Oo...res ti hvala za tako izčrpno razlago....torej pri 1.) primeru integral konvergira za vsak \(\alpha\) večji od 0, torej tudi za \(\alpha \in (0,1)\), kar je potrebno za konvergenco integrala "v končnih mejah"?
Kako bi se pa lotil primera: obravnavaj konvergenco integrala("z mojo definicijo") \(\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{(arctgx)^{a}(1+x^2)}\), a je večji ali enak 0?
Integral
Re: Integral
No, saj to je samo test, fi(x) je le izbira konvergencnega kriterija, tako da niti nima smisla rect, da konvergira za nek alfa - integral je en sam (vsaj v strogem smislu), alfa ti po tem testu pove le, ali konvergira ali ne (glede na obstoj limite za katerikoli alfa manjsi od 1 - cim najdes en alfa, ki temu ustreza, je ok). Je pa res, da ce se poglobis v definicijo, alfa pove nekaj tudi o tem, s kaksno potenco x-a smes delit ali mnozit izraz, da se vedno konvergira. Ampak to se lazje vidi iz razvojev v vrsto, ce razvoj obstaja.
Naslednji integral:
Okrog nicle takoj lahko stran vrzes 1+x^2. Ostane ti torej
\(\lim \frac{x^{1/2+\alpha}}{(\arctan x)^a}\)
kjer lahko uporabis razvoj (oziroma dejstvo, da za majhne x velja \(\arctan x\approx x\)), da se znebis arkus tangensa. Seveda se lahko spravis tudi odvajat, bo prislo isto (pri posrednem odvajanju dobis faktor 1/(1+x^2), ki itak limitira proti 1, samo na ta nacin je lazje.
\(\lim x^{1/2+\alpha-a}\)
To konvergira (proti 0), ce je eksponent vecji od 0.
\(1/2+\alpha-a>0\)
oziroma
\(\alpha>a-1/2\)
Torej, za
0<a<3/2 integral konvergira, sicer pa ne (ker mora bit alfa manjsi od 1).
Ko gres v neskoncnost, je pa arkus tangens konstanta (pi/2) in gledas samo \(\frac{x^\alpha\sqrt{x}}{1+x^2}}\), kjer spet z lahkoto vrzes enko stran v imenovalcu in dobis potencni izraz za limito.
Naslednji integral:
Okrog nicle takoj lahko stran vrzes 1+x^2. Ostane ti torej
\(\lim \frac{x^{1/2+\alpha}}{(\arctan x)^a}\)
kjer lahko uporabis razvoj (oziroma dejstvo, da za majhne x velja \(\arctan x\approx x\)), da se znebis arkus tangensa. Seveda se lahko spravis tudi odvajat, bo prislo isto (pri posrednem odvajanju dobis faktor 1/(1+x^2), ki itak limitira proti 1, samo na ta nacin je lazje.
\(\lim x^{1/2+\alpha-a}\)
To konvergira (proti 0), ce je eksponent vecji od 0.
\(1/2+\alpha-a>0\)
oziroma
\(\alpha>a-1/2\)
Torej, za
0<a<3/2 integral konvergira, sicer pa ne (ker mora bit alfa manjsi od 1).
Ko gres v neskoncnost, je pa arkus tangens konstanta (pi/2) in gledas samo \(\frac{x^\alpha\sqrt{x}}{1+x^2}}\), kjer spet z lahkoto vrzes enko stran v imenovalcu in dobis potencni izraz za limito.
Re: Integral
Hvala....tko je velik bolš razloženo kot pa v knjigi:D.
Tle v datoteko sm prložu dokument(kolokvij analiza1). Če se ti mogoče da pogledat, kako bi 4. rešu. Vem, da morš napisat kot limito zaporedja Riemannovih vsot in pol prepoznat funkcijo...sam mi nekak ne rata istega člena iz vseh ulomkov izpostavi(interval delta x s tem mislem). Mogoče bi lahk iz imenovalca 2n povsod izpostavu...ne vem točm, mal sm se zgubu:D
Tle v datoteko sm prložu dokument(kolokvij analiza1). Če se ti mogoče da pogledat, kako bi 4. rešu. Vem, da morš napisat kot limito zaporedja Riemannovih vsot in pol prepoznat funkcijo...sam mi nekak ne rata istega člena iz vseh ulomkov izpostavi(interval delta x s tem mislem). Mogoče bi lahk iz imenovalca 2n povsod izpostavu...ne vem točm, mal sm se zgubu:D
- Priponke
-
an1k31112.pdf- (96.31 KiB) Prenešeno 125 krat
Re: Integral
Ja, tako nekako bo slo. Si na pravi poti. Opazis, da imas opravka s stevili med n in 3n (interval sirine 2n) in, da mnozis simetricne elemente iz ene in druge strani. Ce hoces preit na Riemannovo vsoto, rabis tri stvari:
1) integracijsko obmocje, ki se ne premika ko gre n proti neskoncno (torej, idealno bi zeleli nek integral od 0 do 1).
2) vsoto zapisano s tekoco spremenljivko, ki bo potem postala x. Ponavadi imas preslikavo v x=i/n.
3) izpostavljen 1/n, ker za Riemannovo vsoto rabis clen dx=1/n, ki ustreza diferencialu in gre proti 0.
Torej, prepises na vsoto:
\(\sum_{i=1}^n \frac{6}{\sqrt{(2n-i)(2n+i)}}\)
Izpostavis:
\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{6}{\sqrt{(2-i/n)(2+i/n)}}\)
Zdaj pa vidis dx=1/n in x=i/n (to je univerzalno za Riemannov integral - enakomerna delitev na enako siroke integrale). Torej lahko v limiti pises direktno
\(=\int_0^1 \frac{6}{\sqrt{4-x^2}}{\,\rm d}x\)
1) integracijsko obmocje, ki se ne premika ko gre n proti neskoncno (torej, idealno bi zeleli nek integral od 0 do 1).
2) vsoto zapisano s tekoco spremenljivko, ki bo potem postala x. Ponavadi imas preslikavo v x=i/n.
3) izpostavljen 1/n, ker za Riemannovo vsoto rabis clen dx=1/n, ki ustreza diferencialu in gre proti 0.
Torej, prepises na vsoto:
\(\sum_{i=1}^n \frac{6}{\sqrt{(2n-i)(2n+i)}}\)
Izpostavis:
\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{6}{\sqrt{(2-i/n)(2+i/n)}}\)
Zdaj pa vidis dx=1/n in x=i/n (to je univerzalno za Riemannov integral - enakomerna delitev na enako siroke integrale). Torej lahko v limiti pises direktno
\(=\int_0^1 \frac{6}{\sqrt{4-x^2}}{\,\rm d}x\)
Re: Integral
Res ti hvala 
...lahk bi meu kakšne inštrukcije, dodaten posel 
...lahk bi meu kakšne inštrukcije, dodaten posel Re: Integral
Je ze na forumu dovolj dela Instrukcije zahtevajo biznis - oglasevanje uslug, dogovarjanje za prostor in cas, da ne govorimo o tem, da imam malo slabo vest zaracunavat
Instrukcije zahtevajo biznis - oglasevanje uslug, dogovarjanje za prostor in cas, da ne govorimo o tem, da imam malo slabo vest zaracunavat Re: Integral
živjo, lepo bi prosu, če bi mi lahko nekdo na hitr tale integral rešu
integral 24/(((x-2)^2)*(x^2+2x+4))dx......u števcu je 24.
Hvala za odgovor
integral 24/(((x-2)^2)*(x^2+2x+4))dx......u števcu je 24.
Hvala za odgovor
Re: Integral
Razcep na parcialne ulomke... ker imas en clen v kvadratu, drug clen pa nerazcepen, je nastavek
\(\frac{A}{(x-2)^2}+\frac{B}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+4}\)
in ko dolocis koeficiente, imas samo potencne fukcije, logaritme in v primeru zadnjega clena, dopolnitev do popolnega kvadrata v stilu x^2+2x+4=(x+1)^2+3 in s tem arkus tangens.
Za preverjanje vedno lahko doma instaliras Mathematico, ali preveris z online integratorjem
ali wolfram alpha
\(\frac{A}{(x-2)^2}+\frac{B}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+4}\)
in ko dolocis koeficiente, imas samo potencne fukcije, logaritme in v primeru zadnjega clena, dopolnitev do popolnega kvadrata v stilu x^2+2x+4=(x+1)^2+3 in s tem arkus tangens.
Za preverjanje vedno lahko doma instaliras Mathematico, ali preveris z online integratorjem
Koda: Izberi vse
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=24%2F%28%28x-2%29^2%28x^2%2B2x%2B4%29%29&random=falseKoda: Izberi vse
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[24%2F%28%28x-2%29^2%28x^2%2B2x%2B4%29%29%2Cx]Re: Integral
Mislim da ce koren das za novo spremenljivko, odpravis korene in dobis racionalno funkcijo, kjer ti potem razep na parcialne ulomke pomaga do resitve.