Kvarkadabra forum

kaj pa pravzaprav je tisti \(l_n\) in tisti \(S\)?

Pripeto je celotno besedilo s katerega lahko razbereš vse podatke.

aha, kochova snežinka.
vredu, predpostavimo \(l_n=(\frac{4}{3})^n3S\).
sedaj naredimo naslednji korak; to pomeni, da na vsako stranico kochove snežinke dodamo še en trikotnik; torej namesto srednje tretjine vsake stranice dobimo dve tretjini stranice. torej se vsaka stranica poveča za faktor 4/3, torej se celoten obseg poveča za faktor 4/3, torej direktno dobiš \(l_{n+1}=(\frac{4}{3})^{n+1}3S\).

Jurij hvala za pomoč.

Živijo!

Zanima me, če rešujem nalogo pravilno. Imam podano "slika 1" in moram s popolno indukcijo dokazati da to velja. Da velja za On, dokažem tako, da prevzamem, da velja On-1. Dobim to enačbo: slika 2.
Zanima me, če sem pravilno preoblikovala enačbo On-1 na "slika 2". Ali je pravilno da sem spremenila n pri vsoti in pri potenci?
Če je to pravilno, bi sedaj morala dobiti "slika 3". Tukaj se pojavi problem, ker ne vem kako speljati tiste pikice (........). Bi mi lahko kdo napisal kako pridem do rezultata?

lej, če samo dobimo neko enačbo napisano, ne moremo dokazovati, ali drži ali ne drži; moraš povedati za kaj se gre.

v PRIPONKI VSE PIŠE.

Prejšnji pdf dukoment ni pravilen. V priponki je popravljena verzija indukcije. Mislim, da je pravilna. Kaj se zdi vam?

Zanima me še zadnja stvar. To je dokaz s popolno indukcijo pri površini Mengerjeve spužve. V pdf dukumentu je celoten postopek ki sem ga jaz naredila. Zanima me, če lahko v dokazu s popolno indukcijo uporabiš kar si sklepal par vrstic prej pri Sn. Ali lahko narediš tako dokaz, če ne, bi prosila za pomoč kako dokaz izpeljem. Hvala!

indukcija za sierpinskega je pravilna.

pri mengerjevi spužvi sem pa malo v dvomih...
\(S_0=6\)
potem pa kocko razdelimo na 27 kock in jih 7 odstranimo. površina se zmanjša, ker smo pač na 6 ploskvah prvotne kocke odstranili po en kvadratek s stranico 1, poveča pa se za 4 kvadratke, ki jih povzročijo kocke, izrezane iz prvotne kocke:
\(S_1=S_0-6 \cdot \frac{1}{3^2}+6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{3^2} = S_0+6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3^2}\). ostane nam 20 kock. v naslednjem koraku postopek ponoviš z vsako od 20 kock (ploščina se zmanjša za manjkajoče kvadrate v stranskih ploskvah in poveča za štiri nove kvadrate, ki nastanejo z odstranitvijo ene od kock), in dobiš 20*20 kock.
tko da pri n-tem koraku se površina spremeni na sledeč način:
\(S_n=S_{n-1}+6 \cdot 3 \cdot 20^{n-1} \cdot \frac{1}{9^n} = S_{n-1}+2 (\frac{20}{9})^{n-1}\);
20^(n-1) ker imamo na vsakem koraku toliko kock, ki jih obdelujemo, 6 zaradi št. kock, ki jih izrežemo iz stranskih ploskev, 3 ker s tem dejanjem izgubimo en kvadratek in dobimo 4 nove.
tu gre za enostavno geometrijsko vrsto (tako da niti ne bi dokazoval z indukcijo) in vsota je:
\(S_n=2 \frac{(20/9)^n-1}{20/9-1}=\frac{18}{11}((\frac{20}{9})^n-1)\)

lahko pa tudi, da imam slabo predstavo. naj kdo komentira.

nekje je nekaj narobe... poglej priponko!

ne, nisi se zmotila, čeprav prvi rezultat ni izračunan na tak način, kot sem si jaz predstavljal. po moje naj bi bil pravilen drugi rezultat; rekurzivna formula je prav, sem pa jaz napačno seštel geometrijsko vrsto (pozabil sem ničti člen, začel sem s prvim členom), to je sedaj prava varianta:
\(S_n= 6 + \frac{18}{11}((\frac{20}{9})^n-1)\).
to bi moglo sedaj biti prav.
pri prvem računu bi moral biti drugi člen pomnožen z 20 (tako kot tretji člen): po prvem koraku imaš ubistvu prvoten objekt razdeljen na 20 kock: vsaki od teh dvajsetih kock na vsaki ploskvi odbiješ en kvadratek (drugi člen), ker pa je tam nastala luknja, pridelaš štiri kvadratke (tretji člen).
sedaj jasno?

šment, moje razumevanje mengerja, rekurzija in splošna formula se sicer ujemajo, ampak sem si narobe predstavljal celotno zadevo. ravnokar sem preverjal svojo formulo z wolfram alpho (btw, vpišeš menger sponge, potem pa lahko vpišeš, katera iteracija te zanima). tko da moje enačbe so neuporabne.
bom še premislil.

če vam pride to kaj v poštev...