Koreni in Logaritmi

[alexa-lol]

Pozdrav,
slisal sem da obstajajo nekaksne enacbe za racunanje korenov X stevila(in logaritmov). Ce jih veste mi jih napisite.

lp

[ZdravaPamet]

Misliš, kako izračunati n-ti koren ali logaritem nekega števila s pomočjo kakšne formule, kjer koreni in logaritmi ne nastopajo, pač pa kakšne potenčne funkcije ali rekurzivne zveze? Vrsto za logaritem poznam. Z njo lahko izračunaš logaritem poljbunega števila. Takale je:
\(\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2x\left(1+\frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{4}}{5}+\frac{x^{6}}{7}+\ldots\right)\)
Samo x moraš izbrati pravi (\(-1<x<1\)), da bo pod logaritmom izbrano število.
Za korenov pa tudi nekaj podobnega, samo en trik je vmes. Tukaj je stran, kjer je lepo opisano, kako izračunaš s pomočjo vrste.
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.sqrt.by.hand.html

[alexa-lol]

hi,
ali sem prav razumel.
tam ko je x2 / 3, potem x3 / 5, x4 / 7 ->to gre potem naprej po prastevilih?
ali potem sledi x5/ 9 ali x5/11?

lp

[ZdravaPamet]

Ne, ne smeš dodajati členov. Vrsta je razvita do prvih štirih členov, lahko jo samo nadaljuješ- Res sem malo nerodno zapisal. Takole bo bolje:
\(\ln\frac{1+x}{1-x}=2x\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2k+1}\)
Se pravi, da gredo potence x-a po mnogokratnikih števila dva. Spodaj pod ulomkovo črto pa prišteješ enko. x na pet ali x na tri ni v tej vrsti.

[ZdravaPamet]

Bom naredil primer. Zanima te naravni logaritem števila 13. Najprej določiš x.
\(\frac{1+x}{1-x}=13\)
\(x=\frac{6}{7}\)
Zdaj pa vzameš kalkulator in seštevaš:
\(\ln 13 = 2\cdot\frac{6}{7}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\frac{1}{5}\left(\frac{6}{7}\right)^{4}+\frac{1}{7}\left(\frac{6}{7}\right)^{6}+\ldots \right)\)
S štirimi členi dobiš rezultat 2.4163. Točnejši pa je 2.5649.
Večjo številko ko boš izbral, več členov boš moral sešteti, če računaš po tej formuli.

[alexa-lol]

hi,
a mogoce kdo ve formula za izpeljavo korena?

npr. \(3^8=6561\)

npr. da bi mel stevilo 6561 pa bi hotel zracunati 8 koren tega stevila?
Če obstaja kaka splosna formula?

[Mafijec]

\(\root 8 \of {6561} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{{6561}}}\)

Mogoče se kaj s Taylorjevo vrsto da...

Sicer imaš:

\((1 + x)^{1 \over 2} = 1 + {1 \over 2} x - { 1* 1 \over {2 * 4}} x^2 + {1 * 1 * 3 \over {2 * 3 * 6}} x^3 + ...\)

[ZdravaPamet]

Ja, se strinjam. Taylorjeva vrsta za funkcijo \(a^{1/x}\) razvita okoli točke, recimo 8 (ki je najbližja stopnji korena).
Samo členi v tej vrsti so neprebavljivi.

[Mafijec]

@ZdravaPamet: Mogoče kaj veš, ali tako kalkulatorji računajo?

[ZdravaPamet]

Uh, ne vem. Bi pa rekel, da ne s Taylorjevo vrsto. Morda najprej najdejo kakšno oceno za koren, potem pa razpolavljajo intervale (podobno kot mi peš iščemo recimo kvadratne korene) in ko najdejo številko na osem mest natančno, končajo. Samo ugibam.

[kren]

z binomsko vrsto se sicer res da, vendar konvergira le za |x| < 1.

rajsi zapises takole \(\sqrt{x} = e ^{\frac{1}{2} \ln{x}}\), logaritem je pa ze ZdravaPamet opisal

[ZdravaPamet]

Kren, odlična ideja!
Takole je pa bolje:
\(a^{1/x}=1+\frac{\ln a}{x}+\frac{(\ln a)^{2}}{x^{2}\cdot 2!}+\cdots\)
Recimo:
\(10^{1/8}=1+\frac{1}{8}\ln 10+\frac{1}{8^{2}}\frac{(\ln 10)^{2}}{2!}+\frac{1}{8^{3}}\frac{(\ln 10)^{3}}{3!}\approx 1,333\)
Na tri decimalke natančno.

[Mafijec]

LOL, pa to je splošna eksponentna vrsta.

[ZdravaPamet]

Ja, v tem je lepota. Logaritem osnove izračunamo, pa imamo vrsto za x-ti koren.

[alexa-lol]

ne sj ubistvu jst rabim samo tako nekako.....
da ce bi imel npr. stevlo 16 000 da je to \(25^3 + x...\)ubistvu samo do decimalne vejice

\(25^3=15625\)