(x \in \Re\) ima v točki \(x=0\) funkcija vrednost \(f(0) = 1\); pa čeprav gre v tej točki za nedoločen izraz: \(f(0) = \frac {\sin 0}{0} = \frac {0}{0}\). Z razvojem \(\sin x\) v vrsto pa lahko dano funkcijo preoblikujemo v:

\(f(x) = \frac {\sin x}{x} = \frac {x- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \ldots}{x}= 1 - \frac{x^2}{3!}+ \frac{x^4}{5!}- \ldots\)

Za \(x=0\) dobimo:

\(f(0) = 1 - \frac{0^2}{3!}+ \frac{0^4}{5!}- \ldots = 1\)

Kot vidiš, ta limita (ki je bil sprva nedoločen izraz tipa \(\frac {0}{0}\)) izračuna natanko vrednost funkcije v točki \(x=0\).

Naprimer
limita a->oo, 0 x a = 0
in tu je ničla v 0 x a direktno ničla in se ne približuje ničli.
Rezultat te limite je pri končnih vrednostih a enak nič in se pri približevanju oo ne spreminja, torej je tudi pri neskončnosti enak 0.
To je rezultat limite 0 x oo v samih točkah 0 in oo.

Iz tega se ne da sklepati, da je \(0 \cdot \infty = 0\). To so nedoločeni izrazi, o katerih ne moremo sklepati brez dodatne analize. Že tvoja trditev, da je “neskončno” oz. \(\infty\)točka, je napačna.

Mimogrede: Izrek \(0 \cdot a = 0\), za \(a \in \cal {A}\), kjer je \(\cal {A}\) neka množica, velja samo za elemente te množice. “Neskončno” oz. \(\infty\) pa ne moremo jemati kot element kake množice, zato tudi tega izreka za “neskončno” oz. \(\infty\) v dokazu ne bi smel uporabiti.

Glede mojega znanja pa se motiš, lahko mi daš v izračun kakšno limito, da se prepričaš. Tista prva napaka pa je bila lapsus zaradi hitrosti.
Kar je tukaj sporno, da dvomim v osnove matematike, ko izgleda, da je že skoraj vse dokazano, ne pa da ne znam računati limit.

No, verjamem, da znaš računati limite, očitno pa ne razumeš, kaj tiči v njihovem ozadju. Zato me tudi tvoja izjava, da “dvomiš v osnove matematike”, ne preseneča.

[qg]

Ta izpeljava sinx/x je goljufija, ker v ničli x/x=0/0 ne moreš krajšati. Torej ta limita še vedno velja le pri približevanju.

Vendar sem opazil drug problem:
a=0.999999999....
10a=9.999999999....
10a-a=9a=9
Torej a=0.99999...=1=a

To pa se ne ujame z mojim razmišljanjem, ker sem predpostavil
1/oo ni enako 0 in obstaja in 1/0 ne obstaja.

Sicer v zgornjem primeru lahko rečem, da stvar limitiram, torej a=0.9; 0.99; 0.999 in v tem primeru ne dobim 0.9999...=1

Vendar limita ne pride nikoli v neskončnost, ali vsaj tako ne morem računati direktno. Potem postane tudi nejasno, zakaj dva različna računa: direktni in limita, ki je podobna direktno.

Slišal sem izjave, da neskončnost ne more obstajati: ker se je enostavno ne moremo predstavljati, kaj mislite??

Shrink, napisal si da neskončno ne more spadati v množico a, ali lahko poveš več o tem.

Zgornje pa še vedno ne ovrže moje formule "0 x neobstoječe število je enako 0".


LP

[Aniviller]

Ta izpeljava sinx/x je goljufija, ker v ničli x/x=0/0 ne moreš krajšati. Torej ta limita še vedno velja le pri približevanju.

Limita pomeni priblizevanje. Dejanska vrednost v tisti tocki je lahko popolnoma druga najveckrat je pa sploh ni.

Sicer v zgornjem primeru lahko rečem, da stvar limitiram, torej a=0.9; 0.99; 0.999 in v tem primeru ne dobim 0.9999...=1

Seveda dobis 0.9999=1. Sestej geometrijsko vrsto. 0.99999... je identicno enako 1 v vseh pogledih. Tezava se pojavi le zaradi decimalnega zapisa.

Slišal sem izjave, da neskončnost ne more obstajati: ker se je enostavno ne moremo predstavljati, kaj mislite??

Ce bi bila matematika omejena na tisto kar si lahko predstavljamo, bi koncali v 4. razredu osnovne sole. Neskoncnost je od celotne matematike skoraj najbolj predstavljiva.

[shrink]

qg:

Na tvoje komentarje je že odgovoril Aniviller, vendar moramo posebej komentirati tvojo izjavo:

Ta izpeljava sinx/x je goljufija, ker v ničli x/x=0/0 ne moreš krajšati. Torej ta limita še vedno velja le pri približevanju.

To ne more biti goljufija. Resda funkcijo \(\frac{\sin x}{x}\) zapišemo v obliki neskončne vrste in se zato vrsta šele pri neskončno mnogo členih povsem ujema s to funkcijo za poljuben argument \(x\), vendar obstaja izjema in sicer za \(x=0\). Pri tem argumentu je dovolj, da vzamemo zgolj prvi člen iz vrste (t.j. \(1\), saj vsi ostali členi zavzamejo vrednost \(0\)) in bomo za funkcijo \(\frac{\sin x}{x}\) dosegli popolno ujemanje. V tem primeru sploh ni govora o kakšnem približevanju oz. limiti, razen če z limito ne želiš izračunati (vsoto) neskončne vrste:

\(1+0+0+0+\ldots=1\)

za kar lahko formalno uporabimo limito, vendar je že samo po sebi umevno, da ima ta vrsta vrednost (vsote) \(1\).

Trditev, da

v ničli x/x=0/0 ne moreš krajšati

pa je popolnoma smešna, saj bi to pomenilo, da funkcija \(f(x)= \frac {x}{x} = 1\), v točki \(x=0\) ni definirana, kar je daleč od resnice. Potemtakem tudi funkcija \(f(x)= \frac {x^2+x}{x}\) in podobne v točki \(x=0\) ne bi bile definirane, vendar vemo, da se da zapisati:

\(f(x)= \frac {x^2+x}{x}=x+1\)

in so zato take funkcije definirane za vsak realen \(x\). Iz tega sledi, da je tvoje sklepanje napačno.

Kar se tiče

Shrink, napisal si da neskončno ne more spadati v množico a, ali lahko poveš več o tem.

si poglej matematične strukture (neka množica ustreza določeni strukturi, če zanjo veljajo aksiomi, ki definirajo to strukturo) kot so kolobar, obseg in podobne, v katerih lahko iz osnovnih aksiomov prideš do veljavnosti izreka \(a \cdot 0 = 0\).

Zgornje pa še vedno ne ovrže moje formule "0 x neobstoječe število je enako 0".

Ravno nasprotno.

[MAVER|CK]

Kriza, se zdej ne vem kok so ti izrazi?

\(\infty^0=\)
\(0^\infty=\)
\(0^0=\)
\(\infty/0=\)
\(0/\infty=\)
\(\infty/\infty=\)

V matematicnem prirocniku sem zasledil, da ce L'Hospitalu ne uspe resiti limite ponavljamo postopek in na koncu vedno pridemo do \(0/0=\) ta pa ni definiran, tako tudi nima limite, a sem prav prebral?



PS: Ka fraction ne dela v tem latexu?

[ZdravaPamet]

\frac{stevec}{imenovalec}

[shrink]

Wejla, MAVER|CK!

Vsi spadajo med nedoločene izraze, razen:

\(\frac {\infty}{0}\) in \(\frac {0}{\infty}\)

za katere lahko pišemo:

\(\frac {\infty}{0}=\frac {\infty}{1/\infty}=\infty \cdot \infty = \infty\)

\(\frac {0}{\infty}=\frac {0}{1/0}=0 \cdot 0 = 0\)

Seveda so zapisi, kot sta zadnja dva, zelo "grdi", saj je bolj primerno uporabljati zapis z limitami.

V matematicnem prirocniku sem zasledil, da ce L'Hospitalu ne uspe resiti limite ponavljamo postopek in na koncu vedno pridemo do 0/0, ta pa ni definiran, tako tudi nima limite, a sem prav prebral?

Verjetno si narobe prebral. Če L'Hospitalu ne uspe razrešiti limite (npr. v primerih, ko vedna znova dobivamo 0/0 ali oo/oo), to še ne pomeni, da limita ne obstaja. V teh primerih se poslužimo kakšnih drugih prijemov (npr. razvoj v vrsto).

PS: Ka fraction ne dela v tem latexu?

Dela. Npr. \frac{stevec}{imenovalec} da:

\(\frac{stevec}{imenovalec}\)

[MAVER|CK]

Hu,
thanx za vse odgovore:)
zdej bi ze lahka vedu, da vse drzi kar Shrink pove:) drugace raj ne pove, ce ni 100% prov:) hehe

Jah, matematicni prirocnik je bil v Srbo-hrvascini napisan, najbrz zato, sm ze mal iz vaje:(

Jst sm pa \fraction not pisal:(

[kren]

Izrazi kot so \(\frac{0}{0}\) in \(\frac{\infty}{\infty}\) formalno v matematiki ne obstajajo (najprej zato, ker nic nima inverza, potem pa se zato ker neskoncno sploh ni realno stevilo); ce ze kaj, se samo rece, da je neka limita tipa \(\frac{0}{0}\) (ali kaksnega drugega - to nima veze z vrednostjo tistega izraza, ki tako ali tako ne obstaja, je samo oznaka za vrsto limite). Limite in obnasanje limit je pa poglavje zase (o tem je shrink tu ze veliko napisal:)).

Limito funkcije lahko definiramo povsem neodvisno in se pri njej ni potrebno sklicevati na limito zaporedja.

Kako?

[shrink]

Izrazi kot so \(\frac{0}{0}\) in \(\frac{\infty}{\infty}\) formalno v matematiki ne obstajajo (najprej zato, ker nic nima inverza, potem pa se zato ker neskoncno sploh ni realno stevilo); ce ze kaj, se samo rece, da je neka limita tipa \(\frac{0}{0}\) (ali kaksnega drugega - to nima veze z vrednostjo tistega izraza, ki tako ali tako ne obstaja, je samo oznaka za vrsto limite). Limite in obnasanje limit je pa poglavje zase (o tem je shrink tu ze veliko napisal:)).

Popolnoma drži. Nedoločeni izrazi oz. tipi nedoločenosti so limite. Zapisi kot so \(\frac {0}{0}\), \(\frac {\infty}{\infty}\) in podobni služijo samo kot pomoč pri identifikaciji (formalno moramo vedno imeti v mislih limite).

Limito funkcije lahko definiramo povsem neodvisno in se pri njej ni potrebno sklicevati na limito zaporedja.

Kako?

Funkcija \(f(x)\) ima limito \(A\) za \(x = a\)

\(A = \lim_{x \to a} f(x)\),

če je mogoče dobiti za vsak poljubno majhen \(\epsilon\) tak pozitiven \(\eta\), da je za vsak \(x\) iz intervala \(a - \eta < x < a + \eta\)pripadajoči \(f(x)\) v intervalu \(A - \epsilon < f(x) < A + \epsilon\).

Kot vidiš v tej definiciji za limito funkcije zaporedja sploh niso omenjena. Res je, da sta si definiciji za limito zaporedja in limito funkcije zelo podobni, vendar to še ne pomeni, da definicija za limito funkcije temelji na definiciji za limito zaporedja (torej: poznavanje definicije za limito zaporedja za formulacijo definicije limite funkcije sploh ni potrebno). V pedagoškem smislu pa je res najbolje najprej obravnavati naravna števila, zaporedja, limito zaporedja... in zatem realna števila, funkcije, limito funkcije..., saj se pojmi dopolnjujejo in je razumevanje tega področja (uvoda v analizo) bistveno boljše.

[Jurij]

glede na prvotno vprašanje bi sam povedu, d na angleški wikipedii piše:

Modern textbooks often define 0^0 = 1. For example, Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik argue in their book Concrete mathematics:
“Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions 0^x and x^0 have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x^0 = 1 for all x , if the binomial theorem is to be valid when x = 0 , y = 0, and/or x = −y . The theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0x is quite unimportant."

http://en.wikipedia.org/wiki/Defined_and_undefined

[shrink]

glede na prvotno vprašanje bi sam povedu, d na angleški wikipedii piše:

Modern textbooks often define 0^0 = 1. For example, Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik argue in their book Concrete mathematics:
“Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions 0^x and x^0 have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x^0 = 1 for all x , if the binomial theorem is to be valid when x = 0 , y = 0, and/or x = −y . The theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0x is quite unimportant."

http://en.wikipedia.org/wiki/Defined_and_undefined

Že, že, ampak treba je prebrati celoten tekst:

http://en.wikipedia.org/wiki/Defined_an ... zero_power.

Če govorimo o funkcijah realne spremenljivke (v okviru analize - prvi del teksta), potem ne moremo a priori trditi:

\(\lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = 1\); \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\) in \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\),

zato moramo vsak primer obravnavati posebej. Zelo enostavno se da pokazati, da to velja za:

\(\lim_{x \to 0} x^x = 1\),

oz. bolj splošno za:

\(\lim_{x \to 0} f(x)^{f(x)} = 1\); \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\),

ampak iz teh primerov ne moremo potegniti sklepov o vsesplošni veljavi.

Če pa govorimo o funkcijah diskretne spremenljivke (v okviru kombinatorike oz. diskretne matematike - drugi del teksta, ki ga sam navajaš), potem pa je jasno, da velja:

\(\lim_{n \to 0} n^n = 1\).

Obe limiti, kakor je bilo že večkrat poudarjeno v tej temi, lahko jemljemo kot izraz tipa \(0^0\).

P.S. V tem primeru se mi zdi, da Wikipedia rahlo zavaja, saj z "modern textbooks" misli zgolj knjigo "Concrete mathematics", kateri so pozabili dodati del naslova oz. podnaslov: "A Foundation for Computer Science". Gre očitno za tekst iz uporabne matematike za potrebe računalništva, ki v matematičnem smislu pokriva večinoma poglavja iz diskretne matematike. Še več: Kot je iz opisa knjige na sami Wikipediiji razvidno:

http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_mathematics,

gre v tekstu za konkretno matematiko v pravem pomenu besede, ki je čisto nasprotje abstrakne matematike (kar niti ni presenetljivo, saj dva avtorja od treh večinoma delujeta na področju računalniških znanosti, pa čeprav sta v osnovi matematika - z vsem spoštovanjem do Donalda Knutha, avtorja \(\TeX\) - a):

While some of the topics in Concrete Mathematics are similar to those covered by traditional Discrete Mathematics textbooks, the authors have a unique approach to the subject matter: They explain in the preface that concrete mathematics "is a blend of CONtinuous and disCRETE mathematics," and Calculus is frequently used in the explanations and exercises. The term is also used to denote the opposite of abstract mathematics.

Navedeno pač namiguje, da če "konkretno" razmišljamo, potem je \(0^0\) res lahko enako samo \(1\).