Lep pozdrav!
Mi slučajno lahko kdo pomaga z naslednjo nalogo:
Za 0<=y<=1 izračunaj odvod funkcije:
F(y)=\(\int^1_0\frac{ln(1+xy)}{1+x^2}dx\).
Integral/odvod
Re: Integral/odvod
Saj y nastopa samo znotraj integrala. Odvajanje po parametru lahko neses v integral (y je za integracijo konstanta), tako da dobis
\(F'(y)=\int_0^1 \frac{x}{(1+xy)(1+x^2)}dx\)
Parcialni ulomki in do konca integriras.
\(F'(y)=\int_0^1 \frac{x}{(1+xy)(1+x^2)}dx\)
Parcialni ulomki in do konca integriras.
Re: Integral/odvod
Najlepša hvala za odgovor.
V tem času sem tudi sam prišel do sem, ne vem pa zakaj se mi pri parcialnih ulomkih ustavi... Nikakor ne morem dobit nečesa kar bi mi pomagalo iz tega, morda kaj spregledujem ali pa delam kaj narobe. Sem mislil da sem morda kaj spregledal že prej v postopku, zato sem počakal še na odgovor. Bom še enkrat preveril moje reševanje od tukaj dalje.
Lep pozdrav.
V tem času sem tudi sam prišel do sem, ne vem pa zakaj se mi pri parcialnih ulomkih ustavi... Nikakor ne morem dobit nečesa kar bi mi pomagalo iz tega, morda kaj spregledujem ali pa delam kaj narobe. Sem mislil da sem morda kaj spregledal že prej v postopku, zato sem počakal še na odgovor. Bom še enkrat preveril moje reševanje od tukaj dalje.
Lep pozdrav.
Re: Integral/odvod
Pri parcialnih ulomkih bos pustil 1+x^2 v enem kosu, ker se ne da razstavit v realnem, bo pa ta clen jasno rabil polinom prve stopnje v stevcu (pac za 1 stopnjo manj kot imenovalec). Torej:
\(\frac{A}{1+xy}+\frac{Bx+C}{1+x^2}=\frac{x}{(1+xy)(1+x^2)}\)
\(A(1+x^2)+(Bx+C)(1+xy)=x\)
Iz tega sledi
A+C=0
B+Cy=1
A+By=0
kar vodi v resitev
\(B=\frac{1}{1+y^2}\)
\(A=-C=-\frac{y}{1+y^2}\)
koncni integral pa potem pride
\(\frac{1}{1+y^2}\left(-\int_0^1 \frac{y\,dx}{1+xy}+\int_0^1\frac{x+y}{1+x^2}dx\right)\)
Prvi integral je direktno logaritem, drugi je pa vsota arkus tangensa in logaritma. Meje so pa tudi zelo lepe.
\(\frac{A}{1+xy}+\frac{Bx+C}{1+x^2}=\frac{x}{(1+xy)(1+x^2)}\)
\(A(1+x^2)+(Bx+C)(1+xy)=x\)
Iz tega sledi
A+C=0
B+Cy=1
A+By=0
kar vodi v resitev
\(B=\frac{1}{1+y^2}\)
\(A=-C=-\frac{y}{1+y^2}\)
koncni integral pa potem pride
\(\frac{1}{1+y^2}\left(-\int_0^1 \frac{y\,dx}{1+xy}+\int_0^1\frac{x+y}{1+x^2}dx\right)\)
Prvi integral je direktno logaritem, drugi je pa vsota arkus tangensa in logaritma. Meje so pa tudi zelo lepe.
Re: Integral/odvod
Vidim kaj sem delal narobe, glede iracionalnega dela mi ni bilo čisto jasno.
Še enkrat najlepša hvala da si si vzel čas in pomagal.
Lep dan še naprej.
Še enkrat najlepša hvala da si si vzel čas in pomagal.
Lep dan še naprej.