Množice

[herkules]

Dokazati ali ovržti moram naslednje enakosti, kjer je P potenčna množica:

1.) P(AUB) = P(A) U P(B)
2.) 3.) enako, le da gre za presek; razliko

Če se ne motim, je to potrebno dokazovati v obe smeri, torej prvič je leva stran podmnožica desne, drugič obratno, vendar pa mi ni popolnoma jasno, kako bi to izpeljal...

[Aniviller]

1) Vsaka mnozica v \(P(A\cup B)\) je sestavljena iz poljubnega stevila elementov iz A in B. Te lahko sortiras v dve skupini:
\(x\in P(A\cup B)=x_A \cup x_B\)
pri cemer je \(x_A\subset A\), \(x_B\subset B\). Unija na desni strani tvoje enacbe vsebuje vse mnozice, ki imajo elemente zgolj iz A in zgolj iz B, ne pa tistih, ki imajo mesane. Primer:
A={1,2}
B={3,4}

P(A)={ {},{1},{2},{1,2} }
P(B)={ {},{3},{4},{3,4} }

P(A U B)={ {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
P(A) U P(B)={ {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {3,4} }
To dvoje ni isto


Za presek bo pa mislim da ok, ker odstranis ravno vse tiste mnozice, ki imajo mesane elemente.

[herkules]

Super, hvala!