Tayloryeva formula je definirana kot: f(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)+(f''(a)*(x-a)^2)/6+...
Zdej me pa zanima, zakaj so pri izpeljavi trigonometričnih funkcij, npr sin(x)=x-(x^3)/6+... vzeli za a ravno 0. Zakaj pa niso sin(x) izpeljali za npr. a=pi/37 ?
taylorjeva formula
Vrsta za sinus konvergira po celi realni osi. Dobit moras isto, verjetno si sestel premalo clenov. Poskusi si narisat s kaksnim programom.
Seveda je pa vrsta cisto drugacna, saj zahtevas da je polinom priblizek funkcije v drugi tocki kot prej. Sele ko sestejes neskoncno clenov, dobis isti rezultat.
p.s. Ce razvijas okrog pi/2 bos dobil vrsto za kosinus (ce ze nisi opazil pri drugem clenu), vstavljeno pri x-pi/2, ker velja
\(\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)
Opozoriti pa moram, da ne velja za vse funkcije, da Taylorjeve vrste konvergirajo po celi realni osi. Za tiste je pomembno kje razvijas, ker vrsta velja samo v doloceni blizini tiste tocke. Primer je \(\frac{1}{1+x^2}\), ce razvijes okrog 0, bo konvergencni radij 1 (torej vrsta konvergira na intervalu (-1,1)), ce pa razvijes npr. okrog 2, bo konvergencni radij \(\sqrt{5}\) in bo vrsta veljala na priblizno (-0.24,4.24)). Zunaj teh obmocij bodo cleni vrste vedno vecji, vsota ti ''pobegne''.
Pa se to, pri lepih funkcijah se da uganit pravilo, da ti ni treba racunat odvodov.
Seveda je pa vrsta cisto drugacna, saj zahtevas da je polinom priblizek funkcije v drugi tocki kot prej. Sele ko sestejes neskoncno clenov, dobis isti rezultat.
p.s. Ce razvijas okrog pi/2 bos dobil vrsto za kosinus (ce ze nisi opazil pri drugem clenu), vstavljeno pri x-pi/2, ker velja
\(\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)
Opozoriti pa moram, da ne velja za vse funkcije, da Taylorjeve vrste konvergirajo po celi realni osi. Za tiste je pomembno kje razvijas, ker vrsta velja samo v doloceni blizini tiste tocke. Primer je \(\frac{1}{1+x^2}\), ce razvijes okrog 0, bo konvergencni radij 1 (torej vrsta konvergira na intervalu (-1,1)), ce pa razvijes npr. okrog 2, bo konvergencni radij \(\sqrt{5}\) in bo vrsta veljala na priblizno (-0.24,4.24)). Zunaj teh obmocij bodo cleni vrste vedno vecji, vsota ti ''pobegne''.
Pa se to, pri lepih funkcijah se da uganit pravilo, da ti ni treba racunat odvodov.
Re: taylorjeva formula
kako to resim
Naj bo f(x) = (1 − x) ln(1 − x^2)
razvij okoli x0=0
in doloci 100-ti odvod v tocki 0
Naj bo f(x) = (1 − x) ln(1 − x^2)
razvij okoli x0=0
in doloci 100-ti odvod v tocki 0
-
- Prispevkov: 97
- Pridružen: 5.6.2013 21:34
Re: taylorjeva formula
V čem je sploh finta te Taylorjeve formule.. zakaj oz. računanje česa se najbolj uporablja v praksi?
Re: taylorjeva formula
Joj a se hecas? Taylorjeva formula je kruh in mleko fizike, se stalno uporablja. V osnovi Taylorjev razvoj opise obnasanje funkcije v neposredni okolici neke tocke, in to je uporabno za ugotovitev obnasanja v tej okolici (recimo v okolici minimuma funkcija izgleda kot parabola, od koder dobis frekvence nihanj okrog izhodisce), izracun v primerih ko znas resit za polinomsko funkcijo, cela funkcija je pa katastrofalno komplicirana; lahko prava funkcija sploh ni znana in uporabis polinomski nastavek s par cleni in dobis vsaj priblizno dogajanje. Ce imas recimo kaj za resit (diferencialna enacba, integral, vsota...) in je stvar neresljiva v zakljuceni obliki, lahko razvijes po taylorju, po clenih resis (integriras vsak clen posebej,..) in imas rezultat izrazen kot vsoto potencne vrste: bolje kot nic in za prakticne primere ravno tako dobro, pa se priblizek dobis ce obdrzis samo par clenov. Obnasanje v okolici je tudi uporabno, ko dejansko isces fizikalne zakone za nek sistem in zapises zakone (recimo 2. newtonov) za nek majhen koscek, razvijes, in dobis obnasanje, ki je v limiti tocno in dobis diferencialno enacbo, ki velja za sistem. Podobno dobis tudi oceno napake racuna iz napake vhodnih podatkov. Razvoj ti ponavadi pove vec kot original - razbije na prispevke z vedno manjso pomembnostjo. V dolocenih primerih imajo posamezni cleni celo pomen (recimo v smislu da nicti clen pove direkten prispevek, recimo osvetlitve prostora, prvi clen osvetlitev po enem odboju od okolice,...). In tako naprej. Niti ne morem nehat nastevat
Za nalogo: funkcijo ln(1-x^2) znas razvit, ker poznas razvoj ln(1-u)=-(u+u^2/2+u^3/3+....), in u je tisti mali odmik od 1, v tem primeru u=x^2.
Ker tisto z logaritmom lahko zapises kot splosni clen (z n-ji) imas tudi za cel izraz splosni clen, iz katerega lahko n=100 direktno izrazis.
Za nalogo: funkcijo ln(1-x^2) znas razvit, ker poznas razvoj ln(1-u)=-(u+u^2/2+u^3/3+....), in u je tisti mali odmik od 1, v tem primeru u=x^2.
Ker tisto z logaritmom lahko zapises kot splosni clen (z n-ji) imas tudi za cel izraz splosni clen, iz katerega lahko n=100 direktno izrazis.