MAtematika 1 - analitična geometrija

[matofcb]

živjo jaz mam v četrtek izpit iz matematike 1 na fgg, pa mam eno nalogo k jo ne znam rešit

Premica q poteka skozi točko T(2,3,2) in je pravokotna na premico p : -x = (y+1)\2 = z-2

poišči enačbo ravnine ki vsebuje premico q in poteka skozi točko R(3,5,5). Poišči še kot med ravnino in premico p??

Hvala vnaprej!!!!

[shrink]

Pa saj si to že vprašal (in dobil odgovor):

viewtopic.php?f=23&t=1528&p=37969#p37969

[matofcb]

hvala nisem videl

zdaj me pa zanima še tale naloga prosim.

limita ko gre n v neskončnost
ln(n2−n+1)\ln(n5+5n+7)

[Aniviller]

Daj pisi deljenje tako kot se spodobi \ se res ne uporablja v tem kontekstu. Pa za potenciranje velja isto, se res ne vidi kaj si mislil s tem.

Torej... ko gre "n" v neskoncnost, od obeh polinomov ostane pomemben samo vodilni clen:
\(\frac{\ln (n^2-n+1)}{\ln(n^5+5n+7)}\to\frac{\ln n^2}{\ln n^5}=\frac{2}{5}\)

[fmf]

Lepo prosim za malo pomoči....

Dan je trikotnik ABC. Točke P, Q in R delijo stranice AB, BC in CA v razmerju
1 : 2. Daljici AQ in CP se sekata v točki D, daljici AQ in BR v točki E, daljici
BR in CP pa v točki F. Določi razmerje med ploščinama trikotnikov DEF in
ABC.

Izbral sem si dva vektorja:

\(\vec{AB}\)= \(\vec{a}\)
\(\vec{BC}\)=\(\vec{b}\)

Vem, da moram izračunati vektorski produkt \((\vec{DE}x\vec{EF})/2\).
Kako izrazim \(\vec{DE}\) ter \(\vec{EF}\) z vektorjema \(\vec{a}\) in \(\vec{b}\)

[Aniviller]

Po vrsti:
A=A
B=A+a
C=A+a+b

P=A+a/3
Q=B+b/3=A+a+b/3
R=A+2(AC)/3=A+2(C-A)/3=A+2a/3+2b/3

D=A+(Q-A)*x=P+(C-P)*u
E=B+(R-B)*y=Q+(A-Q)*v
F=C+(P-C)*z=R+(B-R)*w

Zdaj moras dobit x,u,y,v,z,w

A+(a+b/3)*x=A+a/3+(2a/3+b)*u
A+a+(-a/3+2b/3)*y=A+a+b/3+(-a-b/3)*v
A+a+b+(-2a/3-b)*z=A+2a/3+2b/3+(a/3-2b/3)*w

Po komponentah enacbe:
x=1/3+2u/3
x/3=u
1-y/3=1-v
2y/3=1/3-v/3
1-2z/3=2/3+w/3
1-z=2/3-2w/3

u=1/7, x=3/7
Ampak: konstrukcija je simetricna, in ciklicna zamenjava oglisc ne spremeni nic, tako da mora bit x=y=z in u=v=w. V principu bi bilo treba napisat samo eno presecisce, ampak sem napisal vse, da vidis kako bi slo.

Tudi iz teh razmerij bi se dalo prit do razmerja ploscin, ampak recimo da greva tako kot predlagas. Isceva \(DE\times EF\)...
DE=E-D=B+(R-B)*3/7-A-(Q-A)*3/7=a+(-a/3+2b/3)*3/7-(a+b/3)*3/7
=3a/7+b/7
EF=F-E=a+b+(-2a/3-b)*3/7-a-(-a/3+2b/3)*3/7=-a/7+2b/7
in na koncu
\(DE\times EF=(3a/7+b/7)\times(-a/7+2b/7)\)\(=6/49 a\times b-1/49 b\times a=1/7 a\times b\)
torej je ploscina notranjega trikotnika sedmina zunanjega.
Ce nisem kje zamocil, tile ulomki so idealni za napake delat

[Aniviller]

Mimogrede, v trikotnikih, se posebej ce imas vse tako simetricno, se splaca delat simetricno, kar z enakovrednimi oglisci (v zgornji resitvi ima A posebno vlogo, in a in b sta dve izbrani stranici, tako da se simetrija izgubi, razen za x=y=z in u=v=w, kjer je simetrija se vedno prisotna).

V trikotniku lahko vsako tocko lahko zapises kot utezeno povprecje oglisc, tako da se utezi sestejejo v 1. V tem stilu imas
P=2/3A+1/3B
Q=2/3B+1/3C
R=2/3A+1/3A

In iz podobnega zapisa kot prej
D=P(1-u)+Cu=Q(1-x)+Ax
dobis s primerjavo clenov takoj
u=1/7, x=4/7 (4/7 zato ker sem zapisal z druge strani kot prej, ko je bilo 3/7).
In iz tega
D=4/7A+2/7B+1/7C
(vidis da je vsota predfaktorjev 1) in iz simetrije takoj lahko zapises
E=4/7B+2/7C+1/7A
F=4/7C+2/7A+1/7B

Ploscina trikotnika s podanimi oglisci je pol tele determinante:
\(\begin{vmatrix}A\\B\\C\end{vmatrix}\)
kjer so tocke A, B, C zlozene po koordinatah v vrstice (s tretjo komponento postavljeno na 1). Ce vstavis D,E,F za oglisca, imas v determinanti vsote vrstic, in to lahko razpises v vsoto determinant:
\(\begin{vmatrix}4/7A+2/7B+1/7C\\4/7B+2/7C+1/7A\\4/7C+2/7A+1/7B\end{vmatrix}\)
Po vsaki vrstici lahko razvijes po vsoti, ampak ponovljene lahko takoj odstranis, saj determinanta s ponovljenimi vrsticami znasa 0. Recimo razvoj vsote v prvi vrstici:
\(=4/7\begin{vmatrix}A\\4/7B+2/7C+1/7A\\4/7C+2/7A+1/7B\end{vmatrix}\)\(+2/7\begin{vmatrix}B\\4/7B+2/7C+1/7A\\4/7C+2/7A+1/7B\end{vmatrix}\)\(+1/7\begin{vmatrix}C\\4/7B+2/7C+1/7A\\4/7C+2/7A+1/7B\end{vmatrix}\)
Zdaj odstranis ponovljene A-je v prvi, ponovljene B-je v drugi...
\(=4/7\begin{vmatrix}A\\4/7B+2/7C\\4/7C+1/7B\end{vmatrix}\)\(+2/7\begin{vmatrix}B\\2/7C+1/7A\\4/7C+2/7A\end{vmatrix}\)\(+1/7\begin{vmatrix}C\\4/7B+1/7A\\2/7A+1/7B\end{vmatrix}\)
Vajo lahko ponovis, upostevas, da ciklicna permutacija vrstic ohranja predznak, menjava dveh vrstic ga pa zamenja, in dobis
\(=(\frac47(\frac47\frac47-\frac27\frac17)+\frac27(\frac27\frac27-\frac17\frac47)+\frac17(\frac17\frac17-\frac47\frac27))\begin{vmatrix}A\\B\\C\end{vmatrix}\)
\(=\frac{1}{7}\begin{vmatrix}A\\B\\C\end{vmatrix}\)

To mogoce izgleda zoprno, ampak v resnici je ta predfaktor kar determinanta matrike
\(\begin{vmatrix}4/7& 2/7&1/7\\1/7&4/7&2/7\\2/7&1/7&4/7\end{vmatrix}\)
kar so ravno predfaktorji v tockah, izrazenih z originalnimi oglisci. To velja univerzalno: ce imas tri tocke izrazene kot utezena povprecja tock nekega drugega trikotnika, je razmerje ploscin kar determinanta predfaktorjev.

Ohranjanje simetrije se sigurno splaca

[fmf]

Hvala...zdej mi je jasno. A ni pri vektorskem produktu tam še deljeno z 2, ker je trikotnik?

[Aniviller]

Saj je pri determinanti tudi. Samo nima veze, saj isces razmerje.

[fmf]

To vem, da iščem razmerje...a ni DExEF ploščina paralelograma? Če bi tisti vekotorski produkt delil 2 pa dobim razmerje 1:14

[Aniviller]

Seveda je DExEF ploscina paralelograma, ampak axb je tudi ploscina paralelograma, tako da ko delis ploscini, se polovicka pokrajsa.

[fmf]

Haha...točno ja, hvala