Funkcijske vrste

[Mafijec]

Funkcijo \(f(x) = x + 1\) razvij v vrsto po potencah spremenljivke \(u = {x \over (x+1)}\). Določi množico točk \(x \in R\), kjer dobljena vrsta konvergira!

Kdo to zna?

[ZdravaPamet]

Recimo, da bi bila to geometrijska vrsta \(\sum u^{\alpha}\), katere vsota je \(\frac{a}{1-u}\) za \(\left|u\right|<1\). Ko izenačimo vsoto z \(1+x\) in za \(u\) vzamemo \(\frac{x}{x+1}\), dobimo, da je \(a=1\) in tako je vrsta:
\(1+u^{2}+u^{3}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{k}\).
Ki konvergira za \(\left|u\right|<1\).

Mislim, da za x to da \((-1/2, \infty)\). Malo sem na pamet ocenil. Raje sam preveri enačbo z absolutno vrednostjo.

[Aniviller]

Brez ugibanja stvar resis tako, da vstavis
\(x=\frac{u}{1-u}\) v \(f(x)=x+1\) in dobis
\(f(u)=\frac{1}{1-u}\), taylorjeva vrsta za to funkcijo je pa ravno
\(f(u)=\sum_{i=0}^\infty u^i\) s konvergencnim radijem \(|u|\leq 1\)

Drugace je resitev Zdrave Pameti popolnoma pravilna. Vkljucno z resitvijo neenacbe

[Mafijec]

Ok, to razumem nekako. Samo kaj je pač poanta te naloge?

[Mafijec]

\(\sum_{k=2}^{\infty} {1 \over {k^3 + 3*k^2 -k - 3}}\)

Kako se reši ta vrsta?

Razcepim:
\({1 \over {k+3}} + {1 \over {k-1}} - {2 \over {k+1}}\)

Sedaj pa?

[mirko]

Od nekod naprej se ti bodo vsi členi uničili:

1/1 - 2/3 +1/5 + 1/2 - 2/4 + 1/6 +
1/3 - 2/5 +1/7 + 1/4 - 2/6 + 1/8 +
1/5 - 2/7 +1/9 + 1/6 - 2/8 + 1/10 +
1/7 -2/9 + 1/11 + 1/8 - 2/10 + 1/12 +
............................+........................


= 1/1 -2/3 +1/3 + 1/2 -2/4 +1/4 + še nekaj, kar gre proti nič, ko se število členov veča.

Vsota je potem 2/3 + 1/4 = 11/12.

[Mafijec]

Narobe. Rezultat je:

\(11 \over 96\)

[mirko]

Garbage in, garbage out.
Štartal sem s tvojim razcepom, ki mu spredaj manjka 1/8.

[Mafijec]

Hvala, mirko!