Pozdravljeni,
ali bi mi lahko kdo pomagal rešiti tole nalogo:
Naj bo V= R^2x2 vektorski prostor realnih matrik velikosti 2x2 opremljen s skalarnim produktom <A,B>= sled (A^t B)
a) naj bo g: V --->R preslikava s predpisom g(A)= sled (A) za vsako matriko A element V. Pokažite, da je g funkcional.
b)Poiščite Rieszov vektor linearne funkcije g v vektorskem prostoru V glede na skalarni produkt <.,.>
HVALA!
linearni funkcional, rieszov vektor
Re: linearni funkcional, rieszov vektor
a) Ker je \(g(\lambda A+\mu B)=\textnormal{sled}(\lambda A+\mu B)\)\(=\lambda\textnormal{sled}(A)+\mu\textnormal{sled}(B)=\lambda g(A)+\mu g(B)\) za vse \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\), \(A,B\in V\), je \(g\) linearna preslikava \(V\to\mathbb{R}\), torej funkcional.
b) Če je \(A\in V\) ta vektor, potem je \(g(X)=\langle A,X\rangle\) za vsak \(X\in V\), torej \(\textnormal{sled}(X)=g(X)=\langle A,X\rangle=\textnormal{sled}(A^T X)\). To bo veljalo za vsak \(X\), če bo \(A=I\).
b) Če je \(A\in V\) ta vektor, potem je \(g(X)=\langle A,X\rangle\) za vsak \(X\in V\), torej \(\textnormal{sled}(X)=g(X)=\langle A,X\rangle=\textnormal{sled}(A^T X)\). To bo veljalo za vsak \(X\), če bo \(A=I\).