A x (B x X) = (A x X) x B
Koliko je vektor X?
X = +/-(A x B)
Je tako?
Vektorji
-
ZdravaPamet
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Poskušaj \(x\) razviti po eni bazi, recimo
\(x=\alpha a + \beta b + \gamma a\times b\)
To vstavi v enačbo in poglej, kaj dobiš za koeficiente.
Jaz dobim na levi strani
\(-\alpha (a\cdot b)a+\alpha \left|a\right|^{2}b-\gamma(a\cdot b)(a\times b)\)
Na desni pa
\(-\beta \left|b\right|^{2}a+\beta(a\cdot b)b+\gamma(a\cdot b)(a\times b)\)
Po primerjavi strani se vidi, da mora biti:
\(\alpha\left|a\right|^{2}=\beta(a\cdot b)\)
\(\alpha(a\cdot b)=\beta\left|b\right|^{2}\)
\(-\gamma(a\cdot b)=\gamma(a\cdot b)\)
Zdaj je pa treba nekako ugotoviti, kaj vse to pomeni. Najprej prvi dve enačbi. Očitno, če ju delimo, dobimo, da je
\((a\cdot b)^{2}=\left|a \right|^{2}\left| b|\right^{2}\)
Se pravi morata biti a in b vzporedna. Potem je po tretji enačbi gama lahko samo 0. Torej je rešitev v tem primeru
\(x=\alpha a+\alpha \frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}b\)
Ali pa če izraziš z beto, nima veze. Konec koncev je vsota dveh vzporednih vektorjev nov vektor v smeri prejšnjih dveh (po bazi), se pravi je kar \(\theta a\) recimo (če b izrazimo z a). Seveda, potem sta tu še dolžini vektorjev a in b pod vprašajem.
Če pa potem upuštevaš, da sta a in b nevzporedna, in še več, da sta pravokotna. Potem je alfa takoj nič, beta tudi nič, gama pa karkoli. Torej, če sta pravokotna velja, da je rešitev \(\gamma a\times b\). Res morata biti pravokotna, če ne to ni rešitev.
Če sta pa nevzporedna in nepravokotna, potem pa po zadnji enačbi ostane, da mora biti gama enak 0 in pravtako tudi alfa in beta. Rešitev je potem kar vktor 0.
Upam, da je kaj prav. Čisto možno, da sem se zmotil pri kakšnem računanju ali še bolj pri sklepanju. Tole sem že kar malo pozabil.
\(x=\alpha a + \beta b + \gamma a\times b\)
To vstavi v enačbo in poglej, kaj dobiš za koeficiente.
Jaz dobim na levi strani
\(-\alpha (a\cdot b)a+\alpha \left|a\right|^{2}b-\gamma(a\cdot b)(a\times b)\)
Na desni pa
\(-\beta \left|b\right|^{2}a+\beta(a\cdot b)b+\gamma(a\cdot b)(a\times b)\)
Po primerjavi strani se vidi, da mora biti:
\(\alpha\left|a\right|^{2}=\beta(a\cdot b)\)
\(\alpha(a\cdot b)=\beta\left|b\right|^{2}\)
\(-\gamma(a\cdot b)=\gamma(a\cdot b)\)
Zdaj je pa treba nekako ugotoviti, kaj vse to pomeni. Najprej prvi dve enačbi. Očitno, če ju delimo, dobimo, da je
\((a\cdot b)^{2}=\left|a \right|^{2}\left| b|\right^{2}\)
Se pravi morata biti a in b vzporedna. Potem je po tretji enačbi gama lahko samo 0. Torej je rešitev v tem primeru
\(x=\alpha a+\alpha \frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}b\)
Ali pa če izraziš z beto, nima veze. Konec koncev je vsota dveh vzporednih vektorjev nov vektor v smeri prejšnjih dveh (po bazi), se pravi je kar \(\theta a\) recimo (če b izrazimo z a). Seveda, potem sta tu še dolžini vektorjev a in b pod vprašajem.
Če pa potem upuštevaš, da sta a in b nevzporedna, in še več, da sta pravokotna. Potem je alfa takoj nič, beta tudi nič, gama pa karkoli. Torej, če sta pravokotna velja, da je rešitev \(\gamma a\times b\). Res morata biti pravokotna, če ne to ni rešitev.
Če sta pa nevzporedna in nepravokotna, potem pa po zadnji enačbi ostane, da mora biti gama enak 0 in pravtako tudi alfa in beta. Rešitev je potem kar vktor 0.
Upam, da je kaj prav. Čisto možno, da sem se zmotil pri kakšnem računanju ali še bolj pri sklepanju. Tole sem že kar malo pozabil.
Če je znano (podatek pri nalogi), da sta vektorja A in B med seboj pravokotna (in posledično njun skalarni produkt enak 0), potem je ta rešitev v redu. Če pa to ni znano, moraš dodatno utemeljiti, kako si se do tega dokopal.Mafijec napisal/-a:Hja, jaz sem rešil takole:
A x (B x X) = (A x X) x B
- [(ba)x - (ax) b] = (ab)x - (xb)a
ab = 0
(ax)b = - (bx)a
enačba velja le, če ax = 0 in bx = 0.
Zamolčal si nam bistveni podatek, ki reševanje problema zelo poenostavi.Hvala vsem skupaj!
In ja, v nalogi je to napisano.
Nisem prepričan, kaj želiš vprašati. Kar se tiče vektorskega produkta, je X, dobljen kot vektorski produkt A in B, pravokoten na ravnino, ki ga napenjata A in B, iz česar sledi, da je X hkrati pravokoten tako na A kot na B.Še to:
X = (A x B)
to ni vedno enako
X je pravokoten na A in B.
Navedeno zlahka pokažemo upoštevajoč naslednjo identiteto:
\(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})\)
Sledi:
\(\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{A}) = \vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{A}) = 0\)
saj velja:
\(\vec{A} \times \vec{A} = 0\)
Ker je torej:
\(\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0\)
je A pravokoten na vektor A x B oz. X.
Podobno pokažemo za vektor B.
a ziher? pomoje se da cist lepo posplosit. ce mas recimo prostor s skalarnim produktom, pol reces da je pravokotno takrat ko je skalarni produkt enak 0, pa smo ze skor tam. recimo v 3D prostoru: ce mas podan vektor A je nanj pravokotna cela ravnina - v vecrazseznem bi bli pa pac celi podprostori s se vecjo dimenzijo pravokotni nanj.
kam se manjka? dolzina pa usmerjenost - usmerjenost lahko spet po kaksni analogiji s koti - nov vektor obrnes tako da bo pozitivna usmerjenost glede na prejsnje. dolzino pa tako da zracunas volumen, alpa hipervolumen (no pac 10razsezen+ volumen, ne vem kako bi mu reku;>), cisto analogno po ploscini paralelepipeda ki ga v 3D napenjata onadva vektorja ki ju mnozis..
pa sej tako ali tako - vektorski produkt je primer (bi)linearnega antisimetricnega funkcionala ki slika iz par urejenih trojk v urejeno trojko.. to pa tut za prostore z visjimi dimenzijami obstaja. no ce ze ne drugega se da cist lepo v splosnem definirat.
kam se manjka? dolzina pa usmerjenost - usmerjenost lahko spet po kaksni analogiji s koti - nov vektor obrnes tako da bo pozitivna usmerjenost glede na prejsnje. dolzino pa tako da zracunas volumen, alpa hipervolumen (no pac 10razsezen+ volumen, ne vem kako bi mu reku;>), cisto analogno po ploscini paralelepipeda ki ga v 3D napenjata onadva vektorja ki ju mnozis..
pa sej tako ali tako - vektorski produkt je primer (bi)linearnega antisimetricnega funkcionala ki slika iz par urejenih trojk v urejeno trojko.. to pa tut za prostore z visjimi dimenzijami obstaja. no ce ze ne drugega se da cist lepo v splosnem definirat.